Sidor i boken
Repetition inför kontrollskrivning 2
Problem 1.
I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är
kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.
Lösning: En sida i den stora triangeln är 6 cm. Motsvarande sida i den lilla triangeln är 4.5 cm. Vi
kan då teckna längdskalan:
3 · 1.5
3
4.5
=
=
L=
6
4 · 1.5
4
Då längdskalan är 34 är areaskalan
teckna följande ekvation
9
16 .
Vi antar att den lilla triangelns area är x cm2 . Nu kan vi
x
12
=
9
16
x =
9 · 12
16
x =
27
4
Svar: Arean hos den lilla triangeln är 6.75 cm2
Problem 2. I den mindre av två likformiga femhörningar är en sida 12 cm. Motsvarande sida i den
större femhörningen är 28 cm. Beräkna den mindre femhörningens area om den större har arean
980 cm2 .
Lösning: Om det handlar om femhörningar eller tjugofemhörningar spelar ingen roll. Huvudsaken
är att vi känner längden hos en sida i den ena figuren och längden av motsvarande sida i den
andra. Då kan vi bestämma längdskalan.
L=
Detta leder direkt till areaskalan
A=
Håkan Strömberg
3
12
=
28
7
2
9
3
=
7
49
1
KTH STH
Nu kan vi teckna ekvationen där vi antar att den mindre femhörningen har arean x cm2 .
x
980
9
49
=
x =
9 · 980
49
x =
180
Svar: Den mindre av femhörningarna har arean 180 cm2
Problem 3. Två likformiga parallellogrammer har areorna 65 cm2 och 260 cm2 . En sida i den
mindre parallellogrammet är 13 cm. Hur lång är motsvarande sida i den större parallogrammet?
Lösning: Här kan vi inte bestämma längdskalan eftersom endast längden hos en sida är given.
Däremot kan vi direkt bestämma areaskalan
A=
65
1
=
260
4
Vi vet ju att A = L2 så då kan vi bestämma L
L2
=
√
L2
=
L
=
1
4
r
1
4
1
2
En sida i den större parallellogrammen är dubbelt så lång som motsvarande sida i den mindre.
Alltså är den eftersökta sida 2 · 13 = 26 cm
Svar: 26 cm.
Problem 4. Volymen hos en pyramid med kvadratisk basyta är 6.4 m3 . Sidan i kvadraten är 2 m.
En skalenlig modell har volymen 100 cm3 . Vilken längd har sidan i modellens kvadrat?
Lösning: Vi använder oss av följande fakta: Längdskalan i kubik är lika med volymskalan
3
l1
v1
=
l2
v2
Detta ger
x 2
200
=
100
6400000
x3
2003
=
100
6400000
x3
=
x
=
x
=
100 · 2003
6400000
r
3
3 100 · 200
6400000
5
Svar: 5 cm
Håkan Strömberg
2
KTH STH
Övnings-KS2 1
Läxa 1. Förenkla så lång möjligt
(a · b · c)3 · b−3 · (2c)−3
a · a−1 · b · c−1 · b−1 · c
Förenkla så långt möjligt
Läxa 2.
√
xy
√ √
y
x
1
√ √ +√ +√
y
x· y
x
Läxa 3. Diagonalen i en rektangel är 11 cm och bildar en vinkel av 30.8◦ med en av sidorna.
Beräkna rektangelns sidor.
