Repetisjonsforelesning - INF1080
Mengder, relasjoner og funksjoner
18. november 2015
1
Grunnleggende mengdelære
1.1
1.1.1
Elementært om mengder
Hva er en mengde?
Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en samling av objekter der innbyrdes rekkefølge og antall forekomster av hvert objekt ignoreres. Objektene i
en mengde kalles elementer, og vi sier at mengder er like hvis de inneholder
de samme elementene.
Som et eksempel er {1, 1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {1, 2, 3, 3, 3}.
Noen viktige mengder:
• Den tomme mengden – ∅ = {}
• De naturlige tallene – N = {0, 1, 2, . . .}
• Mengden av utsagnslogiske formler
1.1.2
Mengdebyggere
For å spesifisere mengder kan man bruke mengdebyggere. Den vanlige måten
å skrive dette på er {x | P (x)} der P (x) er et predikat som er avhengig av x.
Altså noe som kan være sant eller usant når man setter inn et bestemt objekt
for x. Man trenger ikke å bruke formell logikk for å spesifisere mengdene, det
viktige er at det er tydelig hva man mener med uttrykket.
Eksempler:
1
• De naturlige tallene under 1534 – {n | n ∈ N ∧ n < 1534}
• Alle som er over 18 år – {X | X er over 18 år}
1.1.3
Elementer
Som sagt blir objektene i en mengde kalt elementer, og vi skriver a ∈ A hvis
a er et element i mengden A. Vi skriver a 6∈ A hvis a ikke er et element i
mengden A.
Eksempler:
• a ∈ {a, b, c}
• ∅ ∈ {∅, a, b, c}
• ∅ 6∈ ∅
• −1 6∈ N
• 17 ∈ {n | n ∈ N ∧ n < 1534}
• P ∨ ¬P ∈ {x | x er en gyldig utsagnslogisk formel}
1.1.4
Delmengder
Et viktig begrep er begrepet om delmengde, nemlig at alle elementene i A
også er elementer i B.
Definisjon 1.2 (Delmengde). A ⊆ B ⇐⇒ ∀x(x ∈ A → x ∈ B)
Vi skriver A 6⊆ B hvis A ikke er en delmengde av B.
• {1, 2, 3} ⊆ Z
• {a} ⊆ {a, b}
• {a, b, c} 6⊆ {a, b}
Vi har to viktige egenskaper ved delmengder, nemlig at
• ∅ ⊆ X for alle mengder X
• Hvis A ⊆ B og B ⊆ A, så er A = B.
2
1.1.5
Operasjoner på mengder
Definisjon 1.3 (Operasjoner på mengder). Gitt to mengder A og B, kan vi
skape nye mengder på ulike måter.
• Union: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Snitt: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
• Mengdedifferanse: A \ B = {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Unionen av to mengder lager en ny mengde med de objektene som er
element i minst en av de to mengdene. Snittet av to mengder lager en ny
mengde med de objektene som er element i begge mengdene. Mengdedifferansen mellom to mengder fjerner alle elementene i den andre mengden fra
den første mengden.
Hvis A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} og B = {1, 3, 5, 7} så er
• A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
• A ∩ B = {1, 3, 5}
• A \ B = {2, 4, 6}
• B \ A = {7}
Andre eksempler:
• Mengden av partall union mengden av oddetall er mengden av heltall
• Mengden av primtall snitt mengden av partall er {2}
• Mengden av utsagnslogiske formler minus mengden av gyldige formler
er mengden av falsiferbare formler
• Mengden av utsagnslogiske formler minus (mengden av gyldige formler
union mengden av kontradiktoriske formler) er (mengden av oppfyllbare formler snitt mengden av falsifiserbare formler)
3
1.1.6
Oppgaver
Eksamen 2013 - 1b) og c)
La A = {1, 2}, B = {1, 2, {1, 2}} og C = {1, 2, 3, {1, 2, 3}}.
Er følgende påstander sanne eller usanne?
