1. No category

Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 8 Eksamenstrening
Løsninger til oppgavene i læreboka
E1
9952= 9952 − 52 + 52
= (995 − 5)·(995 + 5) + 25
= 990 ⋅1000 + 25
= 990 000 + 25
= 990 025
E2
a
b
612 − 392 (61 − 39)·(61 + 39)
=
512 − 492 (51 − 49)·(51 + 49)
22 ⋅100
=
2 ⋅100
= 11
1997 ⋅ 2003 −=
1993 ⋅ 2007 (2000 − 3)(2000 + 3) − (2000 − 7)(2000 + 7)
= 20002 − 32 − (20002 − 7 2 )
= 20002 − 9 − 20002 + 49
=−9 + 49
= 40
E3
a
2(a + b) 2 − 2(a − b) 2 = 2(a 2 + 2ab + b 2 ) − 2(a 2 − 2ab + b 2 )
= 2a 2 + 4ab + 2b 2 − 2a 2 + 4ab − 2b 2
= 8ab
b
a −4 ·b 2 ·a 3
a −4 ·b 2 ·a 3
=
(a 2 ·b) −3·a 0 a −6 ·b −3·1
= a −4+3−( −6) ·b 2−( −3)
= a 5b 5
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 1 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E4
a
b
2
a − 2b
2
a − 2b
+ 2
=
+
2
a −b a −b
a − b (a − b)(a + b)
2(a + b)
a − 2b
=
+
(a − b)(a + b) (a − b)(a + b)
2a + 2b + a − 2b
=
(a − b)(a + b)
3a
= 2
a − b2
99 ⋅101 = (100 − 1)(100 + 1)
= 1002 − 12
= 10 000 − 1
= 9999
c
Vi trekker uttrykket til venstre fra uttrykket til høyre.
( x + y ) 2 − ( x 2 + y 2 ) = 100 − 60
x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 − y 2 = 40
2 xy = 40
xy = 20
E5
a
(2 x − 5) 2 − (1 − x)(1 + x)
= 4 x 2 − 20 x + 25 − (1 − x 2 )
= 5 x 2 − 20 x − 24
2 x 3x + 4
−
x − 4 2x − 8
2x ⋅ 2
3x + 4
=
−
( x − 4) ⋅ 2 2( x − 4)
4 x − (3 x + 4)
=
2( x − 4)
x−4
=
2( x − 4)
1
=
2
b
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 2 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
x
4 − 2x
− 2
3 x + 6 3 x − 12
x
4 − 2x
=
−
3( x + 2) 3( x 2 − 4)
x( x − 2)
4 − 2x
=
−
3( x + 2)( x − 2) 3( x 2 − 4)
c
x 2 − 2 x − (4 − 2 x)
=
3( x 2 − 4)
x2 − 2x − 4 + 2x
=
3( x 2 − 4)
x2 − 4
=
3( x 2 − 4)
1
=
3
19 + 3 x
3
−
2
2 x − 50 2 x − 10
19 + 3 x
3
=
−
2
2( x − 25) 2( x − 5)
19 + 3 x
3( x + 5)
=
−
2
2( x − 25) 2( x − 5)( x + 5)
19 + 3 x − (3 x + 15)
=
2( x 2 − 25)
4
=
2
2( x − 25)
2
= 2
x − 25
d
E6
Vi løser først andregradslikningen
0
x2 + 5x + 6 =
−5 ± 52 − 4 ⋅1 ⋅ 6 −5 ± 25 − 24 −5 ± 1
= =
2 ⋅1
2
2
L = {−3 , 2}
Påstand 1 er gal fordi det er to løsninger på likningen, og her blir det bare oppgitt én.
Påstand 2 er korrekt fordi x = −2 gir en løsning på likningen.
Påstand 3 er gal fordi påstand 1 er gal.
x
=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 3 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E7
92 ·a 2 ·b3
(3ab 2 ) 2
a
92 ·a 2 ·b3
32 ·a 2 ·b 4
92
=
9·b
9
=
b
 a2 
 b2 
lg  2  + lg   + lg(a + b)
b 
 a 
=
b
= lg a 2 − lg b 2 + lg b 2 − lg a + lg(a + b)
= 2 lg a − lg a + lg(a + b)
= lg a + lg(a + b)
= lg ( a ⋅ (a + b) )
= lg(a 2 + ab)
c
2−3·a 0 ·(a·b) 2
2−4 ·a −1·b 2
2−3·a 0 ·a 2 ·b 2
= −4 −1 2
2 ·a ·b
= 2−3−( −4) ·a 0+ 2−( −1) ·b 2− 2
= 21 a 3b0
= 2a 3
d
E8
a
b
 a3 
lg(a ⋅ b) 2 − lg  2  + lg(a ⋅ b 2 )
b 
= lg a 2 + lg b 2 − (lg a 3 − lg b 2 ) + lg a + lg b 2
= 2 lg a + 2 lg b − 3lg a + 2 lg b + lg a + 2 lg b
= 6 lg b
a
lg(ab) 2 + 3lgb − lg  5 
b 
= 2 lg a + 2 lg b + 3lg b − (lg a − 5lg b)
= lg a + 10 lg b
(2 x + 3) 2 − (2 x − 1)(2 x + 1) + ( x − 3)( x − 1)
= 4 x 2 + 12 x + 9 − (4 x 2 − 1) + ( x 2 − x − 3 x + 3)
= 4 x 2 + 12 x + 9 − 4 x 2 + 1 + x 2 − 4 x + 3
= x 2 + 8 x + 13
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 4 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E9
a
x( x + 5) − 10 =
4
x 2 + 5 x − 10 − 4 =
0
x 2 + 5 x − 14 =
0
Vi løser andregradslikningen
−5 ± 52 − 4·1·(−14)
2·1
−5 ± 25 + 56
=
2
−5 ± 81
=
2
−5 ± 9
=
2
L = {−7, 2}
x=
b
103 x − 100 000 =
0
103 x = 100 000
103 x = 105
Siden grunntallet er likt, må eksponentene være like.
3x = 5
x=
3
5
E10
2
3 x=
18 − 3 x
a
3 x 2 + 3 x − 18 =
0
3( x 2 + x − 6) =
0
0
x2 + x − 6 =
Vi løser andregradslikningen
−1 ± 12 − 4·1·(−6)
2·1
−1 ± 1 + 24
=
2
−1 ± 25
=
2
−1 ± 5
=
2
L = {−3 , 2}
x=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 5 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
3·2 x = 24
24
2x =
3
x
2 =8
2 x = 23
Siden grunntallet er likt, må eksponentene være like.
x=3
c
38 + 38 + 38 + 38 + 38 + 38 + 38 + 38 + 38 =
3x
9·38 = 3x
32 ·38 = 3x
310 = 3x
Siden grunntallet er likt, må eksponentene være like.
x = 10
E11
a
4−5 x +3 − 1 =3
4−5 x +3 = 4
Siden grunntallet er likt, må eksponentene være like.
1
−5 x + 3 =
−5 x =1 − 3
2
x=
5
b
3x
2
+x
8
−1 =
3x
2
+x
=9
x2 + x
= 32
3
Siden grunntallet er likt, må eksponentene være like.
x2 + x =
2
x2 + x − 2 =
0
Vi løser andregradslikningen
−1 ± 12 − 4 ⋅1 ⋅ (−2)
2 ⋅1
−1 ± 1 + 8
=
2
−1 ± 9
=
2
−1 ± 3
=
2
L = {−2 , 1}
x=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 6 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
c
3·2 x = 96
96
2x =
3
x
2 = 32
2 x = 25
Siden grunntallet er likt, må eksponentene være like.
x=5
d
32 x +1 = 33 + 33 + 33
32 x +1 = 3·33
32 x +1 = 34
Siden grunntallet er likt, må eksponentene være like.
2 x + 1 =4
2x = 3
x=
E12
a
b
c
3
2
4 x
6x
−2= +
5
5 2
Vi multipliserer alle ledd med fellesnevneren 10.
6 x ⋅ 2 − 2 ⋅10 = 4 ⋅ 2 + x ⋅ 5
12 x − 20 =8 + 5 x
12 x − 5 x =8 + 20
7 x = 28
x=4
x 1
3x
− ( x − 3) =
6 2
4
Vi multipliserer alle ledd med fellesnevneren 12.
2 x − 6( x − 3) =
3x ⋅ 3
2 x − 6 x + 18 =
9x
−13 x =
−18
18
x=
13
x x+6 4
−
+ =
0
2
3
6
Vi multipliserer alle ledd med fellesnevneren 6.
3 x − ( x + 6) + 4 ⋅ 2 =
0
3 x − x − 6 + 48 =
0
2 x = −2
x = −1
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 7 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
d
2
3 1
 x +  = x −1
3
4 6
Vi multipliserer alle ledd med fellesnevneren 6.
3