Läxa 4.
I en likbent triangel är de lika stora sidorna 12 cm och basen 6 cm. En med basen parallell linje
avskär ett parallelltrapets (röd del i figuren), där tre sidor är lika stora. Bestäm dessas längd. (Alla
lösningar tack)
Läxa 5. Kalle har en mängd byggklotsar i form av kuber med sidan 6 cm. Han bygger av dem en
stor kub med 10 × 10 × 10 klotsar.
Lillebor Pelle har också en mängd byggklotsar i form av kuber, men med sidan 3 cm. Han bygger
av dem en stor kub med 10 × 10 × 10 klotsar.
Fyll i tabellen
Kubens Kubens Kubens
Sida
Area
Volym
Kalle
Pelle
Beräkna därefter längd-, area- och volymskalan mellan Pelles och Kalles skapelser.
Läxa 6. En linje går genom punkterna P1(a, 3) och P2(2, −2a) Vilket värde ska a ha för att linjen
ska få lutningen k = 9?
Håkan Strömberg
3
KTH STH
Läxa 7. Lös ekvationssystemet
3x + 2y
2y − 5x
= 8
= 40
Lösningar Övnings-KS2 1
Läxa Lösning 1.
(a · b · c)3 · b−3 · (2c)−3
a3 · b3 · c3 · b−3 · 2−3 · c−3
a3 · 2−3
a3 · 2−3
a3
≡
≡
≡
≡
−1
−1
−1
−1
−1
−1
a·a ·b·c ·b ·c
a·a ·b·c ·b ·c
1
1
8
a3
8
Läxa Lösning 2.
Svar:
√ √
√
√ √
√ √
y
xy
xy y
xy x
x
1
√ √ +√ +√
≡ √ √ + √
≡
+ √
y
y
x· y
x
x· y
x
√ √ √
√ √
√ √ √
√ √
x y
x y y
x y x
√ √
√ √ +
√
≡ 1+ y y+ x x ≡1+y+x
+
√
y
x· y
x
√
xy
Svar: 1 + y + x
Läxa Lösning 3. Diagonalen i en rektangel är 11 cm och bildar en vinkel av 30.8◦ med en av
sidorna. Beräkna rektangelns sidor.
Börja med att rita figur!
Antag att rektangelns bas är x cm och höjd y cm. Med hjälp av trigonometri får vi
cos 30.8◦ =
x
≈ 9.45
11
sin 30.8◦ =
y
≈ 5.63
11
och
Svar: Sidorna är 9.45 cm och 5.63 cm
Läxa Lösning 4.
Håkan Strömberg
4
KTH STH
Antag att BD = DE = EC = x. Då är AE = 12 − x. Vi får
x
6
12x
=
12 − x
12
6(12 − x)
12x
=
72 − 6x
18x
=
72
x
=
4
=
En annan möjlighet är att BD = BC = EC = 6. Då behöver man inte ens räkna.
Svar: 4 cm eller 6 cm
Läxa Lösning 5.
Kalle
Pelle
Kubens
Sida
10 · 6 = 60
10 · 3 = 30
Kubens
Area
10 · 10 · 6 · 6 = 3600
10 · 10 · 3 · 3 = 900
Kubens
Volym
10 · 10 · 10 · 6 · 6 · 6 = 216000
10 · 10 · 10 · 3 · 3 · 3 = 27000
Skalorna blir då
1
2
Längdskalan
30
60
Areaskalan
900
3600
Volymskalan
27000
216000
=
=
=1:2
1
4
=1:4
1
8
=
=1:8
Läxa Lösning 6. P1(a, 3) och P2(2, −2a) Formeln för k-värdet till en linje måste man kunna
k=
y2 − y1
3 − (−2a)
=
x2 − x1
a−2
Vi får nu en ekvation där k värdet kan skrivas på två sätt
3 − (−2a)
a−2
3 + 2a
=
9
=
9(a − 2)
3 + 2a
=
9a − 18
7a
=
21
a =
3
Svar: a = 3
Läxa Lösning 7.
3x + 2y
2y − 5x
=
=
8
40
3x + 2y
(−1) · (−5x + 2y)
=
=
3(−4) + 2y =
2y =
y =
Håkan Strömberg
5
8
(−1) · 40
8
8 + 12
10

