1. No category

FYS1210 - Oppgaver for regneøvelse 27/1
Om oppgavene
Oppgavene vil bli brukt i regneøvelsen 27/1, hvor det vil bli lagt opp til å
gjøre dem i grupper.
Oppgavene her er nye av året og er tenkt som en innføring eller repetisjon.
De er lagd uten bruk av læreboken. Informasjon om temaene i oppgavene kan finnes i forelesningsnotatene og på internettsider som Wikipedia,
HyperPhysics og DoITPoMS. For de som ikke har bok, ligger det gratis
digitale læremidler om elektronikk på internett slik som f.eks. All About
Circuits eller Electronics Tutorials.
Det er mange oppgaver, men regneoppgavene er korte og det er ikke ment
at forklaringene skal være lange. Det viktigste er å ikke å bli stresset hvis
det er vanskelig og å ikke bruke for mye tid på dem. Spør heller om hjelp
eller prøv igjen på et senere tidspunkt. Det vil også bli lagt ut løsningsforslag på fredag 30/1. Oppgavene er merket med S og F, hvor S betyr at
oppgavene er sentrale for eksamen og lab mens F betyr at oppgavene er
ment for økt forståelse. Forslag til forbedringer eller beskjed om feil i oppgavene kan sendes til [email protected].
SI-systemet
a) F (for de som ikke er vant med å bruke SI-systemet)
I elektronikk er fysiske enheter svært sentralt. Les om SI-systemet på
Wikipedia og gjør deg kjent med hvordan SI-systemet er bygd opp.
b F (for de som ikke er vant med å bruke SI-systemet)
De enhetene som blir mest brukt i elektronikk er sålakte avledede enheter
(derived units). På Wikipedia finner du Avledede enheter (Engelsk), som
1
er fin å slå opp i når du gjør oppgaver eller lab. Besøk siden og prøv å få en
oversikt.
Elektrisk strøm - DC
For ordinary currents, this drift velocity is on the order of
millimeters per second in contrast to the speeds of the
electrons themselves which are on the order of a million
meters per second. Even the electron speeds are
themselves small compared to the speed of transmission
of an electrical signal down a wire, which is on the order
of the speed of light, 300 million meters per second.
HyperPhysics - Rod Nave
a) F
Enheten for elektrisk strøm ( I ) er Ampere (A) og er en grunnenhet (SI base
unit). Elektrisk ladning ( Q) har enheten coulomb (C) som er en avledet
enhet.
1. Finn coulomb på siden Avledede enheter (Engelsk) og dens ekvivalent bestående av grunnenheter.
2. Sett "C = ekvivalenten med grunnenheter", skriv den om slik at
du kan forklare elektrisk strøm ved hjelp av ladning (og ikke med
to parallelle uendelige lange ledere med forsvinnende lite sirkulært
tverrsnitt osv) .
b) F
I forelesningsnotatet FYS1210 Start på side 29 står det om elektrisk strøm
(current). De to bildene viser hva som skjer når elektroner i en leder blir
påsatt et elektrisk felt (f.eks et batteri). På DoITPoMS - Metals: the Drude
model of electrical conduction kan du se en animasjon av likestrøm (DC)
på bunnen av siden. Øk det elektrisk feltet og se hva som skjer.
PS. Drude modellen i seg selv er ikke pensum, men den forklarer
elektrisk strøm slik som på side 29. Fra Drude model på Wikipedia: This
simple classical Drude model provides a very good explanation of DC and
AC conductivity in metals, the Hall effect, and thermal conductivity (due
to electrons) in metals near room temperature.
2
c) F
I FYS1210 bruker vi elektronstrømmen som konvensjon på strømretning
(Electron flow). Se på animasjonen og overbevis deg selv om at du skjønner
hva som menes. Hvilken konvensjon synes du virker mest naturlig etter å
ha sett på animasjonen? (Electron flow eller Conventional flow).
Resistivitet og resistans
A metal consists of a lattice of atoms, each with an outer
shell of electrons which freely dissociate from their parent
atoms and travel through the lattice. This is also known as
a positive ionic lattice. This ’sea’ of dissociable electrons
allows the metal to conduct electric current. Near room
temperatures, metals have resistance. The primary cause
of this resistance is the collision of electrons with the
atoms that make up the crystal lattice.
