1. No category

10.09.2015
OVERSIKT
Litt om teorien bak «undervisningskunnskap i
matematikk» (UKM)
UKM, rent praktisk
MATEMATIKKLÆRERENS
UNDERVISNINGSKUNNSKAP
– RENT PRAKTISK
Profesjonskonferansen,
10.09.15
Larvik
Janne Fauskanger
INNLEDENDE DISKUSJON:
Karen er lærer i 2. klasse. Elevene arbeider
med addisjonsoppgaver hvor summen blir
tosifret. Karen observerer at enkelte elever i
klassen skriver de tosifrede tallene
«speilvendt». Oda skriver på følgende måte:
3 + 11 = 41
9 + 9 = 81
For referanser/kopier av artiklene:
 http://ukm-stavanger.info
UKM – I GJELDENDE RETNINGSLINJER
Hvordan vil dere beskrive lærerarbeidet i
matematikk?
Hva er noen sentrale deler av dette
lærerarbeidet?
Hva må dere kunne for å gjennomføre arbeidet?
EPISODE 1
Noen glimt fra vår forskning ved UiS
Karen lurer på hvordan hun skal angripe
dette. Hun bestemmer seg for å samle inn
alle elevenes arbeidsbøker for å få en
oversikt over hvilke elever som «speilvender»
den tosifra summen. Når Karen går gjennom
arbeidsbøkene ser hun at en annen elev, Per,
har skrevet følgende i sin arbeidsbok når
han skulle finne ut hvor mange tær det er på
fire føtter:
[…] utvikle undervisningskunnskap i matematikk. Dette innebærer at de må ha en solid
og reflektert forståelse for den matematikken elevene skal lære og hvordan denne
utvikles videre på de neste trinnene i utdanningssystemet. Videre kreves
matematikkfaglig kunnskap som er særegen for lærerprofesjonen. Slik kunnskap
omfatter, i tillegg til selv å kunne gjennomføre og forstå matematiske prosesser og
argumenter, også å kunne analysere slike som foreslås av andre med tanke på å
vurdere deres holdbarhet og eventuelle potensial. Undervisningskunnskap innebærer
også å ha didaktisk kompetanse som gjør at studentene kan sette seg inn i elevenes
perspektiv og læringsprosesser, og gjennom variasjon og tilpasning kunne
tilrettelegge matematikkundervisning for elever med ulike behov og med ulik kulturell
og sosial bakgrunn på en slik måte at matematikk framstår som et meningsfullt fag for
alle elever (Kunnskapsdepartementet, 2010, s. 33, min utheving).
EPISODE 1 – FORTS.
Per har regnet ut hvor mange tær det blir på fire
føtter, og har skrevet 5 + 5 + 5 + 5 = 02
Tenk over spørsmålene under og diskuter dem
med «naboen»:
Hvordan tenker elevene som «speilvender»
svarene og skriver 41, 81 og 02 i stedet for 14,
18 og 20 på oppgavene under?
3 + 11 = 41
9 + 9 = 81
5 + 5 + 5 + 5 = 02
Hva er det elevene forstår og ikke forstår?
Handler dette om symbol, tall og/eller siffer?
Hvordan vil du møte disse elevene om du var
Karen?
1
10.09.2015
EPISODE 2
KAN KUNNSKAP NØDVENDIG I EPISODE 2 MÅLES OG STUDERES?
HVORDAN VILLE DA EN OPPGAVE SE UT?
Lise, som er lærer i en 5. klasse, ba elevene sine om å finne tallet på den tomme linja i følgende oppgave:
Matematisk problematisk Ikke matematisk problematisk
8 + 15 = __ + 9
Hun observerte at ikke alle elevene kom fram til det korrekte tallet 14. En elev skrev 23, mens en annen skrev 32.
Disse svarene følger vanlige feilmønstre, og Lise var forberedt på at de kunne dukke opp som mulige elevsvar. Hun
hadde også planlagt hvordan hun eventuelt kunne hjelpe elever som kom fram til disse svarene.
8 + 15 = __ + 9
Tenk over spørsmålene under og diskuter dem med «naboen».
14 + 5 = 19 + 5 = 24 + 5 = __
Hvordan tenker elevene som får svarene 23 og 32?
Hva er det elevene forstår og ikke forstår?