3x + 2y



5x − 2y
8x



x
=
=
=
=
8
−40
−32
−4
KTH STH
Övnings-KS2 2
Läxa 8. Förenkla så långt möjligt
(a−2 )−2 (4b3 )2
2(a · b)3
Läxa 9. Förenkla så långt som möjligt
√
√
x3 + 3 x
√
√
3
3 3 x + x4
Läxa 10. I en rätvinklig triangel △ABC är hypotenusan BC = 10 m och kateten AC = 7 m. Bestäm
triangelns vinklar.
Läxa 11. Ett snapsglas, i form av en kon, rymmer 10 cl. Glaset är ”höjdmässigt” till hälften urdrucket. Hur många centiliter finns kvar i glaset?
Läxa 12. I en rätvinklig triangel är den ena kateten 7 cm och hypotenusan 1 cm längre än den
andra kateten. Beräkna triangelns area.
Läxa 13. En rät linje f(x) skär y-axeln för y = 4 och x-axeln för x = 3/2. En annan g(x) skär
y-axeln i punkten y = −3. De två linjerna skär varandra under rät vinkel. Var skär g(x) x-axeln?
Läxa 14. Lös ekvationssystemet
7(x + 2) − 2(3 − y)
4(3 − 2y) + 2(x + 1)
=
=
14
10
Lösningar Övnings-KS2 2
Läxa Lösning 8.
Svar: 8 · a · b3
(a−2 )−2 (4b3 )2
a4 · 16 · b6
≡
≡ 8 · a · b3
2(a · b)3
2 · a 3 · b3
Läxa Lösning 9.
√
√
√
√
√
√
√
1
1
1
1
1
x x+3 x
x3 + 3 x
x(x + 3)
x
√
√
≡ √
≡ √
≡ √
≡ x 2 · x− 3 ≡ x 2 − 3 ≡ x 6 ≡ 6 x
√
3
3
3
3
3
3
4
3
x
+
x
x
x(x
+
3)
x
3 x+ x
Håkan Strömberg
6
KTH STH
Läxa Lösning 10. ∠A = 90◦ . Antag att en vinkel är v◦ . Vi bestämmer att AC är närliggande till
∠v. Vi får
7
10
7
v = arccos
10
v ≈ 45.57◦
cos v =
Vi vet att vinkelsumman i en triangel är 180◦ . Den tredje vinkeln är då
180◦ − (90◦ + 45.57◦ ) = 44.43◦
Svar: Triangelns vinklar är 90◦ , 45.6◦ , 44.4◦
Läxa Lösning 11. Den del av drycken som finns kvar i glaset utgör en kon för sig. Om dess höjd
är a har konen som utgör hela glaset höjden 2a. Längdskalan är alltså 1 : 2 mellan konen som utgör
hela glaset och konen som utgör den dryck som är kvar.
3
Då längdskalan är 12 ≡ 1 : 2 är volymskalan 21 ) ≡ 1 : 8. Detta betyder att om det finns 10 cl i
glaset från början så finns det endast 10
8 = 1.25 cl kvar.
Läxa Lösning 12. Antag att den andra kateten är x cm. Då är hypotenusan x + 1 cm. Pythagoras
sats ger
72 + x2 = (x + 1)2
49 + x2 = x2 + 2x + 1
48 = 2x
x = 24
De två kateterna utgör höjd och bas i triangeln och ger arean
24 · 7
≡ 84
2
Svar: Arean är 82 cm2
Läxa Lösning 13. De två funktionerna g(x) = kg · x + mg och f(x) = kf · x + mf måste bestämmas
för att svaret ska kunna ges. Vi vet att f(0) = 4 och f(3/2) = 0 ur detta kan vi bestämma kf
kf =
4−0
8
=−
3
3
0− 2
Vi vet redan att mf = 4 och kan nu skriva f(x) = − 83 · x + 4. Genom texten vet vi att kg = 38
eftersom kg · kf = −1. Vi vet också att mg = −3 och kan skriva g(x) = 38 · x − 3. Då vi löser
ekvationen g(x) = 0 får vi den efterfrågade roten.
3
8
·x−3
x
=
=
0
8
g(x) skär x-axeln i (8, 0)
Läxa Lösning 14.
7(x + 2) − 2(3 − y) =
4(3 − 2y) + 2(x + 1) =