4  x +  =x − 6
4

4x + 3 = x − 6
3 x = −9
x = −3
E13
a
2
3 x=
18 − 3 x
3 x 2 + 3 x − 18 =
0
3( x 2 + x − 6) =
0
0
x2 + x − 6 =
Vi løser andregradslikningen
−1 ± 12 − 4 ⋅1 ⋅ (−6)
x=
2 ⋅1
−1 ± 1 + 24
=
2
−1 ± 25
=
2
−1 ± 5
=
2
L = {−3 , 2}
b
2
3
6
+ 2
=
1+
x −1 x −1
x +1
Vi multipliserer alle ledd med fellesnevneren ( x − 1)( x + 1) .
2( x + 1) + 3 =
x 2 − 1 + 6( x − 1)
2x + 2 + 3 = x2 −1 + 6x − 6
0 x 2 + 4 x − 12
=
Vi løser andregradslikningen
−4 ± 42 − 4 ⋅1 ⋅ (−12)
2 ⋅1
−4 ± 16 + 48
=
2
−4 ± 64
=
2
−4 ± 8
=
2
L = {−6 , 2}
x=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 8 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
2( x + 1)(2 − x) =
0
c
2(2 x − x 2 + 2 − x) =
0
4x − 2x2 + 4 − 2x = 0
0
−2 x 2 + 2 x + 4 =
0
−2( x 2 − x − 2) =
0
x2 − x − 2 =
Vi løser andregradslikningen
1 ± (−1) 2 − 4 ⋅1 ⋅ (−2)
2 ⋅1
1± 1+ 8
=
2
1± 9
=
2
1± 3
=
2
L = {−1 , 2}
x=
d
(2 x + 3)( x − 1) − ( x − 1)( x + 2) =
0
2
2 x − 2 x + 3 x − 3 − ( x 2 + 2 x − x − 2) =
0
x 2 − 1 =0
x2 = 1
L = {−1 , 1}
E14
a
v= v0 + at
v − v0 =
at
v − v0
=t
a
b
v − v0
a
25 − 1
=
3
=8
t=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 9 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E15
1
a + ab + b 2 =
1 b2
a + ab =−
a (1 + b) =1 − b 2
1 − b2
1+ b
(1 − b)(1 + b)
a=
1− b
a= 1+ b
a=
E16
Vi setter antall sekker bjørkeved som x og antall sekker granved som y . Vi får likningssettet
I:
x+ y =
20
II:
83 x + 65 y =
1570
Vi løser likning (I) for x
III:
=
x 20 − y
Vi setter (III) inn i likning (II)
83(20 − y ) + 65 y =
1570
1660 − 83 y + 65 y =
1570
−18 y =
−90
y=5
Vi setter svaret inn i (III)
=
x 20 − 5
x = 15
Harald kjøpte 15 sekker bjørkeved og 5 sekker granved.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 10 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E17
I:
2 x= y − 4
II:
4x 2 + 3 y =
12
Vi ser at likning (I) er enklest å løse, og i likning (II) er det lettest å sette inn for y .
III:
=
y 2x + 4
Vi setter inn i likning (II).
4 x 2 + 3(2 x + 4) =
12
4 x 2 + 6 x + 12 =
12
4x2 + 6x =
0
2 x(2 x + 3) =
0
3
x=
∨ x= 0
2
Vi setter inn i likning (III).
3
y = 2⋅ + 4
2
y = 2⋅0 + 4
= 3+ 4
=4
=7
 3 

L =  , 7  , (0 , 4) 
 2 

E18
I:
y= 6 − x 2
II:
y + 4 =−3 x
Vi setter (I) inn i (II).
(6 − x 2 ) + 4 =−3x
− x 2 + 3x + 10 =
0
Vi løser andregradslikningen.
−3 ± 32 − 4·10·(−1)
x=
2·(−1)
−3 ± 9 + 40
−2
−3 ± 7
=
−2
x = −2 ∨
x=
5
=
Vi setter inn i (I).
y = 6 − (−2) ∨
=8
L= {(−2 , 8) , (5 , 1)}
© Aschehoug
y = 6−5
=1
www.lokus.no
Side 11 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E19
I:
y = x 2 − 3x − 2
II:
y+2=
2x
Vi ser at likning (II) er enklest å løse, og i likning (I) er det lettest å sette inn for y .
III:
=
y 2x − 2
Vi setter inn i likning (I).
2x − 2 =
x 2 − 3x − 2
− x2 + 5x = 0
− x( x − 5) =
0
x=
0 ∨
x=
5
Vi setter inn i likning (III).
y = 2⋅5 − 2
y = 2⋅0 − 2
=8
= −2
L = {( 0 , − 2 ) , (5 , 8)}
E20
a
b
x−2
17
+ 2 > −4 x +
3
3
Vi multipliserer med fellesnevneren 3 i alle ledd.
( x − 2) + 2 ⋅ 3 > −4 x ⋅ 3 + 17
x − 2 + 6 > −12 x + 17
x + 12 x > 17 − 6 + 2
13 x > 13
x >1
2
−3 x − 6 x + 6 ≤ 0
−3( x 2 + 2 x − 2) ≤ 0
x2 + 2x − 2 ≤ 0
Vi finner nullpunktene til venstresiden.
−2 ± 22 − 4 ⋅1 ⋅ (−2)
2 ⋅1
−2 ± 4 + 8
=
2
−2 ± 12
=
2
−2
12
=
±
2
2
12
=−1 ±
4
x=
=−1 ± 3
− 3 −1
x=
© Aschehoug
∨
x =3 − 1
www.lokus.no
Side 12 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
Vi faktoriserer uttrykket.
( x − (−
(x +
c
)) ( x − ( 3 − 1)) ≤ 0
3 + 1)( x − 3 + 1) ≤ 0
3 −1
L = ← , − 3 − 1 ∪  3 − 1 , →

