Managerial Decision Modeling
Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Chapter 11 Time Series Forecasting BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 1 Introduksjon til tidsserieanalyser En tidsserie er en samling av observasjoner for en kvantifiserbar variabel registrert i kronologisk tidsrekkefølge. Eksempel Børsindekser Historiske data over salg, lager, antall kundebesøk, rentesatser, kostnader, etc. Bedrifter er ofte interessert i å predikere tidsserie-variabler. Ofte finnes ikke uavhengige variabler som kan benyttes i en regresjonsmodell for en tidsserievariabel. I tidsserieanalyser analyserer vi den historiske utviklingen til en variabel for å kunne predikere dens framtidige utvikling. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 2 Prediksjoner basert på tidsserieanalyse Som å kjøre en bil ved å se på veien via speilet bakover: Vi ser hvor veien har svingt tidligere, og forsøker å styre bilen deretter! BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 3 Noen tidsserieuttrykk Stasjonære data – en tidsserievariabel som ikke viser noen signifikant trend opp eller ned over tid. Ikke-stasjonære data – en tidsserie-variabel som viser en tydelig trend opp eller ned over tid. Sesong data – en tidsserievariabel som viser et repeterende mønster med jevne intervall over tid. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 4 Bruk av tidsserieanalyse Det finnes veldig, veldig mange forskjellige tidsserieanalysemetoder. Det er vanligvis umulig å vite hvilken teknikk som vil passe best for et bestemt datasett. Som regel prøves flere forskjellige teknikker, for å velge ut den som synes å passe best. For å lage effektive tidsseriemodeller, må en ha flere forskjellige metoder i ”verktøyboksen”. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 5 Forskjellige prediksjonsmodeller Data Modeller som tillater skift i nivå/trend/sesong Stasjonære Glidende gjennomsnitt data Konstant nivå med tilfeldige variasjoner Sesong Konstant nivå med sykliske variasjoner Trend Langsiktig generell endring i nivå Trend & Sesong Veid glidende gjennomsnitt Eksponensiell glatting Eksponensiell glatting / additiv sesong Eksponensiell glatting / multiplikativ sesong Dobbelt glidende gjennomsnitt Holt’s metode (dobbel eksponensiell glatting) Holt-Winter med additiv sesong Holt-Winter med multiplikativ sesong BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 6 Mål på nøyaktighet Vi trenger et mål for å sammenligne hvordan forskjellige tidsseriemodeller passer til dataene. Fire av de vanligste målene er: mean absolute deviation, mean absolute percent error, the mean square error, root mean square error. Vi vil fokusere på MSE. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 7 En kommentar til bruk av feilmål En bør være på vakt når en sammenligner MSE verdier for forskjellige prediksjonsteknikker. Den minste MSE kan være resultatet av en teknikk som passer gamle data meget godt men gjenspeiler nye data dårlig. Noen ganger er det klokt å beregne MSE kun for de seneste observasjonene. Sammenlign MSE for samme perioder. Bør bruke blindtest ! BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 8 Fornuftig bruk av feilmål Feilmålene brukes for å se hvor godt en metode tilpasser seg historiske data. For å velge mellom ulike metoder, bør en foreta en blindtest – lage prognoser for perioder der modellen ikke får se dataene. En velger så den metoden som har minst feil i blindtesten. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 9 Oppdeling av dataserien 1. Initialserie. Første del av dataserien benyttes for å beregne startverdier for parameterne i modellen. 2. Tilpassingsserie. Andre del av dataserien benyttes for å tilpasse gode verdier for parameterne – slik at feilene blir minst mulig. 