Wikipedia - Electrical resistivity and conductivity
Resistansen R er gitt ved
l
,
A
hvor ρ er resistivitet, l er lengde og A er areal. Resistivitet er et mål på hvor
mye et materiale motvirker elektrisk strøm. Resistans er et mål på hvor
mye et objekt motvirker elektrisk strøm, hvor objektet består av ett eller
flere spesifikke matrialer og har en størrelse (m3 ).
R=ρ
a) S
En jumpertråd (jumper wire) av kobber for bruk til breadboard er 127 mm
lang og har en diameter på 0.644 mm. Resistiviteten til kobber er 1.713 ×
10−8 Ω · m (25 ◦ C). Regn ut resistansen til jumpertråden.
b) S
Resistiviteten til metaller avhenger av temperatur. For et rent metall rundt
romtemperatur kan følgende formel brukes.
ρ( T ) = ρ0 [1 + α ( T − T0 )].
hvor α er en temperaturkoeffisient for et materiale. I sommer ble det
målt 33, 4◦ C på Blinderen (også på innsiden av fysikkbygningen), som er
den høyeste temperaturen målt siden målingene startet. Bruk 20◦ C som
referansetemperatur T0 og regn ut hvor mange prosent resistiviteten til
kobber (α = 3.9 · 10−3 /◦ C) endret seg. Hint: ρ( T )/ρ0
3
c) S
En kullfilmmotstand på 100 Ω (ved 25◦ C) tåler temperaturer fra −55◦ C
til +155◦ C og har temperaturkoeffisient på −500 ppm/◦ C (ppm = parts
per million = 10−6 ). Hvis du ganger 100 Ω med temperaturkoeffisienten,
får du endringen i resistansen til motstanden per grader celsius. For
motstanden på 100 Ω, vil endringen være −0.05 Ω/◦ C. Hva er den minste
og største verdien denne motstanden kan ha innenfor operasjonsområdet?
(Motstanden er CFR25S i databladet)
d) F
I et metall er de positive ionene ordnet i et gitter (engelsk: lattice). Disse
ionene vibrerer, og ved økende temperatur øker også vibrasjonene, som
fører til at resistivteten øker. Den første animasjonen på DoITPoMS Factors affecting electrical conduction viser en modell med vibrasjon. Når
du øker temperaturen i animasjonen, ser du at τ (gjennomsnittlig tid
mellom kollisjoner) går ned. Dette betyr at elektronene kolliderer oftere når
de positive ionene vibererer. Driftshastigheten til elektronene kan beskrives
med formelen
−eEτ
vd =
,
m
hvor E er det elektriske feltet, e er elementerladningen og m er elektronmassen. Prøv ut animasjonen og se om dette gir mening.
Joule-oppvarming
Joule heating is caused by interactions between the
electrons that form the current and the positive atomic
ions that make up the body of the conductor. Electrons in
an electric circuit are accelerated by an electric field but
give up some of their kinetic energy each time they
collide with an ion. The increase in the kinetic or
vibrational energy of the ions manifests itself as heat and
a rise in the temperature of the conductor.
Wikipedia - Joule heating (forenklet)
Vi har nå sett på at resistiviteten til et metall øker når temperaturen
øker. Men hva skjer med temperaturen i en leder hvis det går en strøm
gjennom den? Dette lurte James Prescott Joule på, og i 1841 eksperimenterte
han med å senke en strømførende leder i vann (ikke prøv dette hjemme) i
30 minutter og deretter måle temperaturøkningen i vannet. Ved å variere
strømmen og lengde på lederen, kom Joule fram til at
Qvarme ∝ I 2 · R · t.
4
Q i denne sammenhengen er altså ikke ladning, men overført energi fra
leder til vann i form av varme. Varmen Q har enheten joule (J). Så hva
skjer? Forenklet, elektronene kolliderer med ionene. Ionene vil vibrere mer
etter en kollisjon og temperaturen til metallet øker. Altså samme resultat
(men ikke samme årsak) som når et metall blir varmet opp fra utsiden; økt
vibrasjon!
a) S
Sett inn ρl / A for R i formelen til Joule.
