1. No category

Injektive og surjektive funksjoner
Christian F. Heide
2. september 2015
Dette notatet forklarer begrepene injektive og surjektive funksjoner, og er tenkt brukt som et
supplement til avsnitt 2.5 i boken «Mathema 1» av Steffen Log.
En funksjon f : A  B er et spesialtilfelle av en relasjon fra mengden A til mengden B. Det
er ikke noe i veien for at A og B er samme mengde.
Kravet for at en slik relasjon skal være en funksjon, er at hvert element i mengden A må ha
relasjon til nøyaktig ett element i mengden B. Vi kaller da mengden A for definisjonsmengden
(eller domenet) til f og B for kodomenet. Mengden av de elementer i kodomenet som faktisk
er bilder av elementer i definisjonsmengden, kalles funksjonens verdimengde. Det er altså de
verdiene funksjonen kan «produsere». Verdimengden er følgelig en delmengde av
kodomenet.
Det kan altså ikke være slik at et element i mengden A ikke har relasjon til noe element i
mengden B. Det kan heller ikke være slik at elementet a1 i mengden A har relasjon både til b1
og b2 i mengden B. Den kan bare ha relasjon til ett element. Men det er ikke noe i veien for at
ulike elementer i A har relasjon til samme element i B. Så vi kan godt ha både parene (a1, b1 )
og ( a2 , b1 ) .
Men dersom ulike elementer i A har relasjon til ulike elementer i B sier vi at funksjonen er
injektiv eller én-entydig.
Dersom alle elementer i B er bilde av et element i A, sier vi at funksjonen f er surjektiv (eller
på). Altså: dersom funksjonen skal være surjektiv må alle elementer i kodomenet «være i
bruk», altså alle må forekomme som andre element i et ordnet par i relasjonsmengden. En
annen måte å si dette på, er at verdimengden må være lik kodomenet.
En funksjon som er både injektiv og surjektiv, kalles bijektiv.
Nedenfor følger noen eksempler for å illustrere disse begrepene.
1
Eksempel 1 – ikke en funksjon
A
B
a1
b1
a2
b3
b2
a3
Her har vi en relasjon fra A til B gitt ved relasjonsmengden R  (a1 , b1 ), (a3 , b2 ). Denne
relasjonen er ikke en funksjon fordi ikke alle elementer i A har relasjon til elementer i B. Dette
skyldes altså at a 2 mangler relasjon til noe element i B.
Eksempel 2 – ikke en funksjon
A
B
a1
b1
a2
b3
b2
Her har vi en relasjon fra A til B gitt ved relasjonsmengden R  (a1 , b1 ), (a1 , b3 ), (a2 , b2 ).
Denne relasjonen er ikke en funksjon fordi elementet a1 har relasjon til to elementer i B.
2
Eksempel 3 – en funksjon, hverken injektiv eller surjektiv
A
B
a1
b1
a2
b3
b2
a3
Her har vi en relasjon fra A til B gitt ved relasjonsmengden R  (a1, b1), (a2 , b1), (a3 , b2 ).
Siden alle elementer i A har relasjon til nøyaktig ett element i B, er dette en funksjon. Men
siden både a1 og a2 har relasjon til b1 , er funksjonen ikke injektiv. Og siden b3 ikke er bilde
av noe element i A, er funksjonen ikke surjektiv.
Eksempel 4 – en funksjon, injektiv men ikke surjektiv
A
B
a1
b1
a2
b3
b2
Her har vi en relasjon fra A til B gitt ved relasjonsmengden R  (a1 , b1 ), (a2 , b3 ). Siden alle
elementer i A har relasjon til nøyaktig ett element i B, er dette en funksjon. Og siden alle
elementer i A har relasjon til ulike elementer i B, er funksjonen injektiv. Men siden b2 ikke er
bilde av noe element i A, er ikke funksjonen surjektiv.
3
Eksempel 5 – en funksjon, surjektiv men ikke injektiv
A
B
a1
b1
a2
b2
a3
Her har vi en relasjon fra A til B gitt ved relasjonsmengden R  (a1, b1), (a2 , b1), (a3 , b2 ).
Siden alle elementer i A har relasjon til nøyaktig ett element i B, er dette en funksjon. Men
siden både a1 og a2 har relasjon til b1 , er funksjonen ikke injektiv. Imidlertid er alle
elementer i B bilde av minst ett element i A, og funksjonen er følgelig surjektiv.
Eksempel 6 – en funksjon, både injektiv og surjektiv
A
B
a1
b1
a2
b3
b2
a3
Her har vi en relasjon fra A til B gitt ved relasjonsmengden R  (a1, b1 ), (a2 , b3 ), (a3 , b2 ).
Siden alle elementer i A har relasjon til nøyaktig ett element i B, er dette en funksjon. Og
siden alle elementer i A har relasjon til ulike elementer i B, er funksjonen injektiv. Og siden
alle elementer i B er bilde av minst ett element i A, er funksjonen også surjektiv. Funksjonen
er følgelig bijektiv.
Eksempel 7 – en funksjon, injektiv men ikke surjektiv
Gitt en relasjon f : Z  Z ved
f ( x)  2 x  1
Denne relasjonen er en funksjon fordi hvert element i definisjonsmengden Z har relasjon til
nøyaktig ett element i kodomenet Z.
Funksjonen er også injektiv, fordi ulike elementer i definisjonsmengden har ulike bilder i
kodomenet.
4
Den er imidlertid ikke surjektiv. Dette kan vi kanskje lettest se ved å regne ut noen
funksjonsverdier. Vi ser for eksempel at f (1)  3 , f (0)  1 , f (1)  1 og f (2)  3 . Vi ser
at alle funksjonsverdier er oddetall. Det betyr at partallene ikke er bilde av noe element i
definisjonsmengden. Dette kan vi illustrere slik:
Z
Z
–3
–1
–2
–1
0
1
0
1
2
Fordi det finnes elementer i kodomenet som ikke er bilde av elementer i definisjonsmengden,
er funksjonen ikke surjektiv.
Eksempel 8 – en funksjon, injektiv og surjektiv
Gitt en relasjon f : R  R ved
f ( x)  2 x  1
Dette er den samme relasjonen som i forrige eksempel, men altså definert fra R til R. Av
samme grunner som i forrige eksempel, er denne relasjonen en funksjon, og funksjonen er
injektiv.
Men i motsetning til forrige eksempel er denne funksjonen også surjektiv. Dette skyldes at
definisjonsmengden består av de reelle tall, og alle tall i kodomenet er et bilde av et element i
definisjonsmengden. For eksempel skaper ikke lenger partallene i kodomenet noe problem. 0
vil for eksempel være bildet av 0.5 (fordi f (0.5)  0 ), og 2 vil være bildet av 1.5.
Vi ser altså at hvorvidt en funksjon er injektiv og surjektiv ikke kun avhenger av
funksjonsdefinisjonen, men også av definisjonsmengden og kodomenet.
Denne funksjon er altså bijektiv, og den har følgelig en invers funksjon.
Vi kan i dette tilfellet finne den inverse funksjonen ved å løse ligningen for
funksjonsuttrykket y  2 x  1 med hensyn på x:
x
y 1
2
5