−2( x + 1)( x − 3) < 0
L = ← , −1 ∪ 3 , →
2 x 2 ≤ 72
d
2 x 2 − 72 ≤ 0
2( x 2 − 36) ≤ 0
L=
[ −6 , 6]
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 13 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E21
a
8
x2 + 2x =
0
x2 + 2x − 8 =
Vi løser andregradslikningen
−2 ± 22 − 4·1·(−8)
2·1
−2 ± 4 + 32
=
2
−2 ± 36
=
2
−2 ± 6
=
2
L = {−4 , 2}
x=
b
3 ⋅ 3x = 27
31+ x = 33
Siden grunntallet er likt, må eksponentene være like.
1+ x =
3
x=2
c
2 lg( x + 1) =
4
lg( x + 1) =
2
10lg( x +1) = 102
x +1 =
100
x = 99
E22
L = 10·lg l + 120
L − 120 =
10·lg l
L − 120
= lg l
10
=
l 0,1l − 12
lg
l = 100,1l −12
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 14 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E23
a
b
Vi starter med å bruke at funksjonen krysser i punktet (3 , 0) .
f (3) = 0
a ⋅3 + b
=0
3 −1
3a + b = 0
Funksjonen krysser også i punktet (0 , 6) .
f (0) = 6
a⋅0 + b
=6
0 −1
6
−b =
b = −6
0.
Vi setter inn i uttrykket 3a + b =
3a + (−6) =0
3a = 6
a=2
a = 2 og b = −6
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 15 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E24
Vertikal asymptote er 1 som gir uttrykket
c ⋅1 − 1 =0
c =1
Horisontal asymptote er 2 som gir uttrykket for store verdier av x .
ax + b ax a
≈
= =2
f ( x) =
cx − 1 cx c
a
=2
1
a=2
Vi ser at funksjonen går gjennom punktet (0 , − 2) . Vi bruker dette til å finne b .
f (0) = −2
a⋅0 + b
= −2
c ⋅ 0 −1
b
= −2
−1
b=2
a = 2 , b = 2 , og c = 1
E25
a
I:
2y + x =
8
II:
3 y= 9 − x
Vi løser likning (I) for x .
III:
x= 8 − 2 y
Vi setter inn i (II).
3 y =9 − (8 − 2 y )
3y = 9 − 8 + 2 y
3y − 2 y =
1
y =1
Vi setter inn i (III).
x = 8 − 2 ⋅1
x=6
L = {(6 , 1)}
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 16 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi tegner linjene x = 0 og y = 0 Vi omformer de to siste for å få y alene på venstresiden.
x + 2y =
8
x + 3y =
9
2 y= 8 − x
og
3 y= 9 − x
1
1
y= 4 − x
y= 3 − x
2
3
Vi tegner opp linjene og skraverer området som oppfyller alle ulikhetene.
c
S ( x, y=
) 2x + 3y
5
11
 5 11 
S  ,  = 2 ⋅ + 3⋅
2
6
2 6 
= 5 + 5,5
= 10,5
d
Vi tegner inn en linje der vi velger at S = 6 .
=
6 2x + 3y
3 y = −2 x + 6
2
y = − x+2
3
2
Stigningstallet til denne linja er − , som er mindre enn begge linjene vi tegnet i
3
oppgave b. Den største verdien S ( x , y ) kan ha, er dermed gitt ved punktet (8 , 0) ,
se figuren.
S (8, 0)= 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 0
= 16
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 17 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E26
Vi tegner inn linjene x = 0 og y = 0 . Vi omformer de to siste for å få y alene på venstresiden.
x + 2y =
6
2x + y =
6
2 y= 6 − x
og
y= 6 − 2 x
1
y= 3 − x
2
Vi tegner opp linjene og skraverer området som oppfyller alle ulikhetene.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 18 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E27
Vi tegner inn linjene x = 0 og y = 0 . Vi omformer de to siste for å få y alene på venstresiden.
x+ y =
3
3x + y =
6
og
y= 3 − x
y= 6 − 3 x
Vi tegner opp linjene og skraverer området som oppfyller alle ulikhetene.
E28
a
Vet at en lineær funksjon er gitt ved =
y ax + b . Verdien til b er y-verdien der funksjonen
krysser y-aksen.
Stigningstallet til funksjonen som går gjennom punktet (0 , 6) , er −1 og gir funksjonen
y= 6 − x .
1
Stigningstallet til funksjonen som går gjennom punktet (0 , 3) og (6 , 0) , er − og gir
2
1
funksjonen y= 3 − x .
2
1
Stigningstallet til funksjonen som går gjennom punktet (0 , 3) og (2 , 4) , er
og gir
2
1
funksjonen y= 3 + x .
2
Ulikhetene blir
y ≤ 6− x
1
x
2
1
y ≤ 3+ x
2
y ≥ 3−
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 19 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi setter S ( x, y ) = 8 og ordner likningen.
=
8 12 x + 8 y
8 y= 8 − 12 x
3
x
2
Siden stigningstallet er mindre enn noen av ulikhetene i oppgave a, vil nivålinja gå brattere
nedover mot høyre enn noen av ulikhetene. Da vil S ( x, y ) få sin høyeste verdi ved punktet
(6 , 0) .
Vi setter Z ( x, y ) = 12 og ordner likningen.
=
12 12 x + 12 y
y = 1− x
Denne funksjonen har likt stigningstall med ulikheten y ≤ 6 − x og derfor vil alle punktene
som gir heltallige koordinater langs denne funksjonen gi størst verdi av Z .
Vi leser av grafen og finner punktene (2 , 4) , (3 , 3) , (4 , 2) , (5 , 1) , og (6 , 0) .
y = 1−
c
E29
a
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 20 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
c
Vi setter Z ( x , y ) = 1 og ordner likningen.
1= y + 2 x
y = 1− 2x
Stigningstallet til denne linja er −2 , som er mindre enn begge linjene vi tegnet i oppgave a.
Den største verdien Z ( x , y ) kan ha, er dermed gitt ved punktet (5 , 0) , se figuren. Verdien
til Z blir da Z (5 , 0)= 0 + 2 ⋅ 5 =
10 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 21 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E30
a
2 lg x + 3 =
5
2 lg x= 5 − 3
2
2
lg x = 1
lg x =
b
10lg x = 101
x = 10
1
3lg x − lg   = 8
x
3lg x − (lg1 − lg x) =
8
3lg x − 0 + lg x =
8
4 lg x = 8
lg x = 2
10lg x = 102
x = 100
c
lg( x + 2) + lg( x − 2) =
lg 5
lg ( ( x + 2)( x − 2) ) =
lg 5
lg( x 2 − 4) = lg 5
10lg( x
2
− 4)
= 10lg5
5
x2 − 4 =
x2 = 9
x = ±3
Bare x = 3 er en mulig løsning.
d
2 lg =
x 10 − 3lg x
2 lg x + 3lg x =
10
5lg x = 10
lg x = 2
10lg x = 102
x = 100
E31
a
x
lg   = 2
2
10
lg
x
2
= 10 2
x
= 100
2
x = 200
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 22 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
lg x 2 − lg(3 x) =
2 − lg 3
b
lg x 2 − lg(3 x) + lg 3 =
2
lg
x2 ⋅ 3
=2
3x
lg x = 2
10lg x = 102
x = 100
c
4 + 3lg( x − 5) =
10
3lg( x − 5) = 10 − 4
3lg( x − 5) =
6
lg( x − 5) =
2
10lg( x −5) = 102
x −5 =
100
x = 105
E32
Vi finner asymptotene for å lage hjelpelinjer. Vi finner så nullpunktet og deretter en verditabell for
flere punkter for å kunne tegne grafen.
Vertikal asymptote: x − 1 =0
x =1
2x − 4 2x
Horisontal asymptote: f ( x) =
≈
=2
x −1
x
2x − 4
Nullpunkt:
=0
x −1
2 x − 4 = 0 ⋅ ( x − 1)
2x − 4 =
0
2x = 4
x=2
Verditabell:
© Aschehoug
x
f ( x)
−3
−2,5
−1
−3
0
4
3
1
www.lokus.no
5
1,5
Side 23 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E33
a
b
2
f ′( x) = − ⋅ 3 x 2 + 2 x
3
=
−2 x 2 + 2 x
= −2 x( x − 1)
f ′( x) = 0
−2 x( x − 1) =
0
x = 0 ∨ x =1
2
f (0) = − ⋅ 03 + 02 + 2 = 2
3
2 3 2
7
f (1) =− ⋅1 + 1 + 2 =
3
3
c
 7
Bunnpunktet er (0 , 2) , og toppunktet er 1 ,  .
 3
2
f (3) = − ·33 + 32 + 2 =−2·9 + 9 + 2 = −7
3
Både bunnpunktet og toppunktet ligger på oversiden av x-aksen. Grafen vil synke etter
toppunktet og vil først da krysse x-aksen og få negative y-verdier, som vi har vist ved å
regne ut f (3) = −7 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 24 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E34
f ( x + ∆x) − f ( x)
∆x
Vi gjør mellomregning.
f ( x + ∆x) =( x + ∆x)3 − ( x + ∆x)
f ′( x) = lim
∆x →0
