1. No category

Produktsetningen for uavhengige hendelser
Henrik Vikøren
April 15, 2015
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
En eske inneholder 4 grønne og 2 røde kuler.
Vi trekker tilfeldig en kule, og legger den tilbake før vi trekker en
til.
Hva er sannsynligheten for at:
a) den første kula er rød?
b) den andre kula er grønn?
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
For den første kula er det 6 mulige utfall. Det er bare to som er
røde, dette gir:
P(første kula er rød) =
Henrik Vikøren
gunstige utfall
2
1
= = .
mulige utfall
6
3
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
For den andre kula er det fremdeles 6 mulige utfall, siden vi har lagt
tilbake den første kula. Det er fire kuler som er grønne, dette gir:
P(andre kula er grønn) =
gunstige utfall
4
2
= = .
mulige utfall
6
3
Påvirker utfallet i det første forsøket utfallet i det andre forsøket?
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
Siden vi legger tilbake kula etter at vi har sett utfallet så påvirker
ikke utfallene hverandre. Forsøk som har denne egenskapen kaller
vi for uavhengige forsøk.
Vi definerer nå:
A: første kule er rød
B: andre kule er grønn.
Vi er interessert i sannsynligheten for at både A og B inntreffer.
Med matematisk notasjon blir dette: Hva er P(A ∩ B)?
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
Vi har at A=”første kule er rød” og B=”andre kule er grønn”. Vi
skal finne P(A ∩ B)
Hvor mange måter kan vi trekke to kuler på?
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
Vi har at A=”første kule er rød” og B=”andre kule er grønn”. Vi
skal finne P(A ∩ B)
Hvor mange måter kan vi trekke to kuler på?
Antall mulige = 6 · 6.
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
Vi har at A=”første kule er rød” og B=”andre kule er grønn”. Vi
skal finne P(A ∩ B)
Hvor mange måter kan vi trekke to kuler på?
Antall mulige = 6 · 6.
Hvor mange måter kan vi trekke en rød og så en grønn kule på?
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
Vi har at A=”første kule er rød” og B=”andre kule er grønn”. Vi
skal finne P(A ∩ B)
Hvor mange måter kan vi trekke to kuler på?
Antall mulige = 6 · 6.
Hvor mange måter kan vi trekke en rød og så en grønn kule på?
Antall gunstige = 2 · 4.
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
Nå kan vi regne ut sannsynligheten for P(A ∩ B).
P(A ∩ B) =
2 4
2·4
= · = P(A) · P(B)
6·6
6 6
Dette er produktsetningen for uavhengige hendelser.
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Hvis hendelsene A og B er uavhengige, er
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Eksempel på tavlen
a) Hva er sannsynligheten for å få tre seksere på tre kast?
b) Hva er sannsynligheten for å ikke få noen seksere på tre kast?
c) Hva er sannsynligheten for å få minst en sekser på tre kast?
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
Vi ser på den samme esken med kuler igjen.
Igjen trekker vi to kuler etter hverandre, men denne gangen legger
vi ikke tilbake kula som vi trekker første gangen.
Vi ser fremdeles på hendelsene:
A=”første kule er rød”
B=”andre kule er grønn”.
Hva er P(A)?
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
Hva er P(A)?
P(A) =
antall gunstige
2
1
= =
antall mulige
6
3
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
Hva er P(A)?
P(A) =
antall gunstige
2
1
= =
antall mulige
6
3
Hva er P(B)?
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
Her er det viktig å merke seg at situasjonen før andre trekkning
avhenger av utfallet i første trekkning:
Hvis vi trakk en rød kule første gang, er det en rød og fire
grønne kuler igjen.
Hvis vi trakk en grønn kule første gang, er det to røde og tre
grønne kuler igjen.
Hva utfallet blir i A påvirker altså sannsynligheten for B.
Vi sier at A og B er avhengige hendelser.
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
Nå ser vi på sannsynligheten for B.
Hvis vi trakk en rød kule første gang, er det en rød og fire
grønne kuler igjen.
4
P(B gitt A) = .
5
Hvis vi trakk en grønn kule første gang, er det to røde og tre
grønne kuler igjen.
3
P(B gitt ikke A) = .
5
Dette kaller vi for betingede sannsynligheter.
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
La oss nå se på P(A ∩ B).
Som i forrige eksempel finner vi sannsynligheten for at både A og
B ved å gange sammen sannsynlighetene, men nå må vi bruke den
betingede sannsynligheten for B.
P(A ∩ B) = P(A) · P(B gitt A) =
8
2 4
· =
6 5
30
Dette er den generelle produktsetningen.
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Produktsetningen
Hvis hendelsene A og B er avhengige, er
P(A ∩ B) = P(A) · P(A gitt B).
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Bonus: notasjon
Nytt tegn: | betyr”gitt”. Dvs at P(B gitt A) = P(B|A).
Husk at ikke A er det samme som A.
Da blir: P(B| ikke A) = P(B|A)
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser
Eksempel på tavlen
Vi trekker to kort fra en kortstokk? Hva er sannsynligheten for:
a) Trekke et ess på det første kortet?
b) Trekke et ess på det andre kortet, gitt at vi trakk et ess på det
første kortet?
c) At vi får to ess etter å ha trukket begge kortene?
Henrik Vikøren
Produktsetningen for uavhengige hendelser