3. Testserie. Siste del av dataserien benyttes til blindtest, der man tester hvor god modellen er. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 10 Ekstrapoleringsmodeller Ekstrapoleringsmodeller forsøker å ta hensyn til tidligere utvikling i en tidsserievariabel i et forsøk på å predikere den framtidige utviklingen av den samme variabelen. Vi skal først ta for oss forskjellige ekstrapoleringsteknikker som passer for stasjonære data. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 11 TIDSSERIE Periode t Variabel Yt 1 2 ….. t-1 t t+1 Tid t+2 t Y1 Y2 Yt-1 Yt Yt+1? O B S E R V A S J O N S E R Yt+2 ? PREDIKSJONER Nå Basert på de historiske observasjonene skal vi forsøke å framskrive et datamønster for å lage prognoser for framtiden. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 12 Stasjonær data 140 Stasjonær serie med skift i nivå 130 120 110 100 90 80 70 60 50 0 BØK350 OPERASJONSANALYSE 4 8 12 16 20 24 Rasmus Rasmussen 13 Variabel Yt Et KONSTANTMODELLEN Nå BØK350 OPERASJONSANALYSE Tid t Rasmus Rasmussen 14 KONSTANTMODELLEN Yt Observert verdi Yt Et Yˆt Predikert verdi Et Anslag på nivå ut Tilfeldig støy Tid t Data-modell: Prognose-modell: Yt 1 E t 1 ut 1 Yˆt k E t BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 15 ANSLAG PÅ NIVÅ – Naiv metode Naiv metode: Yt Et Et Yt Prognose-modell: Yˆt k E t Tid t Bruker kun siste observasjon som anslag på nivået. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 16 ANSLAG PÅ NIVÅ – Glidende gjennomsnitt Glidende gjennomsnitt: Yt Yt 1 .... Yt n 1 Et n Det finnes ingen generell metode for å bestemme n. Vi må forsøke med forskjellige verdier for n for å se hvilken som virker best. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 17 ANSLAG PÅ NIVÅ – Veid glidende gj.sn Glidende gjennomsnitt veier alle tidligere observasjoner likt : 1 1 Et Yt Yt -1 n n 1 Yt n 1 n Veid glidende gjennomsnitt tillater at tidligere observasjoner vektlegges forskjellig. Et w1Yt w2Yt -1 ... wnYt n 1 0 wi 1 og w 1 i Vi må bestemme verdier for n og alle wi BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 18 ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting a. Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Et 1 Yt j j 0 1 j 0 Et Yt (1 )Yt 1 (1 ) 2 Yt 2 (1 ) n Yt n Prognose-modell: Yˆt k Et Kan betrakte eksponentiell glatting som et veid gjennomsnitt av alle observasjoner, der siste observasjon har størst vekt. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 19 ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting b. Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Et Yt 1 Et 1 Yt 1 Yt 1 1 Et 2 Et 1 Yt j j j 0 Kan betrakte eksponentiell glatting som en veid sum av siste observasjon og forrige estimat. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 20 ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting c. Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Et Yt 1 Et 1 = sannsynlighet for at siste observasjon viser korrekt nivå 1 = sannsynlighet for at forrige estimat viser korrekt nivå Gir samme funksjon som b (og a). Kan betrakte eksponentiell glatting som en forventet verdi, gitt siste observasjon. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 21 ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting d. Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Et Et 1 Yt Et 1 Yˆt 1 Yˆt Yt Yˆt Yˆt 1 Et Yt 1 Et 1 Kan betrakte eksponentiell glatting som en oppdatering basert på korreksjon av prediksjonsfeil. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 22 ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Et Et 1 Yt Et 1 Et Yˆt Yt Yˆt Et Yt 1 Et 1 Ulike måter å tolke eksponentiell glatting, men samme matematiske konklusjon! BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 23 Prediksjonsprosessen 1. Del inn tidsserien: 1. 