= ( x + ∆x)( x 2 + 2 x∆x + (∆x) 2 ) − x − ∆x
= x3 + 2 x 2 ∆x + x(∆x) 2 + ∆x·x 2 + 2 x(∆x) 2 + (∆x)3 − x − ∆x
= x3 + 3 x 2 ∆x + 3 x(∆x) 2 + (∆x)3 − x − ∆x
Vi setter inn i uttrykket.
f ( x + ∆x) − f ( x) x 3 + 3 x 2 ∆x + 3 x(∆x) 2 + (∆x)3 − x − ∆x − ( x 3 − x)
=
∆x
∆x
3
2
2
x + 3 x ∆x + 3 x(∆x) + (∆x)3 − x − ∆x − x 3 + x
=
∆x
2
2
3 x ∆x + 3 x(∆x) + (∆x)3 − ∆x
=
∆x
Vi faktoriserer ut ∆x .
∆x 3 x 2 + 3 x∆x + (∆x) 2 − 1
=
∆x
2
= 3 x + 3 x∆x + (∆x) 2 − 1
Vi lar så ∆x nærme seg null.
f ( x + ∆x) − f ( x)
f ′( x) = lim
∆x →0
∆x
2
lim 3 x + 3 x∆x + (∆x) 2 − 1
(
)
∆x →0
= 3x 2 − 1
E35
a
O( x) = I ( x) − K ( x)
= p ⋅ x − (0,1x 2 − 10 x + 20 000)
=
−0,1x 2 + ( p + 10) x − 20 000
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 25 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
O( x) = −0,1x 2 + (140 + 10) x − 20 000
= − 0,1x 2 + 150 x − 20 000
Vi deriverer uttrykket og finner toppunktet.
O′( x) =
−0, 2 x + 150
0=
−0, 2 x + 150
0, 2 x = 150
150
x=
0, 2
Vi multipliserer teller og nevner med 10.
1500
x=
2
x = 750
Størst produksjonsmengde er når bedriften produserer 750 enheter.
c
Hvis overskuddet er størst ved 2000 produserte enheter, må den deriverte være lik null ved
x = 2000 .
O′(2000) = −0, 2 ⋅ 2000 + (10 + p )
0=
−0, 2 ⋅ 2000 + 10 + p
0=
−400 + 10 + p
390 = p
Prisen må være 390 kr.
E36
a
b
c
F ( x) = −0, 01x 2 + 0,3 x + 120
F ′( x) =
−0, 02 x + 0, 3
Vi setter den deriverte lik null for å finne ekstremalpunktene.
0=
−0, 02 x + 0,3
0, 02 x = 0,3
0,3
x=
0, 02
x = 15
Bedriften må produsere 15 enheter for at fortjenesten skal bli størst mulig.
Overskuddet O( x) er fortjenesten per vare solgt F ( x) multiplisert med antall varer solgt
x.
O=
( x) F ( x) ⋅ x
) x ⋅ (−0, 01x 2 + 0,3 x + 120)
O( x=
= −0, 01x3 + 0,3 x 2 + 120 x
O′( x) =
−0, 03 x 2 + 0, 6 x + 120
Vi setter den deriverte lik null.
0 = −0, 03 x 2 + 0, 6 x + 120
Vi løser ved hjelp av digitalt verktøy.
x = −54 ∨ x = 74
Produksjon av 74 enheter gir det største overskuddet.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 26 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
O(74) =
−0, 03 ⋅ 743 + 0, 6 ⋅ 742 + 120
= 6471
Ved produksjon av 74 enheter er overskuddet 6471 kr.
E37
a
2 3
x + x 2 − 12 x + 1
3
f '( x) = 2 x 2 + 2 x − 12
f ( x) =
= 2( x 2 + x − 6)
=2( x + 3)( x − 2)
b
f ( x) stiger i intervallet ← , − 3 ∪ 2 , → .
f ( x) synker i intervallet −3 , 2 .
E38
a
f ( x) = − x 2 + 2 x
0=
− x2 + 2 x
0=
− x( x − 2)
b
x 0 ∨
=
−2 x + 2
f ′( x) =
x=2
=
−2( x − 1)
Funksjonen har toppunkt i (1 , 1)
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 27 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
c
d
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 28 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
e
E39
a
b
Vi leser av grafen og finner skjæringspunktene (−2 , −8) og (2 , 0) .
Grafen til f stiger når den deriverte er positiv og synker når den deriverte er negativ, det
vil si at f stiger i intervallet −2 , 3 og synker i intervallet ← , − 2 ∪ 3 , → .
Figuren viser et eksempel der nullpunktene er −2 og 3 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 29 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E40
a
Dette er et binomisk forsøk, vi bruker binomialformelen.
()
2
3
()
0
1
⋅ 
2
1 1
⋅  ⋅ 
2 2
1
= 10 ⋅ 5
2
10
=
32
5
=
16
Her må vi summere sannsynlighetene
P(minst 3) = 1 − ( P(0 mynt) + P(1 mynt) + P(2 mynt) )
Vi tar en mellomregning på de 2 sannsynlighetene vi trenger.
P(2 mynt) = 5
2
b
1
P(0 mynt) = 5 ⋅  
0 2
1
= 1⋅ 5
2
1
=
32
()
1
5
4
1 1
⋅  ⋅ 
2 2
1
= 5⋅ 5
2
5
=
32
 1 5 10 
P(minst 3) = 1 −  + + 
 32 32 32 
16
= 1−
32
1
= 1−
2
1
=
2
P(1 mynt) = 5
1
E41
1
1
a
1
1
1
1
© Aschehoug
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
www.lokus.no
Side 30 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
( 42) betyr rad 4, skråkolonne 2, se figur nedenfor.
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Vi kan da finne verdien til uttrykkene.
4 =6
2
()
( 52) = 10
(53) = 10
c
E42
a
b
( a + b) 4
Vi setter først opp uttrykket uten tall
a 4 + a 3b + a 2b 2 + ab3 + b 4
For å finne tallene foran hvert ledd ser vi på rad nummer 4 i Pascals trekant (eksponenten
er 4) og skriver dem foran hvert ledd i rekkefølge.
( a + b) 4 =
a 4 + 4 a 3b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4
( a + b)5
Vi setter først opp uttrykket uten tall.
a 5 + a 4b + a 3b 2 + a 2b3 + ab 4 + b5
For å finne tallene foran hvert ledd ser vi på rad nummer 5 i Pascals trekant (eksponenten
er 5) og skriver dem foran hvert ledd i rekkefølge.
(a + b)5 = a 5 + 5a 4b + 10a 3b 2 + 10a 2b3 + 5ab 4 + b5
En PIN-kode kan ha ti tall på hver plass (0 − 9). Siden det er 4 plasser, er det totalt
104 = 10 000 muligheter.
3
P(riktig kode) =
10 000
Totalt antall muligheter for kode er nå 4·3·2·1 = 24 .
3
P(riktig kode) =
24
1
=
8
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 31 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E43
a
b
c
Dette er et binomisk forsøk med 8 hendelser, der hver hendelse har to utfall.
N = 28
= 256
Det er 256 forskjellige måter å svare på de åtte spørsmålene.
Dette er et valg uten tilbakelegging, der rekkefølgen er likegyldig.
6
N = 
 2
= 15
Det er 15 måter å trekke ut to temaer på.
Dette er en hypergeometrisk sannsynlighet.
2 ⋅ 2
1 1
P(1 gutt og 1 jente) =
4
2
( )( )
()
2·2
6
2
=
3
=
E44
a
b
c
Uttrekning med tilbakelegging.
N = 43
= 64
Antallet ulike koder vi kan lage, er 64.
Uttrekning uten tilbakelegging.
N = 4·3·2
= 24
Antallet ulike koder vi kan lage, er 24.
Minst to like = alle mulige koder – koder der alle er ulike
= 64 − 24
= 40
Antallet koder med minst to like bokstaver er 40.
E45
I Pascals talltrekant er summen av de to tallene over. Vi setter da opp et likningssett.
I:
21 + x =
y
II:
y + 2x =
126
Vi setter (I) inn i (II).
(21 + x) + 2 x =
126
21 + 3 x =
126
3 x = 105
x = 35
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 32 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
Vi setter inn i (I).
21 + 35 =
y
y = 56
Likningssystemet har løsningen x = 35 og y = 56 .
E46
1
1
a
1
1
2
1
1
1
1
1
1
8
3
4
5
6
7
3
6
10
15
21
28
1
1
4
10
20
35
56
70
5
15
35
1
1
6
1
21
7
1
56
28
8
1
b
Leser ut av Pascals talltrekant.
2 =1
0
c
Dette er hypergeometrisk sannsynlighet.
3 ⋅ 5
1 2
P(1 gutt og 2 jenter) =
8
3
()
(13) = 3
( 52) = 10
(83) = 56
()( )
()
3 ⋅10
56
30
=
56
15
=
28
=
d
Leser av Pascals trekant at 28 er i rad 8 og kolonne 2
8 = 28
2
Det skal trekkes ut 2 elever til komiteen.
()
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 33 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E47
a
b
(83) = 8·7·6
3·2·1
= 56
Dette er hypergeometrisk sannsynlighet.
4·4
2 1
P(2 gutter og 1 jente) =
8
3
( )( )
()
6·4
56
24
=
56
3
=
7
P (minst 1 jente) = 1 − P(ingen jenter)
4·4
3 0
= 1−
8
3
=
c
( )( )
()
4·1
56
4
= 1−
56
1
= 1−
14
13
=
14
= 1−
E48
a
Vi løser venstre side av implikasjonspila.
x2 < 4
x2 − 4 < 0
