Operasjonsanalytiske emner Del 20 Nonlinear Programming Matematisk programmering og ikke-lineære funksjoner BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 1 Introduksjon Et ikke-lineært problem har en ikke-lineær målfunksjon og/eller en eller flere ikke-lineære restriksjoner. Ikke-lineære problemer formuleres og implementeres praktisk talt på samme måte som lineære problemer. Matematikken som benyttes for å løse ikke-lineære problemer er svært forskjellig fra den som brukes på lineære problemer. Solver tildekker denne forskjellen, men det er viktig å forstå de vanskene som kan oppstå når en skal løse ikkelineære problemer. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 2 Generell form på et matematisk programmeringsproblem MAX (eller MIN): f0(X1, X2, …, Xn) Slik at : f1(X1, X2, …, Xn)<=b1 : fk(X1, X2, …, Xn)>=bk : fm(X1, X2, …, Xn)=bm Merk: Hvis alle funksjonene i et optimeringsproblem er lineære, så er problemet et lineært programmeringsproblem (LP). BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 3 Typer matematiske programmeringsproblem 1 Inndelingen baseres på funksjonsformene og variablene: Lineære funksjoner eller ikke-lineære funksjoner Konvekse eller ikke-konvekse funksjoner Glatte eller ikke-glatte funksjoner Kontinuerlige eller heltallsvariabler LP: Hvis målfunksjonen og alle restriksjonene er lineære funksjoner, kalles problemet lineær programmering (LP). Et LP problem er alltid konveks. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 4 Typer matematiske programmeringsproblem 2 QP/QCP er en generalisering av LP. Hvis målfunksjonen er en konveks kvadratisk funksjon av beslutningsvariablene, og alle restriksjonene er lineære, er problemet et kvadratisk programmeringsproblem (QP). Hvis restriksjonene er konvekse kvadratiske, og målfunksjonen er lineær eller konveks kvadratisk, så er det et QCP (quadratic constrained problem). BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 5 Typer matematiske programmeringsproblem 3 NLP: En modell hvor målfunksjonen eller noen av restriksjonene er glatte ikke-lineære funksjoner av beslutningsvariablene, kalles problemet et ikkelineært programmeringsproblem (non-linear programming) NLP. NSP: En modell hvor målfunksjonen eller noen av restriksjonene er ikke-glatte funksjoner av beslutningsvariablene er non-smooth programming (NSP). BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 6 Typer matematiske programmeringsproblem 4 IP/MIP: Hvis noen av beslutningsvariablene er heltall, kalles problemet et heltallsproblem (Integer Programming, IP). Hvis noen av variablene er heltall og noen kontinuerlige kalles det mixed-integer programming (MIP). Heltallsrestriksjoner gjør problemet ikke-konveks, og er dermed mye vanskeligere å løse. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 7 Funksjonsformer Glatte funksjoner er funksjoner der funksjonens deriverte er en kontinuerlig funksjon. En glatt funksjon er dermed en kontinuerlig funksjon uten knekkpunkt. Følgende er ikke glatte: f(x) f(x) = |x| 0 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen x 8 Funksjonsformer og optimering De fleste optimeringsmetoder bygger på klassisk optimering. Der finner en maksimum for 𝑓 𝑥 ved å sette den deriverte lik null: 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 0, og kontrollere at det er et maksimumspunkt ved å sjekke at andrederiverte er 2 positiv: 𝜕 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑥 > 0 (dvs. funksjonen har skiftet fra å stige til å synke), i motsatt fall er det et minimumspunkt. Optimeringsteknikker som bygger på klassisk optimering, dvs. derivasjon, krever derfor glatte funksjoner. NSP (non-smooth problems) kan ikke løses med metoder basert på derivasjon. De aller fleste programvarer for optimering er basert på derivasjon. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 9 Konvekse og ikke-konvekse funksjoner Algebraisk er en funksjon konveks hvis, for enhver verdi xa og xb , og enhver t der 0 < t < 1: 𝑓 𝑡 ∙ 𝑥𝑎 + 1 − 𝑡 𝑥𝑏 ≤ 𝑡 ∙ 𝑓 𝑥𝑎 + 1 − 𝑡 𝑓 𝑥𝑏 . Geometrisk er en funksjon konveks hvis linjen mellom xa og xb (kalt korden) alltid ligger på eller over funksjonen, for ethvert sett av to punkter xa og xb. En funksjon er konkav hvis linjen (korden) alltid ligger på eller under funksjonen. f(x) f(x) f(xa) xa f(xb) xb BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER f(xa) x xa f(xb) xb x Rasmus Rasmussen 10 Konvekse og ikke-konvekse mengder Geometrisk er en mengde konveks hvis linjen mellom ethvert mulig par av punkter i mengden alltid ligger fullt og helt inne i mengden. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 11 Konveksitet Hvis en funksjon f(x) er konkav, så vil –f(x) være konveks. Hvis alle funksjoner med restriksjoner av formen er konvekse, og alle funksjoner med restriksjoner av formen er konkave, så vil mulighetsområdet av alle disse funksjonene til sammen være konveks. Hvis én eller flere av restriksjonene er ikke-konveks, så vil mulighetsområdet kunne være ikke-konveks. Hvis én eller flere av variablene er heltallsvariabler, er mulighetsområdet ikke-konveks. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 12 «Gode» funksjoner Glatte funksjoner har kontinuerlige 2. deriverte, og kan løses med klassiske optimeringsteknikker basert på derivasjon. Om problemet består av glatte, konvekse (minimering) eller konkave (maksimering) funksjoner, så finnes ett unikt optimumspunkt. Er den 2. deriverte alltid ikke-negativ så er funksjonen konveks. Er den 2. deriverte alltid ikke-positiv så er funksjonen konkav. En lineær funksjon har 2. deriverte lik 0, og er både konveks og konkav. I problemer med flere variabler (dimensjoner) erstattes den 2. deriverte med en matrise av verdier/funksjoner, kalt Hessian, og betingelsen ikkenegativ erstattes med betingelsen positiv semidefinit. Avansert programvare for optimering har tester for å sjekke om problemet er konveks eller ikke-konveks. Men disse testene vil ikke alltid kunne foreta en sikker klassifisering. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 13 Deriverte Lineære funksjoner har konstant 1. derivert, og 2. derivert (og høyere) er null. Kvadratiske funksjoner har konstant 1. og 2. derivert, og alle høyere ordens deriverte er null. Glatte ikke-lineære funksjoner har 1. og 2. ordens deriverte som er definerte, men ikke konstante – de endres med punktet de evalueres i. Ikke-glatte funksjoner har 2. deriverte som er udefinert i noen punkter, og diskontinuerlige funksjoner har 1. deriverte som er udefinert i noen punkter. For lineære og kvadratiske problem kan altså de deriverte beregnes én gang i starten av løsningsprosessen – siden de er konstante. For glatte ikke-lineære funksjoner må de deriverte beregnes på nytt for hvert trinn i optimeringsprosessen – siden de endrer verdi. For ikke-glatte funksjoner finnes punkter der de deriverte ikke er definert, følgelig kan ikke metoder basert på derivasjon benyttes til å løse disse problemene. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 14 Lineære problemer LP problemer er alltid konvekse, og har følgelig ett unikt optimumspunkt. (Unntaksvis flere like gode.) Siden alle funksjoner er lineære, vil optimal løsning ligge i et hjørnepunkt. Det er derfor tilstrekkelig å sjekke hjørneløsninger. (Tilgrensende nabohjørner kan være et alternativt optimumspunkt.) Simplex-metoden vurderer kun hjørneløsninger, mens interior-point metoder baserer seg på derivasjon. Fordi LP-problemer har konstante deriverte (lik koeffisientmatrisen), er det tilstrekkelig å beregne de deriverte én gang. Det er enkelt å verifisere at optimal løsning er funnet. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 15 Konvekse ikke-lineære problemer Hvis et MP problem er konveks, så finnes et unikt optimumspunkt. Om alle funksjoner er glatte, kan teknikker basert på derivasjon benyttes, og optimal løsning kan verifiseres. Hvis noen funksjoner er ikke-glatte, kan ikke derivasjon benyttes, og det blir vanskelig å påvise at løsningen er optimal. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 16 Ikke-konvekse problemer f(x) Ikke-konvekse problemer kan ha mange lokale Her er a, c, f, og h lokale maksimumspunkt, optimumsløsninger. f a c g h e b d i x mens b, d, g og i er lokale minimumspunkt. Område e og g er platåer, og g inneholder et lokalt minimumspunkt, mens e er verken et maksimum- eller minimumspunkt. Punkt f er det globale maksimumspunkt og punkt i er det globale minimumspunkt. Om mulighetsområdet er ikke-konveks skaper det ytterligere komplikasjoner. Mulighetsområdet kan da bestå av flere adskilte områder, og det er umulig på forhånd å vite i hvilket område den beste løsningen ligger. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 17 Pris - Etterspørsel Par Inc. produserer standard (s) og deluxe (d) golfbager. La Xi og Pi være mengde og pris av produktene (i = s, d). Produkt Etterspørsel VEK standard deluxe 𝑋𝑠 = 2250 − 15𝑃𝑠 𝑋𝑑 = 1500 − 5𝑃𝑑 70 150 Selv om pris også er en beslutningsvariabel, er det matematisk enklest å kun benytte mengde som variabel. Vi skriver derfor om sammenhengen mellom pris og mengde: 𝑋𝑠 = 2250 − 15𝑃𝑠 → 𝑃𝑠 = 150 − 1 𝑋 15 𝑠 𝑋𝑑 = 1500 − 5𝑃𝑑 → 𝑃𝑑 = 300 − 1 𝑋 5 𝑑 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 18 Maksimalt dekningsbidrag Totalt dekningsbidrag: Z = Pris Mengde – VEK Mengde: 𝑍 = 150 − 1 𝑋 15 𝑠 𝑍 = 80𝑋𝑠 − 1 𝑋𝑠 2 15 𝑋𝑠 − 70𝑋𝑠 + 300 − + 150𝑋𝑑 − 1 𝑋 5 𝑑 𝑋𝑑 − 150𝑋𝑑 1 𝑋𝑑 2 5 Optimal løsning: Sette den deriverte lik null: 𝜕𝑍 𝜕𝑋𝑠 =0 80 − 2 ∙ 𝜕𝑍 𝜕𝑋𝑑 =0 150 − 2 ∙ 𝑋𝑑 = 0 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 1 𝑋 15 𝑠 1 5 =0 𝑋𝑠 = 80∙15 2 𝑋𝑑 = = 600 150∙5 2 = 375 Rasmus Rasmussen 19 Optimal løsning uten restriksjoner Xd (600,375) Z = 52.125,- Z = 50.000 Xs BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 20 Pris, etterspørsel og produksjon Par Inc. produserer standard (s) og deluxe (d) golfbager. La Xi og Pi være mengde og pris av produktene (i = s, d). Produkt Etterspørsel standard deluxe 𝑋𝑠 = 2250 − 15𝑃𝑠 𝑋𝑑 = 1500 − 5𝑃𝑑 70 150 VEK = c Skjæreavdeling 7 Sying 1 Montering Pakking 1 1 10 2 1 10 5 2 1 6 3 4 Kapasitet 630 600 708 135 Om prisen fastsettes er mengden gitt, eller om mengden fastsettes er prisen gitt. Om vi vil, kan vi derfor redusere antall variabler til å gjelde bare pris eller bare mengde. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 21 Matematisk formulering Målfunksjon: maxZ max i s ,d Pi X i ci X i Max Z = PsXs 70 Xs + PdXd 150 Xd Maksimer totalt dekningsbidrag fra alle produkter. Totalt dekningsbidrag er lik total inntekt (pris mengde) minus variable kostnader (VEK mengde). Merk at pris og mengde ikke kan fastsettes uavhengig av hverandre. Etterspørselsfunksjonen spesifiserer sammenhengen mellom pris og mengde, og er listet opp sammen med de øvrige restriksjonene. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 22 Matematisk formulering Restriksjoner: i s ,d ai , j X i b j for alle j Skjæreavdeling 7 Sying Montering Pakking Sum ressursbruk i avdeling j fra alle produkter (s og d) kan ikke overstige total kapasitet i avdeling j. 1 1𝑋𝑑 630 5 6 𝑋𝑑 600 + 2 3 𝑋𝑑 708 + 1 4 𝑋𝑑 135 10 𝑋𝑠 1 𝑋 2 𝑠 + + 1𝑋𝑠 10 𝑋𝑠 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Totalt tidsbruk i en avdeling kan ikke overskride tilgjengelig tid i avdelingen. Rasmus Rasmussen 23 Matematisk formulering Restriksjoner: X i f i Pi Omsatt mengde er en funksjon av prisen. 