1. A ⊆ B - Sann
2. B ⊆ C - Usann
3. A ∈ B - Sann
4. B ∈ C - Usann
Regn ut:
1. A \ B - ∅
2. B \ A - {{1, 2}}
3. A ∪ B - {1, 2, {1, 2}} = B
4. B ∪ C - {1, 2, 3, {1, 2}, {1, 2, 3}}
1.2
1.2.1
Andre typer objekter
Tupler
Definisjon 1.4 (Tupler). Et n-tuppel er en samling med n objekter der
både rekkefølge og antall forekomster tas hensyn til. Altså er ha, bi 6= hb, ai
og ha, bi =
6 ha, b, bi.
Merk at {a, b} = {b, a} og {a, b} = {a, b, b}.
Definisjon 1.5 (Kartesisk produkt). Fra tupler kan vi definere kartesiske
produkter av mengder. Det er slik at
X1 × · · · × Xn = {hx1 , . . . , xn i | xi ∈ Xi for i = 1, . . . , n}
For eksempel er {a, b} × {1, 2} = {ha, 1i, ha, 2i, hb, 1i, hb, 2i}
4
6
Relasjoner
6.1
6.1.1
Generelt om relasjoner
Hva er en relasjon?
En relasjon er noe som relaterer to eller flere objekter med tanke på en viss
egenskap.
Vi snakker hovedsaklig om binære relasjoner, siden dette er noe som dukker opp veldig ofte i matematikk og i vårt hverdagsliv også! For eksempel
uttrykker vi at “Spania er varmere enn Norge” eller at “Ole er yngre enn
Kari”. I matematikken snakker vi om at 2 er mindre enn 3 eller at A er en
delmengde av B.
Definisjon 6.1 (Binær relasjon). En binær relasjon fra mengden S til mengden T er en delmengde av S × T . En binær relasjon på mengden S er en
delmengde av S 2 = S × S.
Altså er relasjoner mengder av tupler.
n-ære relasjoner er nevnt i læreboka.
Vi snakker mest om binære relasjoner på mengder.
6.1.2
Tegne relasjoner
Hvordan tegner vi relasjoner?
Se side 66 i læreboka
6.2
Egenskaper ved relasjoner
6.2.1
Refleksivitet og irrefleksivitet
Definisjon 6.2 (Refleksivitet). En binær relasjon R på S er refleksiv hvis
det for alle x ∈ S er slik at hx, xi ∈ R.
Definisjon 6.3 (Irrefleksivitet). En binær relasjon R på S er irrefleksiv hvis
det for alle x ∈ S er slik at hx, xi 6∈ R.
Som vi ser er disse motsetninger, men det er også mulig å være hverken
refleksiv eller irrefleksiv og å være begge deler.
For eksempel er ⊆ på mengder og ≤ på tall refleksive relasjoner, mens <
på tall og foreldre-relasjonen på mennesker er irrefleksive relasjoner.
5
Se side 68 i læreboka for flere eksempler på refleksive relasjoner, og side
71-72 for eksempler på irrefleksive relasjoner.
6.2.2
Symmetri og anti-symmetri
Definisjon 6.4 (Symmetri). En binær relasjon R på mengden S er symmetrisk hvis det for alle x, y er slik at hvis hx, yi ∈ R, så hy, xi ∈ R.
Definisjon 6.5 (Anti-symmetri). En binær relasjon R på mengden S er
anti-symmetrisk hvis det for alle x, y er slik at hvis hx, yi ∈ R og hy, xi ∈ R,
så x = y.
Navnene ligner, men definisjonene er ganske annerledes. Igjen mulig å
være ingen av delene eller begge.
Symmetrisk: ⇐⇒ , =, er i slekt med
Anti-symmetrisk: ⊆, ≤
Se side 69 i læreboka for flere eksempler på symmetri, og side 71 for
anti-symmetri.
6.2.3
Transitivitet
Definisjon 6.6. En binær relasjon R på mengden S er transitiv hvis det for
alle x, y, z er slik at hvis hx, yi ∈ R og hy, zi ∈ R, så hx, zi ∈ R.