10 – 7 = 3 + __
Hvordan kan Lise vite at disse feilsvarene vil forekomme? Hvilken kunnskap er det Lise baserer sine antagelser på?
Hvordan vil du som lærer møte elevene som svarer 23 og 32, og vil du møte dem på samme måte? Hvilken type
oppgaver ville du eksempelvis gi dem? Hvilke spørsmål ville du stilt?
29 –__ = 22 + 6 = 28
6 – 2 = __ + 7 = __ + 5 = 16
EN GOD START:
RELASJONSTEGN –
I 1. KLASSE
(FRA LÆREVERKET MATEMATIKK – SE
MATEMATIKKLANDET.NO)
UKM – MED FOKUS PÅ PROFESJONELL PRAKSIS
Profesjon – profesjonell kunnskap og profesjonsspråk (jf. Lortie, 1975)
I UKM ligger en underliggende forståelse for undervisning som «a
plausible conception of professional practice» (Hoover, Mosvold, &
Fauskanger, 2014)
Ball og kollegaer (2008) har foreslått slike «conceptions», basert på
analyser av lærerarbeidet
LÆRERARBEIDET I MATEMATIKK
«The work of teaching mathematics»
«By ‘work of teaching,’ we mean the core tasks that
teachers must execute to help pupils learn» (Ball & Forzani,
2009, p. 497)
Det handler derfor ikke bare om det arbeidet en gjør i
undervisningen, men om alt undervisningsrelatert arbeid
lærere gjør
UTFORDRINGER I LÆRERARBEIDET
Gjennom sine analyser av praksis forsøker Ball og kollegaer å
dekomponere «the work of teaching» i konrete «tasks of teaching»
Disse utfordringene i lærerarbeidet kan ses på som selve kjernen i den
praksisbaserte teorien om UKM
UKM-items har blitt utviklet for å operasjonalisere disse utfordringene i
konkrete undervisningskontekster
2
10.09.2015
BALL,
THAMES OG
PHELPS
(2008) SIN
LISTE:
Hvilke «tasks of
teaching
mathematics»
mener dere er
mest sentrale?
Er det noen
utfordringer dere
mener mangler fra
lista?
UKM lærere har behov for i møte med undervisningsarbeidets utfordringer
 presentere matematiske ideer
 respondere på elevenes «hvorfor»-spørsmål
 finne eksempler for å få fram et bestemt matematisk poeng
 være klar over hva som involveres når en bestemt framstilling tas i bruk
 knytte representasjoner til underliggende ideer og til andre representasjoner
 knytte emnet en underviser i, til emner fra tidligere år eller til kommende
emner
 forklare matematiske mål og hensikter til foreldre/foresatte
 vurdere og tilpasse det matematiske innholdet i lærebøker
 endre oppgaver slik at de blir mer eller mindre utfordrende
 forklare om elevenes påstander er rimelige (ofte raskt)
 gi, eller evaluere, matematiske forklaringer
 velge og utvikle gode definisjoner
 bruke matematisk notasjon og språk, og bedømme bruken
 stille fruktbare matematiske spørsmål
 velge ut hensiktsmessige representasjoner
 undersøke likheter
EPISODE 3
I en arbeidsøkt med fokus på likninger skal
elevene til Per løse likningen 7x + 11 = 25.
Per observerer at flere av elevene løser
likninger uten å bruke likhetstegnet riktig, og
en av elevene løser likningen på følgende
måte:
7x + 11 = 25 = 7x = 14 = x = 2
Per, som er fersk lærer i klassen, er
overrasket over at dette forekommer i 7.
klasse.
EN UTFORDRING: Å FORSTÅ ELEVERS TENKNING
Her er elevsvarsvar på en oppgave:
Diskuter to og to:
•Hvilket barn er du helt enig
med?
•Hvilket barn er du helt uenig
med?
•Hvem svarer riktig og hvem
svarer galt?
•For de som ikke har riktig svar.
Hva kan årsaken til at de svarer
feil være, og hvordan vil du
veilede eleven videre?
EPISODE 4
Tenk over spørsmålene under, og diskuter
dem med «naboen»
Hvordan tenker elevene som får svaret x =
2 på denne måten?
Hva er det elevene forstår og ikke forstår?