1. Forklar med ord hvordan varme i en leder lar seg påvirke. Se bort fra
tiden (t).
2. Hva er det som vanligvis begrenser for hvor varm en leder med
isolasjon kan bli?
3. Ved dårlig kontakt kan det oppstå en lysbue som kan bli varm nok
til å smelte metall. Kan formelen brukes til å forklare hva som skjer?
Hvis ja, prøv å forklare med den.
b) S
I elektrisk utstyr finner du ofte små sylindriske sikringer av glass med en
tynn metalltråd inni. Anta at du har en sikring som passer, men du kan
ikke se hvilken strøm den er merket med. Hva kan skje med det elektriske
utstyret hvis metalltråden i en slik sikring er for tynn eller for tykk?
c) S
Se på databladet til den samme motstanden på 100 Ω og finn ut hvor varm
motstanden blir hvis romtemperaturen er på 20◦ C. Anta at spenningen
over motstanden er nær maksimum av hva den tåler. (Motstanden er
CFR25S i databladet og RCWV står for Rated continous working voltage.)
d) For spesielt interesserte (Ikke pensum)
Joule-oppvarming har blitt anvendt i kjente og høyt verdsatte elektriske
apparater som ovner, komfyrer, lyspærer (glødetråd) og termometere. Men
joule-oppvarming som fenomen dukker også opp i høyteknologi som f.eks.
grafentransistorer, nanotråder og dataminne. Du kan lese om dette i disse:
• Grafentransistor: Nanoscale Joule heating, Peltier cooling and current
crowding at graphene-metal contacts
• Nanotråder: Joule heating in nanowires
5
• Electro-Thermal Interaction in Nanoscale Devices: Carbon Nanotubes and Phase-Change Memory
• Måling av joule-oppvarming: Measuring Joule heating and strain
induced by electrical current with Moiré interferometry
Ohms lov og motstander
Utsagnet «Spenningen over en metallisk leder ved
konstant temperatur er proporsjonal med strømmen
gjennom den» utgjør Ohms lov i sin helhet. Ohm brukte
ikke begrepet motstand for å beskrive denne
observasjonen. Når vi kaller proposjonalitetskonstanten
mellom spenning og strøm for motstand med betegnelsen
R i dag, er det en praktisk anvendelse, men Ohms lov
klarer seg uten.
Wikipedia - Ohms lov
a) S
Se for deg et passasjerfly på kanarieneøyene som står klar til take-off på en
sommerdag med 35◦ C i skyggen. En halvtime senere er flyet typisk 9 km
over bakken hvor temperaturen kan bli så lav som −55◦ C. Kan du bruke
Ohms lov på elektronikk i et fly?
b) S
Det er vanlig å se bort i fra koplingstråder når en regner på kretser. For
tre motstander koplet i serie er den totale resistansen R T = R1 + R2 + R3 .
La R2 = 10 Ω mens R1 og R3 er jumpertråden fra forrige oppgave (6.7
mΩ). Hvor mye øker resistansen hvis en tar med jumpertrådene i forhold
til uten? Hvor mange prosent er økningen?
c) S
To motstander koplet i parallell er gitt ved
1
1
1
=
+
.
RT
R1
R2
Skriv formelen om til
RT =
R1 · R2
,
R1 + R2
som er mye enklere å bruke.
6
d) S
Spenningen over to motstander koplet i parallell er målt til å være 9 V. Finn
R T og regn deretter ut strømmen når
1. R1 = R2 = 100Ω
2. R1 = 100 Ω og R2 = 200Ω
3. R1 = 100 Ω og R2 = 10MΩ
Figur 1: Ohms lov og motstander - d)
e) S
Du skal kortslutte et vanlig 9 V batteri ved å bruke jumpertråden du har
regnet på.
1. Ved bruk av ohms lov, hva blir kortslutningsstrømmen?
7
Figur 2: Ohms lov og motstander - e) 1.
2. En komfyr på et vanlig husholdningskjøkken har en egen kurs med
sikring i størrelsesorden 16 − 25 A. Hvor mange komfyrer vil denne
kortslutningsstrømmen kunne drive hvis sikringen er på 25 A?
3. Det viser seg at 9 V batteriet har en indre motstand på 1.7 Ω. Hvor
stor blir kortslutningsstrømmen nå?
