Läsvecka 4
2015-09-24 Friktion Kapitel 6 Friktion 1 Friktion A G P R Friktionskraften gm gm G gm A P R P A G P 2 P R Jämvikt s arctan s 3 4 Lösning: Frilagt block Exempel 1.1 P mg N 5 F 6 1 2015-09-24 Punktkontakt mellan kroppar Friktionskonen R nN F 1 1 s 2 A F P R P nF 0 nN Friktionskonen R n n 2 2 s R F s N s arctan s N 0 7 Statiska friktionstal s 8 Friktionskraften vid glidning Static frictiom μ s Materials Dry and clean Aluminium Steel 0.61 Copper Steel 0.53 Brass Steel 0.51 Cast iron Copper 1.05 Cast iron Zinc Lubricated mg 2 P v2 0.85 j Concrete (wet) Rubber 0.30 Concrete (dry) Rubber 1.0 Concrete Wood 0.62 Copper Glass 0.68 Glass Glass 0.94 Metal 1 Wood 0.2–0.6 0.2 (wet) Polyethene Steel 0.2 0.2[ Steel Steel 0.80 0.16[ Steel PTFE 0.04 0.04[ PTFE PTFE 0.04 0.04 Wood Wood 0.25–0.5 0.2 (wet) v rel 0 F k N N v1 0 F i v rel iv k N 2 i ( k N ), v2 0 v2 v rel 9 10 Exempel 1.2 Charles-Augustin de Coulomb 1736-1806 Exempel 1.2 Ett vinkeljärn består av två smala, homogena stänger med samma massa per längdenhet som är svetsade mot varandra så att de bildar en rät vinkel. Stängerna har längderna 2a och 2b , respektive. Vinkeljärnet hänger över en bordskant enligt nedanstående figur. Det statiska friktionstalet i kontakten mellan vinkeljärn och bordskant är s . Under vilka förutsättningar på a, b , s och vinkeljärnets placering är jämvikt möjlig. g 2a 2b 11 12 2 2015-09-24 Jämvikt för fallet x a Lösning: Frilagd vinkelhake R s N a x F a P P ma g G b b gm mb g Jämvikt s 13 Plan kontaktyta mellan kroppar Kontaktkraftfördelningens resultant M 2 2 n Kontaktyta ndN P dFP P N dN P S P S P F s N rT 1 rP dN P N S R P Kontaktkraftfördelningen (dRP , P ), P S har resultanten P F dFP Tryckcentrum: T Kontaktyta dR ndN dF dN 0 dF dN R nN F n S P 1 14 s ( R, M , T ) : R n N F , M rTP dFP P S 15 Kontaktkraftfördelningens resultant MG Tryckcentrum Centralaxeln: 2 rTG nF n n MF N2 F2 rT G Kontaktyta 16 1 rP dN P , N 0 N S R Kontaktkraftfördelningen (dRP , P ), P S har resultanten: ( R, M G , G ) : R n N F , M G Tryckcentrum ligger i det konvexa höljet till en plan kontaktyta NM R N2 F2 17 S 18 3 2015-09-24 Exempel 1.3 Exempel 1.3: Lösning Exempel 1.3 En låda befinner sig på ett lutande plan med lutningsvinkeln . Lådan har längden l och höjden h . Kontakten mellan låda och lutande plan har det statiska friktionstalet s . För vilka lutningsvinklar 0 90 kan lådan befinna sig i jämvikt? Vi antar att lådans masscentrum sammanfaller med dess geometriska centrum. l s h gm mg G n e T R x 19 20 Exempel 1.4: Lösning 1 Exempel 1.4 a RA A RA C 2b s G RB gm n gm B RB 22 21 Exempel 1.4: Lösning 2 a RA A 2b Extenta 110112 G mg FB B NB 23 24 4 2015-09-24 Friktion: Sammanfattning Extenta 110112: Lösning Sammanfattning friktion Kontaktvillkor: R nN F , n F 0 F s N , N 0 , N 0 mekanisk kontakt v rel 0 F k N v rel , k s v rel 25 Tillämpningar: Kilen 26 Kilen : kilens halva toppvinkel 27 Kilen: Sammanfattning 28 Tillämpningar: Skruven Sammanfattning