2. 3. Initialserie Tilpassingsserie Testserie (blindtest) 2. Beregn startverdier i initialserien. 3. Foreta tilpassinger i tilpassingsserien 1. Finn gode verdier på modellparameterne 4. Foreta prognoser i testserien. (Test ulike modeller.) 5. Velg den prognosemetode som er best i blindtesten: 1. 2. 3. Oppdater modellen (Tilpassingsserien inkluderer nå også det som var testserien.) Finn nye gode verdier på modellparameterne. Lag prognose for den ukjente framtiden. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 24 Et eksempel Electra-City er en detaljist som selger audio og video utstyr for hjem og bil. Lederen må hver måned bestille varer fra et lager langt unna. Nå skal lederen forsøke å estimere hvor mange VCR’er forretningen vil komme til å selge neste måned. Han har samlet data for de siste 24 månedene. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 25 Data Stasjonær dataserie: - Ingen trend - Ingen repeterende sesong BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 26 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 27 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 28 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 29 Eksempel med to eksponensielle glattingsfunksjoner 42 40 Units Sold 38 36 34 32 Number of VCRs Sold Exp. Smoothing alpha=0.1 30 Exp. Smoothing alpha=0.9 28 1 2 3 4 5 BØK350 OPERASJONSANALYSE 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Time Period 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Rasmus Rasmussen 24 25 30 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 31 Startverdier Isteden for å bruke en formel for å beregne en startverdi, kan vi la Solver finne en ”optimal” startverdi. Da kan vi beholde hele datasettet (fordi vi slipper å bruke noen av dataene til estimering av startverdier). Vi får også en bedre tilpasning til de historiske dataene. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 32 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 33 1. Del inn tidsserien Initialserie Tilpassingserie Blindtest BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 34 2. Beregn startverdier Beregn startverdier Merk: Istedenfor formler, kan en la Solver velge startverdier. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 35 3. Foreta tilpassigner Lag en-periodiske prognoser, og oppdater modellparametrene. Bruk Solver til å minimere MSE i tilpassingsperioden, ved å velge verdier på modellparametrene. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 36 4. Lag prognoser i testserien Lag prognoser for hele blindtestperioden, med utgangspunkt i siste periode i tilpassingsserien. Beregn MSE for blindtestperioden. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 37 5. Lag prognoser for fremtiden Lag en-periodiske prognoser for hele datasettet, også det som tidligere var brukt til blindtest. Minimer MSE for hele den nye tilpassingsserien. Lag prognoser for framtiden, basert på siste periode med data. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 38 Valg av prognosemodell Metode MSE Glidende gj.snitt 2 perioder 6,67 Glidende gj.snitt 4 perioder 1,92 Veid glidende gjennomsnitt 2 perioder 4,73 Eksponensiell glatting (formel initialverdier) 4,14 Eksponensiell glatting (Solver velger initialverdier) 1,47 Velg den prognosemetode som gir lavest prediksjonsfeil (MSE) i blindtesten. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 39 Sesongvariasjoner Sesongvariasjoner er et jevnt, repeterende mønster rundt en nivålinje, og er veldig vanlig i økonomiske data. Kan være av additiv eller multiplikativ art... BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 40 Stasjonære sesongeffekter Additive Seasonal Effects 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 18 19 20 21 22 23 24 25 Time Period Multiplicative Seasonal Effects 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Time Period BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 41 Stasjonære data med additive sesongeffekter Yˆt k Et St k p Anslag nytt nivå Et Yt St p 1 Et 1 Forrige nivå St Yt Et 1 St p Anslag ny sesong 0 1 0 1 Forrige sesong p angir antall sesonger i et år Et er forventet nivå for periode t. St er sesongfaktoren for periode t. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 42 Stasjonære data med additive sesongeffekter Initialverdier: Gjennomsnitt p 1 Et Yt for t 1,..., p p t 1 St Yt Et for t 1,..., p p angir antall sesonger i et år BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 43 1. Formler beregner startverdiene. 2. Solver minimerer MSE i tilpassingsserien. 3. Bereger MSE for blindtesten. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 44 1. Solver beregner startverdiene. 2. Solver minimerer MSE i tilpassingsserien. 3. Bereger MSE for blindtesten. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 45 2. Solver minimerer MSE i tilpassingsserien. 1. Oppdaterer tilpassingsserien helt til slutten av datasettet. 3. Lager prognoser for framtiden. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 46 Predikere ved modell med additive sesongvariasjoner Prediksjon gjort på tidspunkt 24 for periodene 25 - 28: Yˆ24 k E24 S 24 k 4 Yˆ25 E24 S 21 354, 44 8, 45 363, 00 Yˆ26 E24 S 22 354, 44 17,82 336, 73 Yˆ27 E24 S 23 354, 44 46,58 401,13 Yˆ28 E24 S 24 354, 44 31, 73 322,82 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 47 Stasjonære data med multiplikative sesongeffekter Yˆt k Et St k p Anslag nytt nivå Anslag ny sesong Yt Et 1 Et 1 St p Yt St 1 St p Et Forrige sesong 0 1 p angir antall sesonger i et år 0 1 Forrige nivå Et er forventet nivå for periode t. St er sesongfaktoren for periode t. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 48 Stasjonære data med multiplikative sesongeffekter Initialverdier: Gjennomsnitt p 1 Et Yt for t 1,..., p p t 1 Yt St for t 1,..., p Et p angir antall sesonger i et år BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 49 Stasjonære data og multiplikative sesongvariasjoner 1. Formler beregner startverdiene. 2. Solver minimerer MSE i tilpassingsserien. 3. Bereger MSE for blindtesten. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 50 Stasjonære data og multiplikative sesongvariasjoner 1. Solver beregner startverdiene. 2. Solver minimerer MSE i tilpassingsserien. 3. Bereger MSE for blindtesten. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 51 Stasjonære data og multiplikative sesongvariasjoner 2. Solver minimerer MSE i tilpassingsserien. 1. Oppdaterer tilpassingsserien helt til slutten av datasettet. 3. Lager prognoser for framtiden. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 52 Predikere modell med multiplikative sesongvariasjoner Prediksjon gjort på tidspunkt 24 for periodene 25 - 28: Yˆ24 k E24 S 24 k 4 Yˆ25 E24 S 21 353,95 1, 015 359,13 Yˆ26 E24 S 22 353,95 0,946 334,94 Yˆ27 E24 S 23 353,95 1,133 400,99 Yˆ28 E24 S 24 353,95 0,912 322,95 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 53 Valg av prognosemodell Metode MSE Eksponensiell glatting og additiv sesong (formel initialverdier) 418,76 Eksponensiell glatting og additiv sesong (Solver velger initialverdier) 365,90 Eksponensiell glatting og multiplikativ sesong (formel initialverdier) 485,49 Eksponensiell glatting om multiplikativ sesong (Solver velger intialverdier) 409,14 Velg den prognosemetode som gir lavest prediksjonsfeil (MSE) i blindtesten. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 54 Trend-modeller Trend er en langsiktig bevegelse eller utvikling i en generell retning for en tidsserie. Vi skal nå se på noen ikke-stasjonære tidsserieteknikker som kan passe for data som inneholder en stigende eller synkende trend. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 55 Et eksempel med trend WaterCraft Inc. er en produsent av water crafts (såkalte sjøscootere). Selskapet har gledet seg over en rimelig stabil vekst i salget av sine produkter. Selskapets ledelse forbereder salgs- og produksjonsplaner for kommende år. Prognoser behøves for salgsnivået selskapet forventer å oppnå hvert kvartal. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 56 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 57 Dobbelt glidende gjennomsnitt Yˆt k Et k Tt Et 2 M t Dt Tt 2 M t Dt n 1 Gjennomsnitt M t Yt Yt 1 ... Yt n 1 n Gjennomsnitt av gjennomsnittet Dt M t M t 1 ... M t n 1 n Et er forventet nivå for periode t. Tt er forventet trend for periode t. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 58 Modell med dobbelt glidende gjennomsnitt Foreta en blindtest. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 59 Modell med dobbelt glidende gjennomsnitt Oppdater modellen t.o.m. siste periode Lag prognoser for framtiden BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 60 Prediksjoner ved dobbelt glidende gjennomsnitt Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20: Yˆ20 k E20 k T20 Yˆ21 E20 1 T20 2.385,33 1138,9 2.525, 23 Yˆ22 E20 2 T20 2.385,33 2 138,9 2.665,13 Yˆ23 E20 3 T20 2.385,33 3 138,9 2.805, 03 Yˆ24 E20 4 T20 2.385,33 4 138,9 2.944,94 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 61 Dobbel eksponensiell glatting: Yˆt k Et k Tt Tilsynelatende nivå Et Yt 1 Et 1 Tt 1 Tt Et Et 1 1 Tt 1 Tilsynelatende trend 0 1 0 1 Et er forventet nivå i periode t. Tt er forventet trend for periode t. Forrige anslag på nivå Forrige anslag på trend Hvis nytt nivå Et er større enn forrige anslag på nivået, Et-1 , så er trenden positiv. I motsatt fall har vi synkende trend. Initialverdier: E1 = Y1 og T1 = 0 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 62 Modellen med Holt’s metode 1. Beregn startverdier 2. Lag en-periodisk prognose og oppdater parametrene i hele tilpassingsserien 3. Bruk Solver til å minimere MSE for tilpassingsserien BØK350 OPERASJONSANALYSE 4. Lag prognose i blindtestperioden, og beregn MSE. Rasmus Rasmussen 63 1. La Solver velge startverdier 2. Lag en-periodisk prognose og oppdater parametrene i hele tilpassingsserien 3. Bruk Solver til å minimere MSE for tilpassingsserien 4. Lag prognose i blindtestperioden, og beregn MSE. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 64 2. Bruk Solver til å minimere MSE for den nye tilpassingsserien. 1. Oppdater modellen for hele dataserien, helt fram til siste periode. 3. Lag prognoser for den ukjente framtiden. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 65 Prediksjoner basert på Holt’s modell Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20: Yˆ20 k E20 k T20 Yˆ21 E20 1 T20 2.336,8 1152,1 2.488,9 Yˆ22 E20 2 T20 2.336,8 2 152,1 2.641, 0 Yˆ23 E20 3 T20 2.336,8 3 152,1 2.793,1 Yˆ24 E20 4 T20 2.336,8 4 152,1 2.945, 2 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 66 Holt-Winter’s metode for Additive sesongvariasjoner Yˆt k Et k Tt St k p Et Yt St p 1 Et 1 Tt 1 Tt Et Et 1 1 Tt 1 St Yt Et 1 St p Anslag på nivå, trend og sesong 0 1 0 1 0 1 BØK350 OPERASJONSANALYSE Forrige verdi nivå, trend og sesong Rasmus Rasmussen 67 Holt-Winter’s metode for Additive sesongvariasjoner Initialverdier: Gjennomsnitt 1 p St Yt Yt for t 1,..., p p t 1 E p Yp S p Tp 0 Når observert verdi Yt er større enn gjennomsnittet, så blir sesongfaktoren St > 0, dvs. høysesong. I motsatt fall får vi en negativ sesongfaktor, dvs. en lavsesong. p angir antall sesonger i et år BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 68 1. La Solver velge startverdier 2. Lag en-periodisk prognose og oppdater parametrene i hele tilpassingsserien 3. Bruk Solver til å minimere MSE for tilpassingsserien BØK350 OPERASJONSANALYSE 4. Lag prognoser i blindtestperioden, og beregn MSE. Rasmus Rasmussen 69 2. Bruk Solver til å minimere MSE for den nye tilpassingsserien. 