28x + 8y


 2x − 8y
30x



x
Håkan Strömberg
=
=
=
=
24
−4
20
2
3
14
10
7x + 14 − 6 + 2y =
12 − 8y + 2x + 2 =
7( 23 + 2) − 2(3 − y)
14
3 + 14 − 6 + 2y)
2y
6y
y
7
=
=
=
=
=
14
10
4(7x + 2y)
2x − 8y
=
=
4·6
−4
14
14
6 − 14
3
18 − 14
2
3
KTH STH
Övnings-KS2 3
Läxa 15. Förenkla så långt möjligt
x2 · (6 · y)2 · (2 · x · y)2
1
· (12 · y)2
x−4
Förenkla så långt möjligt
Läxa 16.
√
√ √
√
( x − y)( x + y)
x2 − 2xy + y2
Läxa 17. I en rätvinklig triangel är ena kateten 21 m och arean är 126 cm2 . Bestäm trianglarnas
vinklar.
Läxa 18. I △ABC är DE parallell med BC. AB = 12 cm, AC = 15 cm och AD = 4 cm. I vilka
längder delas AC ?
Läxa 19. Ett jordområde har formen av en triangel. På en karta i skalan 1 : 1000 är triangelns bas
12 cm och höjd 5 cm. Vilken area har jordområdet?
Läxa 20. Bestäm ekvationen för den linje som går genom skärningspunkten mellan L1 och L2 och
som är parallell med L3 .
L1 : y = x − 2
L2 : y = 2x + 3
L3 : y = −x + 2
Läxa 21. Lös ekvationssystemet
120x + 310y
115y − 312x
=
=
1910
−361
Lösningar Övnings-KS2 3
Läxa Lösning 15.
x2 · 36 · y2 · 4 · x2 · y2
x2 · (6 · y)2 · (2 · x · y)2
144 · x4 · y4
≡
≡
≡ y2
1
4 · 144 · y2
4 · y2
2
x
144
·
x
·
(12
·
y)
−4
x
Läxa Lösning 16.
√
√ √
√
1
1
1
1
1
1
( x − y)( x + y)
(x 2 − y 2 )(x 2 + y 2 )
(x 2 )2 − (y 2 ))2
x−y
1
≡
≡
≡
≡
x2 − 2xy + y2
x2 − 2xy + y2
(x − y)2
(x − y)2
x−y
Håkan Strömberg
8
KTH STH
Läxa Lösning 17. Rita figur!
Eftersom vi har triangeln area och bas, kan vi bestämma höjden h.
126 =
21 · h
2
som ger h = 12 m. Vinklarna får vi nu genom
12
21
12
v = arctan
21
v ≈ 29.74
tan v =
Den resterande vinkeln får vi genom
180◦ − (90◦ + 29.74◦ ) = 60.26◦
eller genom
21
12
21
u = arctan
12
u ≈ 60.26
tan u =
Svar: Vinklarna är 60.26◦ och 29.74◦
Läxa Lösning 18. Rita figur!
△ADE ∼ △ABC, då DE är en parallelltransversal. Antag att AE = x cm. Vi får
x
15
=
4
12
ger x = 5. AC delas 5 respektive 15 − 5 = 10 cm
Svar: 5 cm och 10 cm
Läxa Lösning 19. Ett jordområde har formen av en triangel. På en karta i skalan 1 : 1000 är
triangelns bas 12 cm och höjd 5 cm. Vilken area har jordområdet?
Arean av området på kartan är
A=
12 · 5
≡ 30 cm2
2
Areaskalan är 1 : 10002 = 1 : 1000000. Detta betyder att arean i verkligheten är
30 · 1000000 = 30000000 cm2 ≡ 3000 m2
Håkan Strömberg
9
KTH STH
Ett annat sätt är att räkna om basen och höjden till verkligheten. Först höjden:
5 · 1000 = 5000 cm ≡ 50 m
och så basen
12 · 1000 = 12000 cm ≡ 120 m
Vi får nu arean genom
50 · 120
= 3000 m2
2
Svar: 3000 m2
Läxa Lösning 20. Först bestämmer vi skärningspunkten mellan L1 och L2 .
y = x−2
y = 2x + 3
som ger
x−2 =
−2 − 3 =
x =
2x + 3
2x − x
−5
x = −5 insatt i L1 ger y = −7. Vi har skärningspunkten (−5, −7). Den sökta linjen har k-värdet −1,
samma som L3 :s k-värde.
Återstår att med hjälp av punkten (−5, −7) bestämma m i y = −x + m. Vi får −7 = −(−5) + m ger
m = −12.
Svar: y = −x − 12
Läxa Lösning 21.
120x + 310y
115y − 312x

37440x + 96720y



13800y − 37440x
110520y



y
= 1910
= −361
=
=
=
=
595920
−43320
552600
5
312(120x + 310y)
120(115y − 312x)
=
=

 37440x + 96720 · 5 =
x =

x =
312 · 1910
120 · (−361)
595920
595920−5·96720
37440
3
Svar: x = 3, y = 5
Håkan Strömberg
10
KTH STH