( x + 2)( x − 2) < 0
Vi tegner fortegnsdiagram.
b
L = −2 , 2
Implikasjonen er ikke korrekt
Den motsatt implikasjonen er heller ikke korrekt.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 34 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E49
a
Vi viser for et par tall.
1 + 2 + 12 = 4 = 22
2 + 3 + 22 = 9 = 32
3 + 4 + 32 = 16 = 42
4 + 5 + 16 = 25 = 52
5 + 6 + 52 = 36 = 62
b
n + (n + 1) + n 2
= n 2 + 2n + 1
Vi faktoriserer med første kvadratsetning.
= (n + 1) 2
E50
x2 − 9 = 0 ⇒ x = 3
Implikasjonspila går bare mot høyre fordi x = 3 er en løsning av likningen, men likningen har
flere løsninger, så derfor går den ikke begge veier.
E51
a
2 ⋅ 7 x = 4 ⋅ 5x
7x 4
=
5x 2
x
b
c
7
  =2
5
7
x log   = log 2
5
log 2
x=
7
log  
5
x = 2, 06
1
Implikasjonen er riktig fordi venstresiden bare gir én løsning av likningen på
høyresiden.
2
Implikasjonen er ikke riktig fordi venstresiden har flere løsninger enn den ene gitt
på høyresiden.
1
Den motsatte implikasjonen er ikke riktig fordi høyresiden bare gir én løsning
av likningen på venstresiden. Det er mange tall som kan oppfylle likningen
x+ y =
10 .
2
Den motsatte implikasjonen er riktig fordi høyresiden er en av løsningene til
likningen på venstresiden.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 35 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E52
a
Baker nr. 1 tar halvparten av melet
1
x 1
x
og et halvkilogram , dvs. +
2
2
2 2
 x 1 x 1
Da er det igjen x −  +  = − .
2 2 2 2
b
Baker nr. 2 tar halvparten av melet som er igjen
x 1 1 x 1
− + = + .
4 4 2 4 4
 x 1  x 1 x 3
Da er det igjen  −  −  +  = −
2 2 4 4 4 4
1 x 1 x 1
1
 −  = − og et halvkilogram ,
2
22 2 4 4
dvs.
c
Baker nr. 3 tar halvparten av melet som er igjen
1 x 3 x 3
1
 −  = − og et halvkilogram ,
2
24 4 8 8
x 3 1 x 1
− + = +
8 8 2 8 8
Summen av det de tre bakerne har brukt, må være likt melet de har brukt minus det ene
kiloet som er igjen.
 x 1  x 1  x 1
 +  +  +  +  +  =x − 1
 2 2  4 4 8 8
Vi multipliserer med fellesnevner som er 8.
4 x 4 2 x 1 x 1 8x − 8
+ +
+ + + =
8 8 8 8 8 8
8
4 x + 4 + 2 x + 2 + x + 1 = 8x − 8
dvs.
d
− x =−15
x = 15
E53
For at likningen skal ha en løsning, må uttrykket under rottegnet i andregradsformelen være lik
null.
b 2 − 4ac =
0
I denne oppgaven er a = a
=
b 2(a + 2)
c=a
Vi setter likningen inn i CAS.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 36 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
Vi må i tillegg sjekke om a = 0 er en mulig løsning.
0·x 2 + 2(0 + 2) x + 0 =
0
4x = 0
Vi ser at dette gir også en løsning av likningen.
L = {−1 , 0}
For at likningen skal ha to løsninger, må uttrykket være større enn null. Vi løser i CAS.
L = −1 , → \ {0}
For at likningen ikke skal ha noen løsning, må uttrykket være mindre enn null. Vi løser i CAS.
L = ← , −1
E54
Vi setter uttrykket inn i CAS og løser.
L = {−1, 05 , 1, 05}
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 37 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E55
a
For at likningen skal ha nullpunkter, må uttrykket under rottegnet i andregradsformelen
være større null. Vi skriver inn i CAS.
L = ← , −2 6 ∪ 2 6 , →
Alternativt
=
L
b
← , − 24 ∪
24 , →
For at likningen skal ha bare ett nullpunkt, må uttrykket under rottegnet i
andregradsformelen være større null. Skriver inn i CAS.
L=
{−2
6,2 6
Alternativt:
L=
{−
24 , 24
}
}
E56
For at likningen skal ha én løsning, må uttrykket under rottegnet i andregradsformelen være lik
null.
L=
{−2
}
3−2, 2 3−2
Vi setter inn løsningene for a inn i uttrykket og løser i CAS.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 38 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
Vi viser innsetting av a = 2 3 − 2 i figuren.
L=
E57
a
b
{−
}
3, 3
Bilen som kjører fra by A, kjører i 60 km/h og vil da etter en tid t være 60 ·t unna byen.
1
Bilen fra by B starter 20 minutter seinere, dette tilsvarer t − seinere da t er gitt i timer.
3
Samme bil kjører i 40 km/h og starter i by B som er 200 km unna by A. Avstanden denne
1
bilen har kjørt, er da 200 − 40 ⋅ (t − ) .
3
Vi skriver likningssystemet inn i CAS og løser.
Bilene møtes 128 km fra by A.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 39 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
c
E58
a
b
Bilene skal møtes midt mellom byene, dvs. 100 km fra by A. Vi setter dette inn i likningen
5
for bilen fra by A for å finne tiden det tar å komme dit. Vi finner at det tar timer før bilen
3
har kommet halvveis. Vi setter dette inn i likningen for bilen fra by B og bytter ut 40 km/h
med en ukjent v for fart. Vi løser dette i CAS og ser at han må kjøre i 75 km/h.
0 ≤ x ≤ 900 beskriver at vi ikke kan bruker mer enn 900 tonn veigrus.
0 ≤ y ≤ 1000 beskriver at vi ikke kan bruke mer enn 1000 tonn pukk.
1,36 x + 1, 60 y ≤ 2176 beskriver at vi ikke kan importere mer enn 1000 m3 pukk og veigrus.
Vi kan da sette opp ulikheten:
x
y
+
≤ 1000
1, 60 1,36
x ⋅1, 60 ⋅1,36 y ⋅1, 60 ⋅1,36
+
≤ 1000 ⋅1, 60 ⋅1,36
1, 60
1,36
1,36 x + 1, 60 y ≤ 2176
F ( x ,=
y ) 74 x + 106 y
Utsalgsprisen på pukk er tallet foran variabelen for pukk, dvs. at utsalgsprisen for pukk er
106 kr.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 40 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
c
Vi skriver inn likningene i en graftegner, sammen med nivålinja (stiplet linje).
Vi ser av grafen at forhandleren bør kjøpe 423,5 tonn veigrus og 1000 tonn pukk.
E59
a
x ≥ 0 beskriver at vi lager null eller flere kjøttkaker av type A.
y ≥ 0 beskriver at vi lager null eller flere kjøttkaker av type B.
0, 60 x + 0, 40 y ≤ 800 beskriver at mengden hvetemel vi bruker, ikke kan overskride 800
kg.
0, 40 x + 0,80 y ≤ 1000 beskriver at mengden kjøttdeig vi bruker, ikke kan overskride
1000 kg.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 41 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi tegner likningene og nivålinja (stiplet linje) inn i en graftegner.
De må produsere 1100 kg av kjøttkake A og 700 kg av kjøttkake B.
c
Vi legger til en ny ulikhet x + y ≤ 1500 og tegner grafen med nivålinje (stiplet linje) inn i
en graftegner.
De må produsere 500 kg av kjøttkake A og 1000 kg av kjøttkake B.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 42 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E60
a
b
0,90 x + 0, 40 y ≤ 20
0,10 x + 0, 60 y ≤ 5
Silje må lage 20 glass av type A og 5 glass av type B.
I = 80 ⋅ 20 + 40 ⋅ 5 =
1800
Hun tjener 1800 kr på salget.
Nivålinja viser at dette er den største inntekten hun kan få.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 43 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
c
E61
a
Vi lager et likningssett, der venstresiden er prisen for et glass av type 1 og høyresiden er
prisen for et glass av type 2. Vi kaller prisen på sukker for x . Siden prisen på type 2 skal
være 5 kr mer enn type 1, trekker vi i fra 5 på prisen på type 2 for at de skal bli like.