Mens han rettet en prøve, oppdaget Oskar at
flere av elevene strevde med brøkregning knyttet
til en eller flere av de fire regneartene. Særlig la
han merke til at flere elever gjorde feil når de
skulle multiplisere to brøker. En av oppgavene
handlet om multiplikasjon av brøker med lik
nevner, og flere av elevene løste denne på
følgende måte:
Hvordan kunne Per ha forutsatt at denne
typen feil bruk av likhetstegnet kan
forekomme?
Hvordan vil du som lærer møte elevene med
en slik utregning?
Tenk over spørsmålene under, og diskuter
dem med «naboen».
Hva er det disse elevene har tenkt?
Hvordan vil du som lærer møte elever som
har slike svar? Kan du illustrere
regnestykkene ved å tegne en figur?
Hvilken kunnskap trenger du som lærer for å
kunne hjelpe elevene å forstå multiplikasjon
av brøk?
2 7 14
× =
9 9 9
På en annen oppgave hvor de skulle multiplisere
to brøker med ulik nevner, hadde mange av de
samme elevene gjort følgende:
2 1 4 3 12
× = × =
3 2 6 6 6
MODELL FOR UKM – UTVIKLET UT FRA «EPISODER»
ALLMENN FAGKUNNSKAP
Episode 1
 å kunne utføre addisjonene 3 + 11 og 9 + 9
Episode 2
 å vite hvilket tall som må legges til 9 for å få det samme som 8 + 15, eller
 å fylle inn riktig tall på den tomme linja i oppgaven: 8 + 15 = __ + 9.
Episode 3
 å kunne metoder for å løse likninger, for så å finne løsningen til 7x + 11 = 25
Episode 4
 å finne svaret på disse to:
2 7
×
9 9
2 1
×
3 2
3
10.09.2015
ALLMENN FAGKUNNSKAP FORTS.
ALLMENN FAGKUNNSKAP – I HODET
Subtraksjon som eksempel
Halvering og fordobling:
Regn ut:
Kanskje slik:
dobles
Eller slik:
halveres dobles
halveres
14  3 = 7  6 = 42
4  18 = 8  9 = 72
• Spesielt når det ene tallet er 5:
344  5 = 172  10 = 1720
5  568 = 10  284 = 2840
Eller kanskje på
denne måten:
Diskuter:
• Hvordan regner du selv? Elever du
har møtt?
• Hva er viktig lærerkunnskap relater
til elevers regneutvikling?
7 ned
7 ned
Ofte vil man bruke
regelen flere ganger
etter hverandre.
• Prøv selv:
307 – 168 = 300 – 161 = 139
MULTIPLIKASJON
157  20
5  146
164  0,5
2,5  64
”EG KAN MULTIPLISERA..”
Du kan alltid dele den ene faktoren med et tall og gange den
andre med det samme tallet.
Bevis:
Lærerens kunnskaper – mer enn å multiplisere?
c
a
a  b  a   b   (b  c)
c
c
Hva mer?
• Bruk regelen på følgende regnestykker:
27  3
60  0,7
99
67
0,05  1200
f.eks.
 Matematikkfaglig?
 Metodisk/didaktisk?
 Om elevene?
 Andre ting?
 To og to: Lag en liste!
5  12
Kommutativitet
(a ∙ b = b ∙ a)
- sørger for at antall
regnestykker nesten halveres!
KOMMUTATIVITET – VIKTIG!
1∙1
1∙2
1∙3
1∙4
1∙5
2∙1
2∙2
2∙3
2∙4
2∙5
3∙1
3∙2
3∙3
3∙4
3∙5
4∙1
4∙2
4∙3
4∙4
4∙5
5∙1
5∙2
5∙3
5∙4
5∙5
6∙1
6∙2
6∙3
6∙4
6∙5
7∙1
7∙2
7∙3
7∙4
7∙5
8∙1
8∙2
8∙3
8∙4
8∙5
9∙1
9∙2
9∙3
9∙4
9∙5
10∙1
10∙2
10∙3
10∙4
10∙5
1∙6
1∙7
1∙8
1∙9
1∙10
2∙6
2∙7
2∙8
2∙9
2∙10
3∙6
3∙7
3∙8
3∙9
3∙10
4∙6
4∙7
4∙8
4∙9
4∙10
5∙6
5∙7
5∙8
5∙9
6∙6
6∙7
6∙8
7∙6
7∙7
8∙6
8∙7
9∙6
10∙6
NOEN ”GANGER” ER ENKLERE ENN ANDRE
1
2
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
8
12
3
16
20
24
28
32
36
40
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
16
24
32
40
48
56
64
72
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
80
Hvis du kan disse, er det kun 25
gangestykker som gjenstår.
