1. No category

FYS1120 Elektromagnetisme, Oppgavesett 11
8. november 2015
I FYS1120-undervisningen legger vi mer vekt på matematikk og numeriske
metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene som
blir gitt til eksamen. Derfor er det viktig at du gjør ukesoppgavene som
blir gitt. Dersom du synes det er vanskelig å komme i gang, eller hvis du ikke
synes det er nok oppgaver, kan du godt gjøre følgende oppgaver fra læreboka i
tillegg: Fra kapittel 31, Alternating Current: Exercises
Oppgave 1 Transformator
Sett at du tar med deg hårtørreren din til USA, der stømuttakene git deg 120 V
(rms) i stedet for 230 V som du får i Norge. Hjemme i norge fåt du 1600 W i
snitteffekt fra hårtørreren.
a) Hva kan du gjøre for å oppnå samme effekt fra hårtørreren i USA som i
Norge?
Svar: Koble på en transformator med vindingsforhold
med 12 vindinger kobles mot amerikansk strømuttak.
23
12
der den siden
Løsning: Vi vil bruke en transformator for å transformere opp til norsk
spenning. Vi trenger da et vindingsforhold på
N2
23
V2
230 V
=
=
=
N1
V1
120 V
12
(1)
b) Hvor stor støm vil du trekke fra strømuttaket i USA?
Svar:
Irms = 13.3 A
(2)
Løsning: Strømmen som trekkes bestemmes av effekt og spenning
Irms =
P̄
1600 W
= 13.3 A
=
Vrms
120 V
(3)
c) Hvilken motstand vil det amerikanske strømnettet oppleve at hårtørreren
din har når du har modifisert den for å få norsk effekt?
Svar: R = 9.0 Ω
Løsning: Den interne motstanden i hårtørreren er
R=
2
Vrms
= 33.1 Ω
P̄
1
(4)
Den effektive motstanden kan vi beregne ved å se på avsatt effekt og
inngående spenning
2
P̄ = Reff Irms
(5)
Dette gir oss
Reff =
1600 W
P̄
=
= 9.0 Ω
2
Irms
176.9 A2
(6)
Oppgave 2 En RLC parallellkrets
En motstand, spole og kondensator er koblet i parallell til en vekselstrømkilde
med amplitude V og vinkelhastighet ω (se figur 1). La kildespenningen være
gitt ved v = V cos ωt.
Figur 1: En parallell RLC-krets.
a) Vis at spenningene vR , vL og vC over de forskjellige komponentene alltd
er like store som v, og at i = iR + iL + iC , der i er strømmen gjennom
kilden. iR , iL og iC er strømmene gjennom de forskjellige komponentene.
Løsning: For å finne spenningene bruker vi Kirchoffs sløyferegel, og ser på
sløyfer over kilden og henholdsvis motstanden, spolen og kondensatoren.
For å finne summen av strømmen bruker vi Kirchoffs knutepunktsregel.
Først bruker vi den til å summere strømmen fra kondensatoren og spolen,
og så tar vi denne summen og legger sammen med strømmen fra motstanden.
b) Hva er faseforskyvningen til iR , iL og iC i forhold til v? Bruk strømfasorer
til å representere strømmene i, iR , iL og iC , og spenningen v, og vis disse
i et fasordiagram.
Svar: iR er i fase med v. iL ligger 90° bak, og iC ligger 90° foran.
2
Figur 2: Fasordiagram for strømmen i en parallellkoblet RLC-krets
Løsning: Siden komponentene er koblet i parallell, er spenningen over
dem alltid i fase, og gitt ved spenningen til kilden. Dermed kan vi se
på hvordan strømmen forskyves i forhold til spenningen for alle komponentene. Strømmen gjennom motstanden er ikke forskjøvet i forhold til
spenningen. Spolestrømmen ligger 90° bak spenningen over spolen. Kondensatorstrømmen ligger 90° foran spenningen over kondensatoren. Se i
University Physics kapittel Alternating Current avsnitt 2. Resistance and
Reactance for utledning av dette. Fasordiagram i figur 2.
c) Bruk fasordiagrammet i (b) til å vise at amplituden ti kildestrømmen er
gitt ved
q
2 + (I − I )2
I = IR
(7)
C
L
Løsning: Siden IC og IL er motsatt rettet, og begge står normalt på IR , vil
også summen av dem stå normalt på IR . Dermed kan vi bruke Pythagoras
for å finne størrelsen til summen av fasorene.
d) Vis at resultatet i (c) kan skrives som I = V /Z der
s
2
1
1
1
=
+ ωC −
Z
R2
ωL
3
(8)
Løsning: Fra forrige oppgave kjenner vi amplituden til strømmen gjennom
kilden som funksjon av de individiuelle stømamlitudene over komponentene. Nå skal vi sette inn uttrykk for disse strømmene. Generelt er strømmen
gjennom en komponent I = V /X, der X er reaktansen til komponenten
1
og
vi setter spenning over. Reaktansene er gitt som: XR = R, XC = ωC
XL = ωL. Dermed har vi:
s
2
V
V2
+
ωCV
−
I=
(9)
R2
ωL
Oppgave 3 Høypassfilter
En anvendelse av å kombinere en motstand, en spole, en kondensator og en
spenningskilde i en krets, er høypassfilteret. Der kobler man alle komponentene
i serie, og så tar man ut spenningen over motstanden og spolen (se figur 3)
Figur 3: Et høypassfilter
a) Finn et uttrykk for forholdet Vut /V mellom spenningen man henter ut
mellom punktene a og b, og kildespenningen, som funksjon av den påtrykte
frekvensen ω.
Løsning: Først uttrykker vi kildespenningen ved spenningene over de forskjellige komponentene.
s
2
1
2
V = I R + ωL −
(10)
ωC
Deretter uttrykker vi spenningen over motstanden og spolen, Vut med I.
p
Vut = I R2 + ω 2 L2
(11)
4
Når vi nå skal skrive opp forholdet Vut /V ser vi at I kansellerer.
s
Vut
R2 + ω 2 L2
=
2
V
R2 + ωL − 1
(12)
ωC
b) Vis at når ω er liten, er forholdet lineært og lite, og at når ω er stor går
forholdet mot 1.
1
Løsning: Vi ser på grensene ω → ∞ og ω → 0. Når ω → 0 ser vi at ωC
dominerer fullstendig under brøkstreken, slik at Vut /V q
→ 0. Når ω → ∞
ser vi at
1
ωC
forsvinner, og vi står igjen med Vut /V →
5
R2 +ω 2 L2
R2 +(ωL)2
=1