Øving 11 uke 44
Kritiske punkter
Se også Mathematicakompendiet, kap 3.8
En funksjon av to variable kan ha lokale maksimal- og minimalpunkter innenfor definisjonsmengden, akkurat som funksjoner av en variabel. I tillegg kan de ha sadelpunkter. Se for deg et punkt på
ryggen av en kamel mellom puklene. En fellesbetegnelse for maks-, min- og sadelpunkter er kritiske punkter. Vi bruker 2. deriverttesten til å klassifisere typen av kritiske punkter for funksjonen
z = f Hx, yL.
Vi antar f er kontinuerlig med kontinuerlige deriverte.
La Α =
¶2 f
¶x
2
, Β=
¶2 f
¶y
2
,Γ=
¶2 f
¶2 f
=
,
¶x ¶y
¶y ¶x
D = Α Β - Γ2
I alle kritiske punkter der de partielt deriverte eksisterer, må
¶f
¶x
= 0,
¶f
¶y
= 0 begge være oppfylt.
Geometrisk betyr dette at to tangenter i ortogonale retninger begge må være horisontale. Dette er
en nødvendig, men ikke tilstrekkelig betingelse. Dersom de partielt deriverte er null, behøver ikke
punktet være kritisk. (Betingelsen kan f.eks. være oppfylt for alle punkter på en rett linje).
Vi beregner Α, Β, Γ og D i alle punkter som er kandidat til å være et kritisk punkt. Testen sier da:
Hvis D > 0, Α < 0, har vi et lokalt maksimumspunkt
Hvis D > 0, Α > 0, har vi et lokalt minimumspunkt
Hvis D < 0, har vi et sadelpunkt.
Hvis D = 0, kan ikke testen alene avgjøre klassifiseringen.
I tillegg kan du ha ekstremalpunkter der funksjonen ikke er deriverbar. For å bestemme globale
ekstremalpunkter innenfor definisjonsmengden må disse også tas med i kandidatlisten.
I denne øvingen vil vi sammenlikne det teoretiske resultat med et grafisk bilde av konturlinjene til
flaten. Vi tegner konturene der
¶f
¶x
= 0 og
¶f
¶y
= 0 hver for seg. Der konturene skjærer hverandre, er
begge partielt deriverte lik null og vi har et mulig kritisk punkt. Vi leser av skjæringspunktet (evt.
beregner det ved numeriske metoder) og sammenlikner med resultatene vi allerede har kommet
fram til ved håndregningen.
2
Øving 11 uke 44.nb
Eksempel 1
f@x_, y_D := x2 + H2 - x L y2
pl = Plot3D@ f@x, yD, 8x, - 2, 5<, 8y, - 3, 3<,
AxesLabel ® 8"x", "y", "z"<, BoxRatios ® 81, 1, 1<D
2
y
0
-2
40
30
z 20
10
0
-2
0
2
x
4
Kan du allerede av grafen se hvor de kritiske punkter er, og hva slags type de er?
dfx = D@f@x, yD, xD Factor
2 x - y2
dfy = D@f@x, yD, yD Factor
-2 Hx - 2L y
soln = Solve@8dfx 0, dfy 0<, 8x, y<D
88x ® 2, y ® -2<, 8x ® 0, y ® 0<, 8x ® 2, y ® 2<<
Her ekstraheres de kritiske punktene.
critpts = 8x, y< . soln
2 -2
0 0
2 2
Vi må bestemme alle deriverte av 2. orden
Α = D@f@x, yD, 8x, 2<D
2
Øving 11 uke 44.nb
3
Β = D@f@x, yD, 8y, 2<D
2 H2 - xL
Γ = D@f@x, yD, x, yD
-2 y
D = Α Β - Γ2 Expand
-4 x - 4 y2 + 8
Her beregnes D og Α i de kritiske punkter
88x, y<, D, Α< . soln
82, -2< -16 2
80, 0<
8 2
82, 2< -16 2
Fra siste output leser vi følgende informasjon :
Punktet (2,-2) er et sadelpunkt.
Punktet (0,0) er et minimumspunkt.
Punktet (2,2) er et sadelpunkt.