20 av disse er kommutative par
(f.eks. 6 ∙ 3 = 6 ∙ 3).
1∙1
1∙2
1∙3
1∙4
1∙5
1∙6
1∙7
1∙8
1∙9
1∙10
2∙1
2∙2
2∙3
2∙4
2∙5
2∙6
2∙7
2∙8
2∙9
2∙10
3∙1
3∙2
3∙3
3∙4
3∙5
3∙6
3∙7
3∙8
3∙9
3∙10
1-gangen: ikke noe problem
4∙1
4∙2
4∙3
4∙4
4∙5
4∙6
4∙7
4∙8
4∙9
4∙10
5∙10
2-gangen: doble
5∙1
5∙2
5∙3
5∙4
5∙5
5∙6
5∙7
5∙8
5∙9
5∙10
6∙9
6∙10
5-gangen: fint mønster, lett å telle 5 og 5.
6∙1
6∙2
6∙3
6∙4
6∙5
6∙6
6∙7
6∙8
6∙9
6∙10
7∙8
7∙9
7∙10
7∙2
7∙3
7∙4
7∙5
7∙6
7∙7
7∙8
7∙9
7∙10
8∙9
8∙10
9-gangen: her oppstår et spesielt mønster
7∙1
8∙8
9∙7
9∙8
9∙9
9∙10
8∙1
8∙2
8∙3
8∙4
8∙5
8∙6
8∙7
8∙8
8∙9
10∙7
10∙8
10∙9
10∙10
10-gangen: enkel
Husk å fokusere på at f.eks. 4 ∙ 10 = 40 fordi de
fire enerne bytter verdi til fire tiere, ikke at vi
føyer til en null!
9∙1
9∙2
9∙3
9∙4
9∙5
9∙6
9∙7
9∙8
9∙9
9∙10
10∙1
10∙2
10∙3
10∙4
10∙5
10∙6
10∙7
10∙8
10∙9
10∙10
Hvordan jobbe med kommutativitet?
8∙10
4
10.09.2015
SPESIALISERT FAGKUNNSKAP 1
Episode 4
2 1 4 3 12
× = × =
3 2 6 6 6
SPESIALISERT FAGKUNNSKAP 2
Tenk deg at elevene dine arbeider med multiplikasjon av store tall. Blant elevarbeidene, ser du at
noen elever som har gått på skole i andre land enn Norge bruker følgende metoder:
Elevene trenger en forklaring på hvorfor det
ikke blir riktig å finne felles nevner og
multiplisere tellerne ved multiplikasjon av brøk
 en forklaring som inkluderer ulike representasjoner
Hvordan møter du elevene og hvilken kunnskap krever det av deg?
HORISONTKUNNSKAP 1
HORISONTKUNNSKAP 2
Eksponensiell vekst – noe for småskoletrinnet?
Maria: “Jeg vet at bitene ikke ser
like store ut, men de skal være
det – du kan bare flytte linjene
slik at bitene blir like store”.
Kontinuerlige funksjoner og middelverditeoremet – viktig kunnskap for lærere på
småskoletrinnet?