Figur 3: Ohms lov og motstander - e) 3.
8
Kirchhoffs lover
In 1845 Gustav Kirchhoff generalized the work of Georg
Ohm. Widely used in electrical engineering, they are
called Kirchhoff’s laws. Both of Kirchhoff’s laws can be
understood as corollaries of the Maxwell equations in the
low-frequency limit. They are accurate for DC circuits,
and for AC circuits at frequencies where the wavelengths
of electromagnetic radiation are very large compared to
the circuits.
Wikipedia - Kirchhoff’s laws (modifisert)
a) S
For Kirchhoffs spenningslov (KVL), hvilken av disse påstandene er feil?
1. Hvis du har koplet en ideell spenningskilde på 9 V til en motstand
slik at det blir en lukket krets, så vil spenningen over motstanden
være 9 V i følge KVL.
2. For en lukket krets er ∑nk=1 Vk = 0.
3. KVL kan bare brukes på enkle kretser.
b) S
For Kirchhoffs strømlov (KCL), hvilken av disse påstandene er feil?
1. Hvis du har koplet en ideell spenningskilde på 9 V til to motstander
i serie slik at det blir en lukket krets, så vil strømmen gjennom
motstandene være lik i følge KCL.
2. For en lukket krets er ∑nk=1 Ik = 0.
3. Hvis det er en strøm på 2 A inn i et punkt, så må også strømmen
ut av punktet være 2 A selv om strømmen deler seg og går til flere
komponenter.
c) S
Finn strømmen ut av batteriet. Prøv først å løse med KVL og KCL
ved resonnement og hoderegning for Ohms lov. Prøv å regn ut med
formler hvis det blir for vanskelig eller for å sjekke svaret. Forslag til
fremgangsmetode:
1. Bruk først KVL. Det er to lukkede kretser.
9
2. Bruk KCL.
3. Se på motstandsverdiene.
Figur 4: Kirchhoffs lover - c)
d) F
Fra KCL er IT = I1 + I2 . Bruk dette, KVL og Ohms lov for å komme frem
til at
1
1
1
+
.
=
RT
R1
R2
Alternativt, vis at N motstander koplet i parallell blir
1
1
1
1
=
+
+···+
.
RT
R1
R2
RN
Figur 5: Kirchhoffs lover - d)
10
e) F
Fra KVL må VBATT = V1 + V2 . Bruk dette, KCL og Ohms lov for å komme
frem til formelen for spenningsdeling for to motstander i serie
V2 =
R2
VBATT .
R1 + R2
Figur 6: Kirchhoffs lover - e), Spenningsdeler (side 19)
Elektrisk effekt
The electric power in watts associated with a complete
electric circuit or a circuit component represents the rate
at which energy is converted from the electrical energy of
the moving charges to some other form, e.g., heat,
mechanical energy, or energy stored in electric fields or
magnetic fields.
HyperPhysics - Rod Nave
a) S
Elektrisk effekt (P) måles med den avledede enheten watt (W). Finn to
ekvivalenter for watt.
b) S
Den elektriske effekten er
P = V I.
Ved bruk av ohms lov, skriv P på to former til.
11
c) S
Kullfilmmotstanden på 100 Ω tåler en effekt på maks 1/4 W. Hva blir da
den største spenningen motstanden kan ha og hvor stor er strømmen ved
denne spenningen? (Motstanden er CFR25S i databladet)
d) F
Formelen for Joule-oppvarming er svært lik til den ene formen du fant i b).
Hva er sammenhengen mellom disse? Prøv også å forstå hva dette betyr
for resistive komponenter (ledere og motstander).
Elektrisk strøm - AC
In alternating current (AC), the flow of electric charge
periodically reverses direction. In direct current (DC), the
flow of electric charge is only in one direction.
Wikipedia - Alternating current
a) F
Gå tilbake til animasjonen DoITPoMS - Metals: the Drude model of
electrical conduction. Animasjonen viser egentlig DC, men målet her er å
gjøre et forsøk på å vise for AC.
1. En sinus v(t) = Vpk sin(2π f t) har for én periode en positv og en
negativ halvdel. For å etterligne den positive halvdelen, dra knappen
jevnt fra 0 til maks og tilbake igjen. Maks blir da Vpk . Hvis du drar
den helt jevnt er det egentlig en triangelbølge og ikke en sinus, men
det er like fullt vekselstrøm (med en annen bølgeform).