kilen Kilformeln: N P , tan 2(sin cos ) Intryckning: N P 2(sin s cos ) Utdragning: P 2N cos (tan s ) 2N cos (tan tan s ) Självhämning: s M P2a 29 30 5 2015-09-24 Frilagd skruv Skruven: geometri M aM W a ( W ) n d dRt a dRa dR dR dRt dRa a tan L d 31 Exempel 2.1 32 Exempel 2.1: Lösning M tan( s ) L W 2 tan 33 Skruven: sammanfattning 34 Remfriktion Sammanfattning skruven Skruvformeln: M L tan( ) W tan 2 Åtdragning: M tan( s ) tan( k ) L L W , M W tan tan 2 2 M L tan( s ) L tan( k ) W , M W 2 tan 2 tan Lossning: Självlåsning: s 35 36 6 2015-09-24 Problem 6/104 Frilagt remstycke Problem 6/104 Med vilken kraft måste hästen dra för att komma loss om friktionstalet är s 0.7 och omslutningsvinkeln svarar mot två varv plus 60 . Antag att tömmens frihängande del har massan m 0.060kg . T ( ) 60 T0 mg 37 38 Exempel 3.1 Bandbroms Bandbroms: Friläggning Exempel 3.1 Ett bromshjul med radien R roterar med vinkelhastigheten 0 kring en fix horisontell axel genom hjulets centrum O. En rem, vars ena ändpunkt är fixerad i punkten D, är lagd över bromshjulet och har sin andra ändpunkt B fäst i en hävarm. Hävarmen är friktionsfritt lagrad i punkten A. En kraft F anbringas, vinkelrätt mot hävarmen, i punkten C. Det kinematiska friktionstalet mellan rem och hjul är k . Bestäm det därmed uppkomna bromsande momentet på hjulet. Se figuren nedan. R O HO F VO S2 F S2 C C b 0 R S1 b O B a B a VA A HA A D 39 40 Remfriktion: Sammanfattning En krafts arbete F Sammanfattning remfriktion P P Euler’s remformel: F r T2 T1e k rP där 2 1 är omslutningsvinkeln (radianer), s . j O i 41 42 7 2015-09-24 En krafts arbete Linjärt elastisk fjäder F F rF r P r P Fr F F P P r U 0 r U F r F r cos U 0 F k (l l0 ) k l F1 k (l1 l0 ) F2 k (l0 l2 ) Drag Tryck 43 44 Kompression av fjäder Fjäderkraftens arbete x2 2 x2 kx 2 kx 2 F F1 U kxdx k 2 1 2 x 2 2 2 2 x1 x1 x F kx x : Fjäderns förkortning 45 46 Elastisk energi Tyngdkraftens arbete Elastisk energi Elastisk energi (Nm) 5 g k ( g ) 4 B 3 Läge 2 r Ve( x) gm 2 Läge 1 1 B G 0 0 210 3 410 3 610 3 3 810 gm 0.01 x Kompression (m) Ve Ve ( x ) kx 2 , k 10 5 Nm 1 2 U gm r k r ( mg ) mg zG 47 48 8 2015-09-24 Kroppens potentiella energi i tyngdkraftfältet Potentiell energi i tyngdkraftfältet Potentiell energi i tyngdkraftfältet 20 g k ( g ) Potentiell energi (Nm) 19.62 B G h 15 V.g( h) 10 5 0 0 Nollnivå 0 2 4 0 6 8 h 10 10 Höjd (m) Vg Vg (h) mgh Vg Vg ( x ) mg x, m 0.2kg 49 50 Potentiell energi för ’fjäder-massa’ ’Fjäder-massa system’ Potentiell energi Potentiell energi (Nm) 3 2 V( x) 1 0 1 0 0.1 0.2 x jmv 0.3 0.4 x Fjäderns längd (m) 52 51 Stabilitet Jämvikt ’Fjäder-massa system påverkat av yttre kraft’ dV (q ) 0 dq d 2V (q ) 0 stabilt 2 dq 2 d V (q ) 0 instabilt dq 2 53 54 9 2015-09-24 ’Fjäder-massa system påverkat av yttre kraft’ Exempel 3.3 1 2 V V ( x ) mgx k ( x l0 ) 2 U P x U V P x P dV x, x dx dV mg P mg k ( x l0 ) x x jmv l0 dx k 55 Exempel 3.3: Lösning 56 Problem 7/37 57 58 Problem 7/37: Lösning 59 10
© Copyright 2024