0, 90 ⋅ 30 + 0,10 ⋅ x= 0, 40 ⋅ 30 + 0, 60 ⋅ x − 5
27 + 0,1x =
7 + 0, 6 x
20 = 0,5 x
x = 40
Prisen på sukker er 40 kr per kilogram.
x ≥ 0 beskriver at produksjonen av Godlaks må være større eller lik null.
y ≥ 0 beskriver at produksjonen av Gladlaks må være større eller lik null.
0,3 x + 0, 6 y ≤ 20 beskriver at bruken av stoff A til de to produktene ikke kan overstige
20 tonn.
0, 7 x + 0, 4 y ≤ 18 beskriver at bruken av stoff B til de to produktene ikke kan overstige
18 tonn.
x + y ≤ 35 beskriver at de kan maksimalt produsere 35 tonn av Godlaks og Gladlaks til
sammen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 44 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi tegner opp nivålinja (stiplet linje) i koordinatsystemet.
Vi ser av punktet at vi må produsere 3,3 tonn Godlaks og 31,7 tonn Gladlaks.
P(=
x , y ) 5000 x + 8500 y
P(3,3 , 31,7
=
) 5000 ⋅ 3,3 + 8500 ⋅ 31,7
= 285 950
Ved denne produksjonen tjener vi ca. 286 000 kr.
E62
a
Vi setter først opp ulikhetene som må gjelde for denne produksjonen. Vi lar antall dukker
som lages, være x , og antall lekebiler som lages, være y .
0,5 x + 0, 25 y ≤ 700 beskriver at det maksimalt kan brukes 700 timer på produksjonen.
1x + 0, 25 y ≤ 1100 beskriver at det maksimalt kan brukes 1100 timer på maling.
0, 2 x + 0,5 y ≤ 1200 beskriver at det maksimalt kan brukes 1200 timer på montering.
Vi tegner opp dette i et koordinatsystem med nivålinja I ( x=
, y ) 900 x + 300 y som stiplet
linje. Vi endrer på nivålinja til vi når maksimal verdi som er når de produserer 800 dukker
og 1200 lekebiler.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 45 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
E63
a
b
Vi setter inn verdiene fra oppgave a inn i uttrykket for inntekten.
I (800 , 1200) = 900 ⋅ 800 + 300 ⋅1200
= 1 080 000
Den største inntekten bedriften kan få, er litt over 1 million kr.
15 x + 50 y ≤ 2100 beskriver utnyttelsen av arealet.
1x + 10 y ≤ 250 beskriver maksimal vekt.
Vi setter ulikhetene inn i et koordinatsystem.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 46 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
c
I (x=
, y ) 106 x + 603 y beskriver at fergen tar 106 kr for personbiler og 604 kr for
lastebiler. Vi setter denne nivålinja inn i koordinatsystemet i oppgave a (stiplet linje).
Vi ser at vi får størst inntekt når vi har 85 personbiler og 16,5 lastebiler. Det er ikke mulig å
ha en halv lastebil, så vi runder det nedover til 16. Da kan vi ta med en person bil til siden
en person bil tar mindre plass og veier mindre enn en halv lastebil. Den største inntekten er
når de tar om bord 85 personbiler og 16 lastebiler.
I (85,16) = 106 ⋅ 85 + 603 ⋅16
= 18 658
Inntekten blir da 18 764 kr.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 47 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
d
Vi tegner inn linja y = 14 for å avgrense antallet lastebiler. Vi tegner så den nye nivålinja
(stiplet linje).
Vi regner ut den nye høyeste inntekten.
I (93,14) = 106 ⋅ 93 + 603 ⋅14
= 18 300
Den høyeste inntekten er 18 300 kr.
E64
a
y1 krysser y-aksen i 3 og har stigningstall a =
1
y1 =
− x+3
2
y2 krysser y-aksen i 5 og har stigningstall a =
y2 =− x + 5
y3 krysser y-aksen i 6 og har stigningstall a =
3
y3 =
− x+6
2
© Aschehoug
www.lokus.no
−1
.
2
−1
= −1
1
−3
2
Side 48 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
Mengde kobberkis som blir tatt ut, er gitt ved
3x + 6 y =
18
6y =
−3 x + 18
1
y = − x+3
2
Dette tilsvarer y1 .
Mengde sinkblende som blir tatt ut, er gitt ved
x+ y =
5
y =− x + 5
Dette tilsvarer y2 .
Mengde blyglans som blir tatt ut, er gitt ved
6x + 4 y =
24
4y =
−6 x + 24
3
y = − x+6
2
Dette tilsvarer y3 .
c
Området må ligge på oversiden av alle linjene siden de må produsere minst det de får
bestilling på, se figuren.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 49 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
d
Vi setter inn nivålinja i figuren ovenfor. Merk at nivålinja er satt litt til høyre for punktet
fordi nivålinja er parallell med linja y3 . Vi har da to steder hvor vi får lavest kostnad. Enten
kan vi produsere 6 dager i Kongens gruve, eller 3 dager i Kongens gruve og 2 dager i
Dronningens gruve.
e
Hvis vi bare bruker Kongens gruve i 6 dager, får vi et overskudd på både kobberkis og
sinkblende.
Hvis vi bruker Kongens gruve i 3 dager og Dronningens gruve i 2 dager, får vi bare et
overskudd av kobberkis.
E65
a
=
L 10 lg(10−6 ) + 120
= 10·(−6) + 120
=
−60 + 120
= 60
Lydstyrken er på 60 dB.
b
Vi løser likningen for l
L 10 lg l + 120
=
10 lg l
L − 120 =
0,1L − 12 =
lg l
l = 100,1L −12
Vi setter inn L = 100
l = 100,1·100−12
= 1010−12
= 10−2
= 0, 01
Lydintensiteten er 0,01 W/m2.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 50 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
0,1·80 −12
c =
l80 10
=
10−4
0,1·110 −12
=
l110 10
=
10−1
Vi legger sammen lydintensitetene og regner ut ny lydstyrke
=
L 10 lg(10−1 + 10−4 ) + 120
= 10 lg 0,1001 + 120
= 110, 00434
Lydstyrken er ca. 110 dB.
E66
a
Dyret starter med 6000 Bq per kilo. Deretter halveres det hver 30. dag, dvs. at etter 30 dager
er det halvparten igjen. Etter 60 dager har det halvert seg to ganger, dvs. 0,52 , osv.
t
=
R 6000 ⋅ 0,5 30
b
Vi setter strålingen R til 600 og løser for t .
t
600 = 6000·0,5 30
t
600
= 0,5 30
6000
t
30
0,1 = 0,5
t
lg 0,1 = lg 0,5
30
lg 0,1
t=
·30
lg 0,5
t = 99, 66
Det tar 100 dager før strålingen blir mindre enn 600 Bq per kilo.
E67
a
L(450)
= 4200 − 1500 lg 450
= 220, 2
De regner med å selge ca. 220 luer.
b
600 4200 − 1500 lg p
=
600 − 4200 =
−1500 lg p
−3600
= lg p
−1500
12
lg p =
5
p = 251, 2
For å selge 600 luer må prisen være ca. 250 kr.
c
I ( p ) = L( p ) ⋅ p
=
( 4200 − 1500 ⋅ lg p ) ⋅ p
= 4200 p − 1500 p lg p
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 51 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
d
Vi skriver inn uttrykket i CAS, løser den deriverte lik null for å finne toppunkt. Vi setter så
inn i uttrykket for å finne inntekten.
Forretningen bør velge en pris på 232 kr. Inntekten blir da ca. 150 000 kr.
E68
a
Vi setter først inn uttrykket i CAS. Deretter bruker kommandoen
Løs[ <Likning>,<Variabel>]
I
der likningen er I (3) = 0 og variabelen vi skal løse for, er k .
2
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 52 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi setter først det nye uttrykket inn i CAS og setter så inn likningen I ( x) = 0,6 ⋅ I 0 og
trykker på løs. Vi får da et stygt uttrykk som kopieres til raden under og trykker så på regn
ut numerisk (knapp nummer to fra venstre).
På 4 meters dyp er intensiteten redusert med 60 %.
cx
c
1
Vi lager en ny likning i CAS med den nye formelen K ( x) = I 0   . Vi kaller den K ( x)
2
for å kunne skille de to uttrykkene. Vi bruker så kommandoen Løs[ <Likning>,<Variabel>].
Konstanten c har verdien 0,33.
E69
a
x
n · 
n
lg x
x
 