Vi tegner konturene til funksjonen sammen med nivålinjene for dfx = 0 og dfy = 0. (Fjern det avsluttende semikolon for å se grafikken)
cp = ContourPlot@f@x, yD , 8x, - 3, 3<, 8y, - 3, 3<, Contours ® 30D;
cp1 =
ContourPlot@dfx 0, 8x, - 3, 3<, 8y, - 3, 3<, ContourStyle ® 8Yellow, Thick<D;
cp2 = ContourPlot@dfy 0, 8x, - 3, 3<,
8y, - 3, 3<, ContourStyle ® 8Green, Thick, Dashed<D;
Show@cp, cp1, cp2D
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Vi leser av skjæringspunktene mellom den gule linja og de to grønne, stiplede linjene. Det er våre
kritiske punkter. Ved å sette markør på en nivålinje, ser du hvilken verdi linjen representerer. Vi ser
derfor lett to sadelpunkter og et lokalt mininum på figuren. Dette bekrefter våre beregninger.
4
Øving 11 uke 44.nb
Vi leser av skjæringspunktene mellom den gule linja og de to grønne, stiplede linjene. Det er våre
kritiske punkter. Ved å sette markør på en nivålinje, ser du hvilken verdi linjen representerer. Vi ser
derfor lett to sadelpunkter og et lokalt mininum på figuren. Dette bekrefter våre beregninger.
Øving 11 uke 44.nb
Eksempel 2
f@x_, y_D := a x ExpA- x2 - y2 E + b Ix2 - y2 M ExpA- 2 x2 - 3 y2 E
Her velger vi konstantene a og b ved en randomgenerator. Det betyr at du får andre verdier enn
eksemplet, og nye verdier hver gang du kjører kommandoen.
Hvis du vil prøve eksemplet nøyaktig slik det står, skriver du inn: a = 0.823334 og b = 1.81927.
a = RandomReal@8- 3, 3<D
0.823334
b = RandomReal@8- 3, 3<D
1.81927
pl = Plot3D@ f@x, yD, 8x, - 2, 2<, 8y, - 4, 4<,
AxesLabel ® 8"x", "y", "z"<, BoxRatios ® 81, 1, 1<, PlotRange ® AllD
4
2
y
0
-2
-4
0.5
z
0.0
-2
-1
0
x
1
2
dfx = D@f@x, yD, xD
-1.64667 x2 ã-x -y + 3.63853 x ã-2 x -3 y - 7.27706 x ã-2 x -3 y Ix2 - y2 M + 0.823334 ã-x -y
2
2
2
2
2
2
2
2
dfy = D@f@x, yD, yD
-3.63853 y ã-2 x -3 y - 1.64667 x y ã-x -y - 10.9156 y ã-2 x -3 y Ix2 - y2 M
2
2
2
2
2
2
Likningene dfx = 0, df y = 0 lar seg bare løse numerisk. For å benytte Newton’s metode, trenger vi
gode startverdier. Det finner vi fra konturplottet.
cp = ContourPlot@f@x, yD, 8x, - 2, 2<, 8y, - 2, 2<, Contours ® 40,
FrameLabel ® 8"x", "y"<, ColorFunction ® Hue, PlotRange ® AllD;
5
Øving 11 uke 44.nb
cp1 =
ContourPlot@dfx 0, 8x, - 2, 2<, 8y, - 2, 2<, ContourStyle ® 8Yellow, Thick<D;
cp2 = ContourPlot@dfy 0, 8x, - 2, 2<,
8y, - 2, 2<, ContourStyle ® 8Black, Thick, Dashed<D;
Show@cp, cp1, cp2D
2
1
y
6
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
x
Newton' s metode er implementert i Mathematica ved kommandoen FindRoot. Du trenger en
nærliggende startverdi som du leser av fra konturplottet. Du må løse likningene for et punkt ad
gangen.
sol1 = FindRoot@8dfx 0, dfy 0<, 8x, 1<, 8y, 0<D
8x ® 0.707107, y ® 0.<
sol2 = FindRoot@8dfx 0, dfy 0<, 8x, - 0.5<, 8y, 0.5<D
8x ® -0.264196, y ® 0.567268<
sol3 = FindRoot@8dfx 0, dfy 0<, 8x, - 0.5<, 8y, - 0.5<D
8x ® -0.264196, y ® -0.567268<
sol4 = FindRoot@8dfx 0, dfy 0<, 8x, - 0.9<, 8y, 0<D
8x ® -0.707107, y ® 0.<
critpts = 8x, y< . 8sol1, sol2, sol3, sol4<
0.707107
0.
-0.264196 0.567268
-0.264196 -0.567268
-0.707107
0.