2. Nå er du tilbake igjen til 0 og da skulle egentlig strømmen ha skiftet
retning og elektronene ville forsvunnet ut på venstre side. Dette kan
ikke animasjonen gjøre fordi den har kun felt i en retning, men prøv
å se for deg at knappen kunne gått like langt til venstre og at du drar
knappen jevnt frem og tilbake flere ganger etter hverandre. Hvis du
hadde klart å gjøre [0, maks, 0, -maks, 0] på nøyaktig ett sekund, har
du en vekselstrøm som har en periode på ett sekund og dermed en
frekvens på 1 Hz.
3. Hvis du har en vekselspenning overlagret en DC-spenning (se
forelseningsnotat AC/vekselstrøm) på formen
v(t) = sin(2π f t) + VDC ,
hvordan beveger elektronene seg da?
12
b) S
Av praktiske årsaker er tidsmidlet effekt (time averaged power) bedre å
bruke. Det betyr at AC spenning blir uttrykt ved root mean square (rms)
s
Z
1 T
Vrms =
v(t)2 dt,
T 0
hvor v(t) kan være forskjellige bølgeformer. Ved å sette inn sinusfunksjonen
blir
Vpk
Vrms = √ .
2
1. Som de fleste sikkert kjenner til, så er spenningen i Norge hos
husholdninger på 230 V. Noe mindre kjent er at det er Vrms som er
på 230 V og at vekselspenningen har sinusform. Hva blir da Vpk ?
2 / R. Hvis du har en ovn merket med
2. Tidsmidlet effekt er Ptm = Vrms
effekt på 1000 W, hvor stor er resistansen til varmeelementet? Hvor
mye strøm trekker ovnen? Er dette Joule-oppvarming?
Ekstra: Tre eksempler om vekselstrøm
I FYS1210 vil dere møte på vekselstrøm i forbindelse med blant annet
likeretting og signaler.
Likeretter Likeretting betyr å omdanne AC (fra strømnettet) til DC. I vårt
tilfelle brukes DC til elektronikk. Et hverdagslig eksempel er ’boksen’
på telefonladere som inneholder en likeretter (rectifier).
AC signal - elektrisk gitar En elektrisk gitar genererer AC signaler. Ved å
spille tonen A, vil metallstrengen svinge 440 ganger i sekundet over
en magnet. Endringen i magnetfeltet vil da generere en spenning
som har en frekvens på 440 Hz. Forenklet vil dette være en sinus
på formen v(t) = Vpk sin(2π440t). Hvis gitaren er koplet til en
forsterker, vil dette svake signalet fra gitaren forsterkes nok til å drive
en høytaler som omdanner AC signalet til vibrasjoner i luften som
altså er lyd. Du kan se en elektroakustisk gitar koplet til et oscilloskop
på YouTube.
AC signal - synthesizeren ARP 2600 Et annet eksempel på AC signaler er
den analoge synthesizeren ARP 2600. Synthesizeren har oscillatorer
som kan generere bølgeformene sinus, triangel, sagtann, kvadrat
og rektangel. Disse signalene kan kobles til forskjellige moduler
som via innstillinger endrer på de opprinnelige bølgeformene, og
derav endres lyden. Slike synthesizere kalles modulære. ARP 2600
er fra 70-tallet og ble laget av en tidligere NASA ingeniør som
13
lagde forsterkere til Gemini og Apollo programmene. En tidligere
fysikkstudent ved UiO med artistnavnet Todd Terje, har laget en EP
med fire sanger hvor kun ARP 2600 er brukt. Den mest spilte heter
Inspector Norse og kan høres på Soundcloud. Fun fact: for de som
har sett de første Star Wars filmene, så er ’stemmen’ til R2-D2 laget
med en ARP 2600.
Figur 7: Wavelet transformasjon av de første sekundene til Inspector Norse
(ARP 2600). Tid langs x-aksen, frekvens langs y-aksen og farge er lydnivå
(hvit er lav). I FYS2130 Svingninger og bølger er Wavelet transformasjon
pensum.
14