n
lg x
x
 
n
lg x
n
© Aschehoug
= xn
=
xn
nn
x
= 
n
n
www.lokus.no
Side 53 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
lg x
n
x
x
lg   = lg  
n
n
lg x·( lg x − lg n ) = n·( lg x − lg n )
b
lg x·( lg x − lg n ) − n·( lg x − lg n ) =
0
0
( lg x − n )( lg x − lg n ) =
c
Uttrykket gir to mulige løsninger, hver av faktorene kan være lik null. Vi ser på dem hver
for seg.
lg x − n =
0
∨
lg x − lg n =
0
lg x = n
∨
lg x =
lg n
x = 10n
∨
x=
n
E70
3
a
b
4 

10 000 ⋅ 1 +

 100 
= 10 000 ⋅1, 043
= 11 248, 64
Etter 3 år har Per ca. 11 250 kr på konto.
Vi setter opp en likning:
25 000 = 10 000 ⋅1, 04 x
2,5 = 1, 04 x
lg 2,5
lg1, 04
x = 23, 36
Det tar 23,4 år før Per har 25 000 kr på kontoen.
x=
c
I dag har Per 11 248,64 kr på kontoen. Vi legger til en sum som vi kaller x til dette, regner
7 år fram i tid og setter det lik 25 000 kr.
=
25 000 (11 248, 64 + x ) ⋅1, 047
25 000
=
11 248, 64 + x
1, 047
25 000
=
− 11 248, 64
x
1, 047
x = 7751,31
Per må sette inn ca. 7750 kr på kontoen for å få 25 000 etter 7 år til.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 54 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E71
a
Vi bruker regnearket i GeoGebra og tar regresjon for å finne potensfunksjonen.
V (t ) = 3,31 ⋅ x 0,33
b
Tanken er full når vannstanden har nådd 10 meter, dvs. V (t ) = 10 .
10 = 3,3104 ⋅ x 0,3313
10
= x 0,3313
3,3104
x = 0,3313
10
3,3104
x = 28,1318
Tanken er full etter ca. 28 timer.
Det blir fylt på 18 m3 per time.
28,1318 ⋅18 =
506,37
Det er 506,4 m3 vann i tanken når den er full.
c
18 ⋅ x =
1000
1000
18
x = 55, 56
Det tar ca. 55,5 timer å fylle den nye tanken.
Den nye tanken følger samme formel som vi fant i oppgave a, vi setter inn antall timer og
regner ut.
V (55,56)
= 3,3104 ⋅ 55,560,3313
x=
= 12,5291
Den nye tanken er ca. 12,5 meter høy.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 55 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E72
a
Høyden i rektanglet er gitt ved funksjonsverdien. Lengden i rektangelet er gitt ved 2x.
F ( x) = 2 x· f ( x)
1 

= 2 x· 6 − x 2 
2 

3
= 12 x − x
Arealet kan ikke være null eller negativt. Vi faktoriserer F ( x) .
F ( x) = x(12 − x 2 )
( 12 − x )( 12 + x )
x ( 2 3 − x )( 2 3 + x )
=x
=
Vi tegner fortegnslinje.
Vi husker at arealet ikke kan være null eller negativt.
DF = 0 , 2 3
b
F (=
x) 12 x − x3
=
9 12 x − x3
Vi løser i CAS.
Vi kan ikke ha en negativ x-verdi.
x = 0, 79 ∨ x =
3
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 56 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
c
Vi deriverer og setter lik null.
F ′( x=
) 12 − 3 x 2
=
0 3(4 − x 2 )
0 =3(2 − x)(2 + x)
x=2 ∨ x=
−2
Vi kan ikke ha negative x-verdier. Det største arealet er ved x = 2 .
F (2) = 12·2 − 23
= 24 − 8
= 16
Det største arealet er 16.
d
O( x) = 2 x + 2 x + f ( x) + f ( x)
= 4 x + 2 f ( x)
1 

= 4x + 2  6 − x2 
2 

2
= 4 x + 12 − x
= − x 2 + 4 x + 12
Vi deriverer og setter lik null for å finne største omkretsen.
−2 x + 4
O′( x) =
−2 x + 4
0=
2x = 4
x=2
Omkretsen blir størst når x = 2 . Dette er samme resultat som for størst areal. Størst areal
gir også størst omkrets i dette tilfellet.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 57 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E73
a
b
Inntekt er antall solgte varer multiplisert med prisen på varen.
g ( x) = x ⋅ 500
= 500 x
Vi bruker skjæring mellom to objekter og finner skjæringspunktene.
For å gå i balanse må bedriften produsere og selge enten 401 enheter eller 2052 enheter.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 58 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
c
Vi finner overskuddet ved å sette g ( x) − f ( x) .
( x) g ( x) − f ( x)
O=
(
= 500 x − 30,4 x + 2000
)
Vi deriverer dette i CAS og løser for O′( x) = 0 .
Størst overskudd har vi ved produksjon av 1601 enheter.
Vi setter inn i O( x) for å finne overskuddet.
Størst overskudd er 4869 kr.
E74
a
Stigningstallet er gitt som den deriverte i punktet.
f ′( x)= x − 2
f ′(1) =−
1 2 =−1
Stigningstallet til tangenten er −1 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 59 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi finner først et uttrykk for stigningstallet til tangenten i det oppgitte punktet.
3
g ′( x) = x 2 − 2ax
2
3
− 2a
g ′(1)=
2
Siden tangentene er parallelle, er stigningstallet likt. Vi setter uttrykket for stigningstallene
lik hverandre.
3
−1 = − 2a
2
3
−1 − =−2a
2
5
− =
−2a
2
5
a=
4
c
Vi tegner inn funksjonene og viser tangentene i x = 1 for begge funksjonene (stiplet linje).
Vi ser at tangentene er parallelle, dermed er f ′(1) = g ′(1) , og den momentane vekstfarten er
lik.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 60 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E75
a
Vi skriver tallene inn i et regneark og tar regresjonsanalyse.
=
K ( x) 0,001x 3 − 0,311x 2 + 30,743 + 2,423
b
Vi tegner inn K og I , og merker skjæringen mellom grafene.
Bakeriet får overskudd for produksjonsmengden 64 ≤ x ≤ 236 og underskudd for
produksjonsmengden x ≤ 63 og x ≥ 237 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 61 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
c
Vi setter opp uttrykket for overskuddet.
O=
( x) I ( x) − K ( x)
(
= 15 x − 0, 001x3 − 0,3 x 2 + 30 x
)
=
−0, 00 x3 + 0, 3 x 2 − 15 x
Vi setter inn i CAS og regner ut O′( x) = 0 .
Vi får to svar, setter de inn i O( x) og ser at de bør produsere 171 enheter for å få det største
overskuddet som da er 1207 kr.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 62 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
d
Vi setter inntekten til I ( x) = px og løser I ( x) = K ( x) i CAS.
Vi faktoriserer ut x slik at vi får et andregradsuttrykk.
Vi skal ha bare én løsning da grafen til I ( x) tangerer grafen til K ( x) . Vi setter
b 2 − 4ac =
0.
Den minste verdien for p er 7,5.
Vi setter den nye inntekten lik kostnaden og løser.
Det bør lages og selges 150 kaker per dag.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 63 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E76
a
f ( x) ≤ 200
55 + 0, 01x 2 ≤ 200
0, 01x 2 ≤ 145
x 2 ≤ 14 500
Vi ser bare på de positive løsningene.
x ≤ 120, 42
Bedriften kan høyst produsere 120 enheter.
b
Vi løser i CAS.
Bedriften får overskudd for 50 < x < 110 .
Størst overskudd får bedriften når x = 80 .
Overskuddet er da på 9.
c
Minsteprisen er når vi har balanse mellom inntekt og kostnad. Dette skjer når h tangerer
kostnadskurven.
d
I punktet T er stigningstallet til tangenten lik den deriverte til funksjonen f . Vi kan da
sette p = f ′(a ) .
p = f ′(a )
f ′( x) = 0, 02 x
1, 48 = 0, 02a
1, 48
0, 02
a = 74
Det må produseres og selges 74 enheter for å oppnå minst pris.
a=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 64 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
e
For å få bare én løsning må uttrykket under rottegnet i andregradsformelen være lik null.
b 2 − 4ac =
0
(− p ) 2 − 4·0, 01·55 =
0
p 2 − 2, 2 =
0
p = 2, 2
p = ±1, 48
Vi antar at prisen er positiv, da vil p bare ha én løsning. Siden f ( x) = h( x) har bare én
løsning for denne verdien av p , vil dette være den minste prisen som gir balanse.
E77
V ( x) = πr 2 ·h
= πx 2 h
h= 6 − d
= 6 − 2x
2
V ( x) = πr ·(6 − 2 x)
6πx 2 − πx 2 2 x
=
= 6πx 2 − 2πx 3
E78
a
Vi bruker lineær regresjon og finner funksjonsuttrykket x =
−40 p + 1637,57 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 65 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
Vi finner først et uttrykk for antall enheter solgt ved en gitt pris.
x=
−40 p + 1600
x − 1600 =
−40 p
x − 1600
−40
x
p = − + 40
40
Vi setter opp et uttrykk for inntekten.
p=
I ( x) = px
 x