Øving 11 uke 44.nb
Α = D@f@x, yD, 8x, 2<D
7
-29.1083 x2 ã-2 x -3 y - 3.29334 x ã-x -y + 0.823334 x I4 x2 ã-x -y - 2 ã-x -y M +
2
2
2
2
2
2
2
2
3.63853 ã-2 x -3 y + 1.81927 I16 x2 ã-2 x -3 y - 4 ã-2 x -3 y M Ix2 - y2 M
2
2
Β = D@f@x, yD, 8y, 2<D
2
2
2
2
2
2
2
2
43.6624 y2 ã-2 x -3 y - 3.63853 ã-2 x -3 y +
1.81927 Ix2 - y2 M I36 y2 ã-2 x -3 y - 6 ã-2 x -3 y M + 0.823334 x I4 y2 ã-x -y - 2 ã-x -y M
2
2
2
2
2
2
2
2
Γ = D@f@x, yD, x, yD
3.29334 x2 y ã-x -y - 7.27706 x y ã-2 x -3 y + 43.6624 x y ã-2 x -3 y Ix2 - y2 M - 1.64667 y ã-x -y
2
2
2
2
2
2
2
2
D = Α Β - Γ2 Simplify
ã-4 x -6 y Iã2 x +4 y Ix2 I8.13455 - 5.42303 y2 M - 5.42303 x4 - 2.71152 y2 M +
2
2
2
2
x6 I-2.27374 ´ 10-13 y2 - 317.734M + x4 I4.54747 ´ 10-13 y4 + 158.867 y2 + 291.256M +
x2 I-2.27374 ´ 10-13 y6 + 635.468 y4 - 1774.01 y2 + 92.6724M +
x ãx +2 y Ix4 I23.9658 y2 - 83.8804M + x2 I-23.9658 y4 - 23.9658 y2 + 101.855M +
2
2
203.709 y4 - 293.581 y2 + 11.9829M - 476.601 y6 + 158.867 y4 + 172.106 y2 - 13.2389M
8D, Α< . 8sol1, sol2, sol3, sol4<
16.5732 -4.08953
4.76737 1.81119
4.76737 1.81119
3.33878 -1.26463
Vi leser av type = {maksima, minima, minima, maksima}
Oppgave 1
Gitt funksjonen f Hx, yL = 3 x3 - 9 x + x y 2 .
Beregn de partielt deriverte av 1.orden og angi mulige kritiske punkter ( håndregning).
Klassifiser de kritiske punktene etter 2.deriverttesten (håndregning).
Følg framgangsmåten i eksemplet og la programmet beregne og klassifisere de kritiske punkter.
Kontroller svarene ved å lage konturplott over flaten og nivåkurvene dfx = 0, dfy = 0. Kommenter
hva du leser av plottene.
Oppgave 2
Gitt funksjonen f Hx, yL = 2 ã-x
2
- y2
- 3 ã-2 x
2
-y 2
.
Lag et plott av funksjonen f Hx, yL . Hvilke kritiske punkter ser du?
Bestem mulige kritiske punkter ved å sette de partielt deriverte lik null. Denne del skal du gjøre for
hånd og kontrollere ved å skrive programkode som i eksemplet. Klassifiseringen overlater vi til
programmet å gjøre, da uttrykkene blir omfattende.
Lag konturplott av flaten sammen med nivåkurvene for dfx = 0 og dfy = 0 og les av posisjon og type
for dine kritiske punkter. Sammenlign med håndregningen.
Oppgave 3
Ingen håndregning i denne oppgaven !
Gitt funksjonen f Hx, yL = a Ix2 - y 2 M ã-x
2
- 2 y2
+ b y ã-2 x
Velg a, b som tilfeldige heltall mellom -3 og 3.
2
-y 2
.
8
Øving 11 uke 44.nb
Gitt funksjonen f Hx, yL = a Ix2 - y 2 M ã-x
2
- 2 y2
+ b y ã-2 x
2
-y 2
.
Velg a, b som tilfeldige heltall mellom -3 og 3.
a = RandomInteger@8- 3, 3<D
b = RandomInteger@8- 3, 3<D
Bestem og klassifiser de kritiske punkter slik som gjennomført i eksempel 2.
Hvis det er mange punkter, holder med et utvalg. Skulle du mot formodning få kurver der det er tvil
om nivåkurvene skjærer hverandre, dropper du disse punktene. Det er lov å prøve alternative
verdier av a og b