KUNNSKAP OM FAGLIG INNHOLD
OG ELEVER
KUNNSKAP OM FAGLIG INNHOLD
OG ELEVER
Episode 2: 8 + 15 = __ + 9
Episode 3: 7x + 11 = 25
 å kunne analysere elevenes matematiske feil og
 å vite at 23 og 32 kan dukke opp som svar – i tillegg til 14
 forstå bakgrunnen for at feil svar oppstår
 være i stand til å se verdien av ufullstendige begrunnelser hvor elevene gjerne bruker hverdagsspråk i stedet for mer korrekte
matematiske formuleringer
 å forstå hvorfor 23 og 32 er vanlige elevsvar, hvilke misoppfatninger av likhetstegnet de bygger på
 dyp forståelse for likhetstegnet for å kunne forutse elevers misoppfatninger av dette tegnet som et «nå kommer svaret»-tegn
(Kieran, 1981)
 diagnostisk kompetanse er av avgjørende betydning for lærere (Prediger, 2010)
 læreren må vite hvilke oppgaver som kan falle lett eller vanskelig for elevene
kunnskap om hvilke typer problemer elevene kan møte når de løser lineære likninger
 likninger på formen (1) ax + b = c kan løses ved en aritmetisk tenkemåte
 likninger på formen (2) ax + b = cx + d krever en mer algebraisk
tilnærming
 å la elever arbeide med likhetstegnet med en algebraisk tilnærming gjør denne overgangen mellom aritmetikk og
algebra mindre problematisk for elevene (Carraher & Schliemann, 2007)
lærere trenger kunnskap om at elever må beherske et mer abstrakt variabelbegrep
(Selvik, Rinvold, & Høines, 1999)
5
10.09.2015
KUNNSKAP OM FAGLIG INNHOLD
OG UNDERVISNING
å ha matematisk kunnskap for å kunne planlegge og gjennomføre undervisning
Episode 2: 8 + 15 = __ + 9
 hva en som lærer kan gjøre i undervisningssammenheng for å hjelpe elever som svarer 23 og 32 i stedet for 14
LÆREPLANKUNNSKAP
Handler om mer enn gjeldende læreplaner for grunnskole og lærerutdanninger:
vertikal og lateral læreplankunnskap (Shulman, 1986)
lærebøker og andre læremidler
Episode 3: 7x + 11 = 25
 å starte med en likning på denne formen (ax + b = c) før en går over til å arbeide med likninger på formen (ax +
b = cx + d)
Også lærerutdanningens planer?
Episode 4 – brøk
 å kunne vurdere fordeler og ulemper med de ulike representasjoner
EPISODE 5
EPISODE 6
I en 8. klasse har elevene arbeidet med å
løse andregradslikningen 2x2 = 6x. En elev
sier at x = 3 er en løsning. Læreren ber
eleven om å forklare hvordan han kom fram
til det svaret. Eleven svarer da:
«Først delte jeg med 2 på begge sider og fikk x2
= 3x. Så delte jeg med x på begge sider og fikk
at x var 3»
Tenk over spørsmålene under, og diskuter
dem med «naboen».
Hvordan vil du som lærer møte elevene
som svarer at x = 3 er løsningen?
Hva er det eleven forstår og ikke
forstår?
Hvilken kunnskap trenger du som lærer
for å kunne ha en diskusjon som gjør at
eleven i denne episoden forstår at hans
resonnement har svakheter?
DRONNINGENS BLOMSTERBED – EN SITE «EPISODE»
Mens han rettet en prøve, oppdaget Oskar at flere av
elevene i hans 9.-klasse strevde med brøkregning. Oskar
bestemte seg for å gi elevene sine noen
repetisjonsoppgaver i den neste matematikktimen. En av
oppgavene involverte divisjon av to brøker, og i
læreboka står det at:
3 1 3
:  2
4 2 4
Tenk over spørsmålene under, og diskuter
dem med «naboen».
Hvordan vil du forklare lærebokas
påstand? Er den riktig? Alltid?
Kan du forklare dette på flere måter?
Hvilken kunnskap trenger du som lærer
for å kunne svare på spørsmålet fra
eleven?
En av elevene spør da: «Hvorfor er det slik?»
Oskar bestemmer seg for å notere ned alle spørsmålene
som kommer fra elevene, for å ta dem opp samlet mot
slutten av arbeidsøkten.
DRONNINGENS BLOMSTERBED, ALGEBRAISK GENERALISERING
6 + 4  (antall bed – 1)
Dronningen vil gjerne
anlegge blomsterbed i en
lang rad som vist på
skissen.
Hun trenger 14 steinheller til
3 bed. Hvor mange heller
må hun ha til 5 bed, til 10,
…?
Finn en regel hun kan bruke
uansett hvor mange bed hun
vil ha!
4  antall bed + 2
Elevsvar:
• La n stå for antall bed.
• 6 + 4  (n - 1)
• 4n+2
Seks for det første, så fire
og fire så langt du vil.
Fire og fire og fire helt til
du er ferdig og så to til
slutt.
Diskuter:
• Her har vi to mulige formler. Kan begge være riktige, da?