=  − + 40  x
 40

2
=
−0, 025 x + 40 x
c
K (1000) = 0, 002 ⋅10002 + 10 ⋅1000 + 4000
= 16 000
I (1000) =
−0, 025 ⋅10002 + 40 ⋅1000
= 15 000
Kostnaden er større enn inntekten, bedriften har et underskudd.
d
e
O=
( x) I ( x) − K ( x)
(
= −0, 025 x 2 + 40 x − 0, 002 x 2 + 10 x + 4000
)
2
=
−0, 027 x + 30 x − 4000
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 66 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
f
O′( x) = −0, 054 x + 30
0 −0, 054 x + 30
=
0, 054 x = 30
x = 555,56
Vi setter inn i uttrykket for p .
555,56 = −40 p + 1600
40 p = 1600 − 555,56
1600 − 555,56
40
p = 26,11
Prisen må være 26 kr for at overskuddet skal være størst mulig.
p=
E79
Første informasjon er at funksjonen har toppunkt i ( 2 , f (2) ) , dvs. den deriverte er lik null.
Andre informasjon er at tangenten i x = 1 har stigningstall 2, dvs. at den deriverte er lik 2 i dette
punktet.
2
8
Vi løser i CAS og får at a = − og b = − .
9
3
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 67 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E80
a
b
∆f ( x) f (2) − f (1)
=
∆x
2 −1
=
(
)
2 ⋅ 23 − 9 ⋅ 22 + 12 ⋅ 2 − 2 ⋅13 − 9 ⋅12 + 12 ⋅1
1
= 16 − 36 + 24 − 2 + 9 − 12
= −1
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 68 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
c
På grafen er punktene markert og linja gjennom dem tegnet inn. Vi ser at stigningstallet til
linja er −1 .
f ′( x) = 2 ⋅ 3 x 2 − 9 ⋅ 2 x + 12
= 6 x 2 − 18 x + 12
2
1
1
1
f ′   = 6 ⋅   − 18 ⋅ + 12
2
2
2
6
= − 9 + 12
4
= 4,5
På grafen er punktet markert og tangenten til punktet tegnet inn. Vi ser at stigningstallet til
tangenten er 4,5 .
d
f ′( x) = 6 x 2 − 18 x + 12
= 6( x 2 − 3 x + 2)
=6( x − 2)( x − 1)
Grafen stiger for x < 1 og for x >2. Grafen synker for 1 < x < 2 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 69 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
e
f
6( x − 2)( x − 1) =
0
∨
x−2=
0
x − 1 =0
∨
x =1
x=2
Vi regner ut tilhørende funksjonsverdi.
f (2) = 4 ∨ f (1) =
5
Toppunktet er (1 , 5) , og bunnpunktet er (2 , 4) .
f (=
x) 2 x3 − 9 x 2 + 12 x
= x(2 x 2 − 9 x + 12)
Vi løser parentesen med andregradsformelen.
−(−9) ± (−9) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅12
x=
2⋅2
9 ± 81 − 96
=
4
9 ± −15
=
4
Dette gir ingen løsning, dermed har vi bare x = 0 som en løsning.
E81
a
( )
P(3) = 30 ⋅ 0,13 ⋅ 0,927
3
= 0, 236
Det er 23,6 % sannsynlig at det biter nøyaktig 3 ganger.
b
Vi løser på sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra.
Det er 58,9 % sjanse for å få minst 3 fisker.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 70 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
c
Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren, velger mer enn 3 fisker og prøver verdier for n til vi
får 80 %.
Hvis vi kaster 42 ganger, har Thea over 80 % sjanse for å få minst 3 fisker.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 71 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E82
a
10 ⋅ 12
(
2) (6)
P(6 jenter) =
( 228)
= 0,130
Det er 13,0 % sannsynlig at 6 jenter blir trukket ut.
b
Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, der populasjonen er de 22 elevene, n er
de 8 som skal bli trukket ut, og utvalget er antall gutter som er 10.
Det er 84,4 % sannsynlig at minst 3 gutter blir trukket ut.
c
Hypergeometrisk sannsynlighet der de to guttene som er venner er en gruppe, de resterende
guttene er en gruppe og jentene er en gruppe.
2 ⋅ 8 ⋅ 12
2 0 6
P(2 venner og 6 jenter) =
22
8
( )( )( )
( )
= 0, 00289
Det er 0,29 % sannsynlig at de to guttene blir trukket ut sammen med 6 jenter.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 72 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E83
a
12 ⋅ 16
(
2) (2)
P(2 jenter og 2 gutter) =
( 284)
= 0,387
Det er 38,7 % sjanse for at det blir trukket ut 2 jenter og 2 gutter.
b
12 ⋅ 16
(
1) (3)
P (3 jenter og 1 gutt ) =
( 284)
= 0,328
Det er 32,8 % sjanse for at det blir trukket ut 3 jenter og 1 gutt.
c
Vi regner ut den siste kombinasjonen av hvert kjønn.
12 ⋅ 16
3
1
P(1 jente og 3 gutter ) =
28
4
( )( )
( )
= 0,172
Vi legger sammen alle sannsynlighetene.
P(minst en av hvert kjønn) = 0,172 + 0,328 + 0,387
= 0,887
Det er 88,7 % sannsynlig at minst en av hvert kjønn blir trukket ut.
d
Vi regner ut den siste kombinasjonen av hvert kjønn.
g ⋅ 10 − g
1
1
P (1 jente og 1 gutt) =
10
2
( )( )
( )
5 g ⋅ (10 − g )
=
45
9
=
25 g (10 − g )
g 2 − 10 g + 25 =
0
( g − 5) 2 = 0
g =5
Det er 5 gutter i lokallaget.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 73 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E84
a
b
Det er to muligheter, riktig eller galt svar; sannsynligheten for riktig er 0, 2 , og
sannsynligheten for galt er 1 − 0, 2 =
0,8 , og forsøkene er uavhengige.
( )
P(5) = 20 0, 25 ⋅ 0, 815
5
= 17, 45
Sannsynligheten for å få 5 riktige er 17,5 %.
c
Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren.
Sannsynligheten for å få minst 5 riktige er 37,0 %.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 74 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E85
a
( )
P(15) = 20 0, 7515 ⋅ 0, 255
15
= 0, 2023
Det er 20,2 % sannsynlig at 15 jobber som lærere.
b
Det er 41,5 % sannsynlig at flere enn 15 jobber som lærere.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 75 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
c
Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren, velger mer enn 25 lærere og prøver verdier for n til
vi får over 95 %.
Vi må spørre mist 39 personer for å få en sannsynlighet på 95 % for at flere enn 25 av dem
jobber som lærere.
E86
a
( )
P(60) = 70 0,8060 ⋅ 0, 2010
60
= 0, 0622
Det er 6,2 % sannsynlighet for at 60 av eplene kan selges til vanlig forbruk.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 76 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
Det er 14,7 % sannsynlig at minst 60 av eplene kan selges til vanlig forbruk.
c
80 ⋅ 100
(
10 ) ( 10 )
P(10 av hver sort) =
(18020)
= 0,1627
Det er 16,3 % sannsynlig at kunden får 10 epler av hver sort.
E87
a
( )
P(18) = 20 0, 7518 ⋅ 0, 252
18
= 0, 0669
Det er 6,7 % sannsynlig at akkurat 18 lyspærer lyser når det har gått 1000 h.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 77 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
b
Det er 61,7 % sannsynlighet for at minst 15 lyspærer lyser mer enn 1000 h.
c
Vi prøver oss fram med forskjellige p-verdier i sannsynlighetskalkulatoren.
Lyspærene må ha en sannsynlighet for å lyse mer enn 1000 h på 86,1 %.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 78 av 79
Løsninger til oppgavene i boka
E88
a
7 ⋅ 8 ⋅ 5
(
2 ) (1) (1)
P(2 gule, 1 rød, 1 hvit) =
( 204)
= 0,1734
Det er 17,3 % sannsynlig at de får utdelt 2 gule, 1 rød og 1 hvit kajakk.
b
7 ⋅ 8 ⋅ 5
(
4) (0) (0)
P(4 gule) =
( 204)
= 0, 00722
Det er 0,72 % sannsynlig at de får utdelt 4 gule kajakker.
c
Siden det ikke spiller noen rolle så lenge kajakkene ikke er gule, samler vi de røde og hvite
i en gruppe og velger alle 4 fra denne gruppen.
7 ⋅ 13
0 4
P(4 gule) =
20
4
( )( )
( )
= 0,1476
Det er 14,8 % sannsynlig at de ikke får utdelt noen gule kajakker.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 79 av 79