1. Oppdater modellen for hele dataserien, helt fram til siste periode. 3. Lag prognoser for den ukjente framtiden. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 70 Holt-Winter’s modell Additive sesongeffekter Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20: Yˆ20 k E20 k T20 S 20 k 4 Yˆ21 E20 1 T20 S17 2.253,3 1154,3 262, 66 2.670,3 Yˆ22 E20 2 T20 S18 2.253,3 2 154,3 312,59 2.249,3 Yˆ23 E20 3 T20 S19 2.253,3 3 154,3 205, 40 2.921, 6 Yˆ24 E20 4 T20 S 20 2.253,3 4 154,3 386,12 3.256, 6 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 71 Holt-Winter’s metode – Multiplikative sesongvariasjoner Yˆt k Et k Tt St k p Anslag på nivå, trend og sesong Forrige verdi nivå, trend og sesong Yt Et 1 Et 1 Tt 1 St p Tt Et Et 1 1 Tt 1 Yt St 1 St p Et 0 1 0 1 0 1 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 72 Holt-Winter’s metode – Multiplikative sesongvariasjoner Initialverdier: St Yt 1 Yt p t 1 Yp Ep Sp Tp 0 p for t 1,..., p Gjennomsnitt Når observert verdi Yt er større enn gjennomsnittet, så blir sesongfaktoren St > 1, dvs. høysesong. I motsatt fall får vi en sesongfaktor mindre enn 1, dvs. en lavsesong. p angir antall sesonger i et år BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 73 1. La Solver velge startverdier 2. Lag en-periodisk prognose og oppdater parametrene i hele tilpassingsserien 3. Bruk Solver til å minimere MSE for tilpassingsserien BØK350 OPERASJONSANALYSE 4. Lag prognoser i blindtestperioden, og beregn MSE. Rasmus Rasmussen 74 2. Bruk Solver til å minimere MSE for den nye tilpassingsserien. 1. Oppdater modellen for hele dataserien, helt fram til siste periode. 3. Lag prognoser for den ukjente framtiden. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 75 Holt-Winter’s modell Multiplikativ sesongeffekt Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20: Yˆ20 k E20 k T20 S 20 k 4 Yˆ21 E20 1 T20 S17 2.217, 6 1137,3 1,152 2.713, 7 Yˆ22 E20 2 T20 S18 2.217, 6 2 137,3 0,849 2.114,9 Yˆ23 E20 3 T20 S19 2.217, 6 3 137,3 1,103 2.900,5 Yˆ24 E20 4 T20 S 20 2.217, 6 4 137,3 1,190 3.293,9 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 76 Holt-Winter og endringer 400 450 Additiv sesong 350 400 300 350 Multiplikativ sesong 300 250 250 200 200 150 150 100 100 50 50 0 4 300 8 12 16 20 0 24 4 250 Skifta i nivå 250 8 12 16 20 24 16 20 24 Skift i trend 200 200 150 150 100 100 50 50 0 4 8 12 BØK350 OPERASJONSANALYSE 16 20 24 0 4 8 12 Rasmus Rasmussen 77 Tidsserier og REGRESJON Data Modeller som IKKE tillater skift i nivå/trend/sesong Trend Lineær trend Langsiktig generell endring i nivå Kvadratisk trend Trend & Sesong Trend (lineær eller kvadratisk), additiv eller multiplikativ sesongjustering. Langsiktig generell endring i nivå og repeterte variasjoner rundt trendlinjen Regresjon med trend (lineær eller kvadratisk) og additiv sesong BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 78 Modell med lineær trend Yˆt b0 b1 X 1t X 1t t Dvs. X 11 1, X 12 2, X 13 3,... BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 79 Spesialtilfelle av Holt’s modell. Tilpassingsserien Blindtest BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 80 Spesialtilfelle av Holt’s modell. Tilpassingsserien gjelder nå hele datasettet. Prognose for framtiden BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 81 Prediksjoner basert på lineær