Transitive: ⊆, =⇒ , =, ⇐⇒ , ≤
Se side 69 i læreboka for noen eksempler.
6.3
6.3.1
Spesielle typer relasjoner
Ekvivalensrelasjoner
Definisjon 6.7 (Ekvivalensrelasjon). En ekvivalensrelasjon er en relasjon
som er både refleksiv, symmetrisk og transitiv.
6.3.2
Ordninger
Definisjon 6.8 (Partiell ordning). En partiell ordning er en relasjon som er
både refleksiv, anti-symmetrisk og transitiv.
Partielle ordninger er relasjoner med en slags retning, altså når du har
gått fram kan du ikke gå tilbake.
6
Definisjon 6.9 (Total ordning). En partiell ordning R på en mengde S kalles
en total ordning hvis det for alle x og y i S er slik at xRy eller yRx.
Totale ordninger er relasjoner der alt kan sammenlignes, og da kan alle
elementene legges på en linje.
7
7.1
7.1.1
Funksjoner
Hva er en funksjon?
Definisjon og terminologi
Definisjon 7.1 (Funksjon). En funksjon fra A til B er en binær relasjon f
fra A til B slik at for enhver x ∈ A, er det nøyaktig ett element y ∈ B slik
at hx, yi ∈ f . Vi skriver f (x) = y når hx, yi ∈ f .
Definisjon 7.2 (Definisjons- og verdiområdet). Hvis f er en funksjon fra A
til B, kalles mengden A definisjonsområdet til f . Mengden B kalles verdiområdet til f .
Definisjon 7.3 (Bildemengde). La f være en funksjon fra A til B, og la X
være en delmengde av A. Mengden f [X] = {f (x) | x ∈ X} kalles bildet av
X under f . f [A], altså bildet av hele A under f , kalles bildemengden til f .
7.2
7.2.1
Egenskaper ved funksjoner
Injektiv
Definisjon 7.4 (Injektivitet). En funksjon er injektiv hvis den sender ulike
elementer til ulike elementer. Mer formelt er en funksjon f : A → B injektiv
hvis det for alle elementer x og y i A er slik at x 6= y → f (x) 6= f (y). Hvis f
er injektiv sier vi at f er en injeksjon eller er en-til-en.
Det kontrapositive av x 6= y → f (x) 6= f (y) er f (x) = f (y) =⇒ x = y,
og det bruker vi ofte.
Identitets- og inklusjonsfunksjonene er injektive. Se side 80 for andre eksempler.
7
7.2.2
Surjektiv
Definisjon 7.5 (Surjektivitet). En funksjon f : A → B er surjektiv hvis
f [A] = B, altså at bildemengden er lik verdiområdet. En annen måte å
uttrykke dette på er at f : A → B er surjektiv hvis det for alle y ∈ B finnes
en x ∈ A slik at f (x) = y. Vi sier at en surjektiv funksjon er en surjeksjon
eller på.
Identitetsfunksjonen er surjektiv. Se side 81 for andre eksempler.
7.2.3
Bijektiv
Definisjon 7.6 (Bijektivitet). En funksjon er bijektiv hvis den er både injektiv og surjektiv. En slik funksjon kalles en bijeksjon eller en en-til-en korrespondanse.
Identitetsfunksjonen er bijektiv. Se side 81 for flere eksempler.
7.2.4
Oppgaver
Avgjør om følgende funksjoner f : {a, b, c} → {1, 2, 3, 4} er injektive, surjektive eller bijektive:
a) f = {ha, 1i, hb, 2i, hc, 1i}
b) f = {ha, 3i, hb, 1i, hc, 2i}
Avgjør om følgende funksjoner f : {a, b, c, d} → {1, 2, 3, 4} er injektive, surjektive eller bijektive:
a) f = {ha, 3i, hb, 4i, hc, 3i, hd, 4i}
b) f = {ha, 1i, hb, 2i, hc, 3i, hd, 4i}
c) f = {ha, 4i, hb, 3i, hc, 1i, hd, 3i}
7.3
Operasjoner på funksjoner
7.3.1
Sammensetning av funksjoner
Definisjon 7.7 (Sammensetning av funksjoner). Gitt to funksjoner f : A →
B og g : B → C, kan vi skape sammensetningen av f og g, g ◦ f : A → C,
definert ved (g ◦ f )(a) = g(f (a)).