6
10.09.2015
DRONNINGENS BLOMSTERBED I 2. KLASSE
BYGGE ELLER TEGNE??
Et nytt problem?
(Hva kan nå generell regel være?)
Konklusjon fra 2. klasselærerne: Planlegg godt HVA elevene skal bruke tiden på.
OPPSUMMERING I 2. KLASSE:
BLOMSTERBEDET I 7. KLASSE – NOEN EKSEMPLER
1
2
VÅR EGEN FORSKNING OM UKM
3
OVERSETTELSE OG TILPASNING
Oversettelse og tilpasning av UKM-oppgaver
Utfordringer med måling (utvidet bruk av UKM-oppgaver)
UKM og oppfatninger
«Tasks of teaching» og kulturelle perspektiver
UKM og Matematikkens historie
7
10.09.2015
UTFORDRINGER MED MÅLING
UKM OG OPPFATNINGER
KULTURELLE PERSPEKTIVER VED UTFORDRINGER
UKM OG MATEMATIKKENS HISTORIE
LITTERATUR BRUK I FORELESNINGEN
OPPGAVE PÅ VEI HJEM
Ball, D.L., Thames, M.H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389–407.
Ball, D.L., & Cohen, D.K. (1999). Developing practice, developing practitioners: Toward a practice-based theory of professional development. In Darling-Hammond L. & Skyes L. G. (Eds.), Teaching as the
learning profession: Handbook of policy and practice (pp. 3–32). Francisco, CA: Jossey-Bass.
Ball, D.L., & Forzani, F. (2009). The work of teaching and the challenge for teacher education. Journal of Teacher Education, 60(5), 497-511.
Noen lærere på Profesjonskonferansen er trette etter en
økt med matematisk arbeid. De bestemmer seg derfor
for å gå innom kantina. Der kjøper de kaffe til 5 kr per
kopp og liten sjokolade til 9 kr per stykk. Alle bestiller
det samme, og til sammen måtte de betale 133 kr. Hvor
mange kopper kaffe drakk hver student?
Carraher, D.W., & Schliemann, A.D. (2007). Early algebra and algebraic reasoning. In Lester F. K. (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 669-705). Charlotte:
Information Age Publishing.
Creswell, J.W. (2014). Research design. Qualitative, quantitative, & mixed methods approaches (4 ed.). Los Angeles, CA: Sage Publishers.
Fauskanger, J., Bjuland, R., & Mosvold, R. (2010). "Eg kan jo multiplikasjon, men ka ska eg gjørr?" - det utfordrende undervisningsarbeidet i matematikk. In Løkensgard Hoel T., Engvik G. & Hanssen B.
(Eds.), Ny som lærer – sjansespill og samspill (pp. 99–114). Trondheim: Tapir akademisk forlag.
Fives, H., & Buehl, M.M. (2008). What do teachers believe? Developing a framework for examining beliefs about teachers’ knowledge and ability. Contemporary Educational Psychology, 33(2), 134–176.
Hoover, M., Mosvold, R., & Fauskanger, J. (2014). Common tasks of teaching as a resource for measuring professional content knowledge internationally. Nordic Studies in Mathematics Education, 19(3-4),
7–20.
Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12(3), 317-326.
Lortie, D. C. (1975). Schoolteacher: A sociological study. Chicago: University of Chicago Press.
Niss, M. (2010). What is quality in a PhD dissertation in mathematics education? Nordic Studies in Mathematics Education, 15(1), 5–23.
Diskuter ulike framgangsmåter/strategier
Prediger, S. (2010). How to develop mathematics-for-teaching and for understanding: the case of meanings of the equal sign. Journal of Mathematics Teacher Education, 13(1), 73-93.
Rangnes, T. (2007). Vekst og grafer – tilgjengelig her: http://www.caspar.no/tangenten/2007/rangnes407.pdf.
Hint: 133 kan bare deles på 7 og 19
Selvik, B. K, Rinvold, R., & Høines, M. J. (1999). Matematiske sammenhenger: Algebra og funksjonslære. Bergen: Caspar Forlag.
Silverman, D. (2013). Doing qualitative research: A practical handbook (4 ed.). London: Sage publications Ltd.
Shulman, L.S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), 4–14.
Noen av slidsene i presentasjonen
er laget av/i samarbeid med gode
kollegaer ved UiS.
8