trend Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20: Yˆt b0 b1 X 1t Yˆ21 b0 b1 X 121 375,1 92, 6255 21 2.310,3 Yˆ22 b0 b1 X 122 375,1 92, 6255 22 2.412,9 Yˆ23 b0 b1 X 123 375,1 92, 6255 23 2.505, 6 Yˆ24 b0 b1 X 124 375,1 92, 6255 24 2.598, 2 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 82 TREND() funksjonen TREND(Y-område; X-område; X-verdi for prediksjon) der: Y-område er området i regnearket som inneholder verdiene for den avhengige Y variabelen, X-område er området i regnearket som inneholder verdiene for de(n) uavhengige X variablene, X-verdi for prediksjon er en celle (eller celler) som inneholder verdier for X variabelen(e) som vi ønsker å estimerte Y verdier til. Merk: TREND( ) funksjonen blir dynamisk oppdatert hver gang dataene til funksjonen endres. Imidlertid gir den ikke den statistiske informasjonen som regresjonsanalysen gir. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 83 Modell med kvadratisk trend Yˆt b0 b1 X 1t b2 X 2t X 1t t X 2t t BØK350 OPERASJONSANALYSE 2 Rasmus Rasmussen 84 Tilpassingsserien Blindtest BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 85 Tilpassingsserien gjelder nå hele datasettet. Prognose for framtiden BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 86 Prediksjoner basert på kvadratisk trend Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20: Yˆt b0 b1 X 1t b2 X 2t Yˆ21 b0 b1 X 121 b2 X 221 653, 67 16, 671 21 3, 617 212 2.598,8 Yˆ22 b0 b1 X 122 b2 X 222 653, 67 16, 671 22 3, 617 222 2.770, 0 Yˆ23 b0 b1 X 123 b2 X 223 653, 67 16, 671 23 3, 617 232 2.950, 4 Yˆ24 b0 b1 X 124 b2 X 224 653, 67 16, 671 24 3, 617 242 3.137,1 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 87 Sesongvariasjoner Sesong er et jevnt, repeterende mønster rundt en trendlinje, og er veldig vanlig i økonomiske data. $3,500 $3,000 Salg $2,500 $2,000 Vår prognose fanger ikke opp sesongvariasjonene. $1,500 $1,000 Faktisk Salg Y $500 Prognose Ŷ $0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Tid BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 88 Sesongjusteringsindekser Vi kan beregne sesongjusteringsindekser for sesong p slik: Yt i Yˆ t Sp np for alle i som inntrer i sesong p Justert prediksjon for periode i er da Yˆi justert Yˆi S p for enhver i som inntrer i sesong p BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 89 1. Beregn kvadratisk trend, basert på tilpassingsperioden. 2. Beregn multiplikativ sesong, i tilpassingsperioden. 3. Beregn gjennomsnittlige sesongfaktorer i tilpassingsserien. 4. Lag prognoser, basert på kvadratisk trend og gjennomsnittlige sesongfaktorer. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 90 1. Beregn kvadratisk trend, basert på hele datasettet. 2. Beregn multiplikativ sesong, for hele datasettet. 3. Beregn gjennomsnittlige sesongfaktorer for hele datasettet. 4. Lag prognoser, basert på kvadratisk trend og gjennomsnittlige sesongfaktorer. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 91 Sesongjustert prediksjon og kvadratisk trend Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20: Yˆt b0 b1 X 1t b2 X 2t S p Yˆ21 b0 b1 X 121 b2 X 221 S1 2.598,8 105, 7% 2.747,8 Yˆ22 b0 b1 X 122 b2 X 222 S 2 2.770, 0 80,1% 2.219, 6 Yˆ23 b0 b1 X 123 b2 X 223 S3 2.950, 4 103,1% 3.041, 4 Yˆ24 b0 b1 X 124 b2 X 224 S 4 3.137,1111,1% 3.486,1 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 92 Sammendrag av trend og bruk av sesongvekter 1. Lag en trend modell og beregn prediksjoner for hver observasjon. 2. For hver observasjon beregnes forholdet mellom faktisk og predikert trend verdi. 3. For hver sesong, beregn gjennomsnittet av hver brøk fra trinn 2. Dette er sesongvektene. 4. Multipliser enhver prediksjon fra trendmodellen med tilhørende sesongvekt beregnet i trinn 3. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 93 Raffinere modellen med sesongindekser Merk at Solver kan brukes til å beregne optimale verdier for sesongindeksene og parametrene i trend modellen simultant. Det finnes ingen garanti for at dette vil gi bedre prediksjoner, men det vil gi en modell som passer bedre til de historiske data ut fra MSE. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 94 Solver beregner trend-parametre og sesongindekser 2. Beregn prognose, basert på kvadratisk trend og sesongfaktorer Solver kan velge. 1. Beregn kvadratisk trend, basert på koeffisienter Solver kan velge. 3. La Solver minimere MSE for tilpassingsserien, ved å velge trend-koeffisientene og sesongfaktorene. 4. Beregn MSE i blindtesten. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 95 Solver beregner trend-parametre og sesongindekser 2. Beregn prognose, basert på kvadratisk trend og sesongfaktorer Solver kan velge. 1. Beregn kvadratisk trend, basert på koeffisienter Solver kan velge. 3. La Solver minimere MSE for hele datasettet, ved å velge trend-koeffisientene og sesongfaktorene. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 96 Trend & additiv sesong Vi kan selvsagt benytte additiv sesong istedenfor multiplikativ sesong. Estimert sesongeffekt blir da: Si Yi Ti Tilsvarende blir prognosen endret til: Yˆt Tt S p BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 97 Regresjonsmodeller med sesong Indikatorvariabler kan brukes i regresjonsmodeller for å representere sesongeffekter. Hvis det er p sesonger, trengs p 1 indikatorvariabler. Vårt eksempel har kvartalsvise data, så p = 4 og vi definerer følgende indikatorvariabler: 1, hvis Yt er en observasjon for kvartal 1 X 3t 0, ellers 1, hvis Yt er en observasjon for kvartal 2 X 4t 0, ellers Hvis alle indikatorvariablene er lik 0, så er det kvartal 4. 1, hvis Yt er en observasjon for kvartal 3 X 5t 0, ellers BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 98 Implementere modellen Regresjonsfunksjonen er: Yˆt b0 b1 X 1t b2 X 2t b3 X 3t b4 X 4t b5 X 5t X 1t t X 2t t 2 X 3t 1 hvis 1. kvartal, ellers 0 X 4t 1 hvis 2. kvartal, ellers 0 Merk: I kvartal 4 er X3, X4 og X5 lik 0. X 5t 1 hvis 3. kvartal, ellers 0 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 99 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 100 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 101 Sesongjustert prediksjon og kvadratisk trend Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20: Yˆt b0 b1 X 1t b2 X 2t b3 X 3t b4 X 4t b5 X 5t 2 Yˆ21 824, 471 17,319 21 3, 485 21 86,805 1 427, 736 0 123, 453 0 2638,5 2 Yˆ22 824, 471 17,319 22 3, 485 22 86,805 0 427, 736 1 123, 453 0 2467, 7 2 Yˆ23 824, 471 17,319 23 3, 485 23 86,805 0 427, 736 0 123, 453 1 2943, 2 2 Yˆ24 824, 471 17,319 24 3, 485 24 86,805 0 427, 736 0 123, 453 0 3247,8 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 102 Kombinere prediksjoner Det er også mulig å kombinere prediksjoner for å lage en ”kompositt” prognose. Anta at vi har brukt tre forskjellige prediksjonsmetoder på et gitt sett av data. Benevn predikert verdi i periode t ved bruk av hver metode slik: F1t , F2t , F3t Vi kan lage en komposittprognose slik: Yˆt b0 b1 F1t b2 F2t b3 F3t BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 103 Mer om sesongfaktorer For å unngå systematiske prediksjonsfeil bør sesongfaktorene normaliseres: Gjennomsnittlig Faktorsum: 1 Ft St p j p j 1 St p j Normalisering Multiplikativ: Normalisering Additiv: p St p j Ft St p j St p j Ft Vi justerer de p siste sesongfaktorene. BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 104 Normalisering av sesongfaktorer BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 105 Slutt på kapittel 11 BØK350 OPERASJONSANALYSE Rasmus Rasmussen 106
© Copyright 2024