8
Sammensetningen av f og g er altså en ny funksjon som man får ved å
anvende g på resultatet av å anvende f på argumentet.
Eksempel: f : R → R; x 7→ 2x og g : R → R; x 7→ 3x + 17. Regn ut f ◦ g
og g ◦ f .
8
Litt mer mengdelære
8.1
8.1.1
Nye operasjoner på mengder
Komplement
Det er nyttig å anta at vi alltid har en underliggende universell mengde, som
vi betegner med U. Hvis ingenting annet er spesifisert, står U for en vilkårlig
universell mengde.
Definisjon 8.1 (Komplement). Hvis M er en mengde og U er den universelle
mengden, definerer vi komplementet til M som M = U \ M .
Komplementet lager en mengde med alle elementene som ikke er med i
den originale mengden.
8.1.2
Potensmengder
Definisjon 8.2 (Potensmengde). For en gitt mengde M , er potensmengden
til M mengden av alle delmengder av M , og vi skriver dette P(M ).
Eksempler:
• P(∅) = {∅}
• P({1}) = {∅, {1}}
• P({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
Generelt vet vi at potensmengden til en mengde med n elementer vil ha
2 elementer.
n
9
8.2
Kardinalitet
8.2.1
Kardinalitet
Kardinalitet er en måte å finne/sammenligne størrelsen til ulike mengder.
Definisjon 8.3 (Kardinalitet). To mengder M og N har lik kardinalitet hvis
det finnes en bijeksjon fra M til N , og da skriver vi |M | = |N |. Vi sier at
mengden M har kardinalitet mindre eller lik N hvis det finnes en bijeksjon
mellom M og en delmengde av N (eller at det finnes en injeksjon fra M til
N ) (Bevis at disse er ekvivalente!), og skriver |M | ≤ |N | hvis det er tilfellet.
Hvis M er en endelig mengde lar vi |M | betegne hvor mange elementer som
finnes i M .
Noen eksempler er at |N| = |Z|, |N| ≤ |R|, |∅| = 0 og |{1, 2, 3}| = 3.
8.2.2
Oppgaver
Oppgave 8.10 fra læreboka
Anta at |S| = 3 og |T | = 4 og at S ∪ T = ∅
a) Hva er |S × T |? 12
b) Hva er |S ∪ T |? 7
c) Hva er |S ∩ T |? 0
d) Hva er |S \ T |? 3
e) Hva er |T \ S|? 4
f) Hva er |P(S)| og |P(T )|? 8 og 16
8.2.3
Tellbarhet
Definisjon 8.4 (Tellbar). Vi sier at en mengde er tellbar hvis den er enten
endelig eller hvis den har lik kardinalitet som de naturlige tallene N. Mengder
som ikke er tellbare kalles overtellbare.
Noen tellbare mengder er
• En vilkårlig endelig mengde: {1, 2, 3}
10
• De naturlige tallene: N = {0, 1, 2, . . .}
• Heltallene: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
• De rasjonale tallene, mengden av brøktall: Q
Noen overtellbare mengder er
• De reelle tallene: R
• Potensmengden til de naturlige tallene: P(N)
• Mengden av funksjoner fra N til N.
8.2.4
Noen artige teoremer
Cantors teorem. For alle mengder X er |X| < |P(X)|. (Oppgave 8.15 i
læreboka)
Schröder-Bernsteins teorem. For alle mengder A og B, hvis |A| ≤ |B| og
|B| ≤ |A| så er |A| = |B|. Ekvivalent, hvis det finnes en injeksjon f : A → B
og en injeksjon g : B → A, vil det finnes en bijeksjon h : A → B.
11