𝑋𝑠 = 2250 − 15𝑃𝑠 𝑋𝑑 = 1500 − 5𝑃𝑑 Etterspørselsfunksjonen viser at etterspørselen synker når prisen øker. Konstanten angir total etterspørsel hvis produktet er gratis, mens den negative stigningskoeffisienten angir hvor mye etterspurt mengde reduseres ved en prisøkning på én prisenhet. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 24 XD Mulighetsområde 5 1062 (1) Skjæreavd. 3 720 630 540 7 (2) Sying (3) Montering 2 (4) Pakking (5) 1 1𝑋𝑑 630 5 6 𝑋𝑑 600 + 2 3 𝑋𝑑 708 + 1 4 𝑋𝑑 135 10 𝑋𝑠 1 𝑋 2 𝑠 + + 1𝑋𝑠 10 𝑋𝑠 0 𝑋𝑠 (6) 0 𝑋𝑑 308,2 4 459,7 708 1 900 1200 1350 6 XS Ved større kapasiteter kan optimal løsning være inne i mulighetsområdet. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 25 Prissetting i regneark Celle Formel Kopieres til C5 =C3+C4*C9 D5 C7 =C5-C6 D7 E7 =SUMPRODUCT($C$9:$D$9;C7:D7) BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER E11:E14 Rasmus Rasmussen 26 Symboler alternativ modell Parametere: G N ci aij bj Ei Mengden av produkter Mengden av produksjonsavdelinger Variabel enhetskostnad produkt i Tidsforbruk produkt i i avdeling j Tilgjengelig tid i avdeling j Etterspørsel produkt i G = {s, j} i {G} i {G}; j {N} j {N} i {G} Beslutningsvariabler: Xi Antall enheter produsert av produkt i Yi Antall enheter solgt av produkt i Pi Pris pr. enhet av produkt i BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER i {G} i {G} i {G} Rasmus Rasmussen 27 Matematisk formulering Målfunksjon: maxZ max Pi Yi ci X i iG Maksimer Pris Solgt mengde variabel enhetskostnad produsert mengde Restriksjoner: a iG i, j X i b j for alle j N Ei f i Pi for alle i G Sum ressursbruk i avdeling j fra alle produkter (i G) kan ikke overstige total kapasitet i avdeling j. Etterspurt mengde er en funksjon av prisen. Yi Ei for alle i G Solgt mengde kan ikke overstige etterspurt mengde. Yi X i for alle i G Solgt mengde kan ikke overstige produsert mengde. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 28 Pris - Etterspørsel - Produksjon - Salg Celle Formel Kopieres til C7 =C5+C6*C4 D7 C10 =C4*C8 D10 C11 =C3*C9 D11 C12 =C10-C11 D12 E12 =SUM(C12:D12) OPERASJONSANALYTISKE EMNER E15BØK710 =SUMPRODUCT($C$9:$D$9;C15:D15) - E16:E18 Rasmus Rasmussen 29 Forskjellige optimale løsninger til NLPs Nivåkurve for målfunksjonen (som ikke er hjørne-løsninger) optimal løsning Nivåkurve for målfunksjonen optimal løsning Mulighetsområdet Mulighetsområdet Lineær målfunksjon, ikke-lineære restriksjoner Ikke-lineær målfunksjon, lineære restriksjoner Nivåkurve for målfunksjonen Nivåkurver for målfunksjonen optimal løsning Mulighetsområdet Ikke-lineær målfunksjon, ikke-lineære restriksjoner BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER optimal løsning Mulighetsområdet Ikke-lineær målfunksjon, lineære restriksjoner Rasmus Rasmussen 30 En ikke-lineær løsningsstrategi X2 C D E B Nivåkurver for målfunksjonen Mulighetsområdet A (start punkt) X1 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 31 GRG Algoritmen Solver bruker Generalized Reduced Gradient (GRG) algoritmen for å løse ikke-lineære programmeringsproblemer. GRG kan også brukes på LP problemer. Den er tregere enn Simplex metoden. Den gir ikke garantert beste løsning hvis problemet er ikke-lineært. Den gir mindre omfattende sensitivitets-analyse. Strategi: Prøv LP Solver først! BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 32 Lokale vs. Globalt Optimale Løsninger X2 Lokal optimal løsning C E Mulighets-området B F Lokal og global optimal løsning G A D X1 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 33 Konveksitet Dette mulighetsområdet er konveks. Alle rette linjer mellom to punkter i mulighetsområdet ligger fullstendig innenfor mulighetsområdet. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Dette mulighetsområdet er ikke-konveks. Ikke alle rette linjer mellom to punkter i mulighetsområdet ligger fullstendig innenfor mulighetsområdet. Rasmus Rasmussen 34 Kommentarer til konveksitet Konvekse problemer er mye enklere å løse enn ikke-konvekse problemer. ASP kan teste for konveksitet: Klikk: Optimize, Analyze Without Solving. Model type “NLP Convex” indikerer at et lokalt optimum også er det globale optimum. Andre modelltyper er ubestemte angående globale optimale løsninger. (Som “NLP NonCvx ” , “ NLP ”.) BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 35 Kommentarer til NLP Algoritmer Det er ikke bestandig best å flytte i den retningen som skaper den raskeste forbedringen i målfunksjonen. Det er heller ikke bestandig best å flytte lengst mulig i den retningen. NLP algoritmer vil stoppe ved lokale optimumsløsninger. Startpunktet påvirker hvilket lokalt optimumspunkt en ender opp med. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 36 Kommentarer vedrørende startpunkt Start i null-punktet bør unngås. Hvis mulig bør en velge startverdier for beslutningsvariablene som har noen lunde samme størrelse som de forventede optimale verdiene. Automatisk skalering bygger på start-løsningen. Hvis diagnosen ikke bekrefter at problemet er konveks, kan en benytte opsjonen MultiStart Search. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 37 En kommentar til “Optimal” løsning Når Solver løser et ikke-lineært problem, stopper den normalt når den første av følgende 3 tester er tilfredsstilt, ledsaget av en av følgende: 1) “Solver found a solution. All constraints and optimality conditions are satisfied.” Dette betyr at Solver har funnet et lokalt optimum, men garanterer ikke at dette er den globale optimale løsningen. Med mindre du vet at problemet kun har ett lokalt optimum (som da også må være det globale optimum) bør du kjøre Solver flere ganger med forskjellige startverdier, for å øke muligheten for at du finner den globale optimumsløsningen. For ikke-konvekse problemer bruk opsjonen MultiStart Search. 2) “Solver has converged to the current solution. All constraints are satisfied.” Dette betyr at målfunksjonen har endret seg lite i de siste iterasjonene. Hvis du tror at løsningen ikke er et lokalt optimumspunkt, så kan det hende at problemet er dårlig skalert. Convergence opsjonen i Solver Options dialog box kan reduseres for å unngå konvergering omkring suboptimale løsninger. 3) “Solver cannot improve the current solution. All constraints are satisfied.” Denne sjeldne meldingen betyr at modellen er degenerert, og at Solver går i ring mellom samme løsninger. Degenererte løsninger kan ofte elimineres ved å fjerne overflødige restriksjoner i modellen. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 38 Optimalt innkjøpskvantum (EOQ) Hvordan finne optimal ordrestørrelse når en bestiller varer. Små ordrer (varebestillinger) medfører: Små lagerbeholdninger & lagringskostnader Hyppige ordrer & større bestillingskostnader Store ordrer medfører: Store lagerbeholdninger & lagringskostnader Sjeldne order & mindre bestillingskostnader BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 39 Eksempel på lagerprofiler Lager 60 Årlig etterspørsel = 150 Ordrestørrelse = 50 50 Antall ordrer = 3 Gj. snitt lager = 25 40 30 20 10 0 Lager 0 60 1 2 3 4 5 6 7 Årlig etterspørsel = 150 Ordrestørrelse = 25 50 8 9 10 11 12 Måneder Antall ordrer = 6 Gj. Snitt lager = 12.5 40 30 20 10 0 0 1 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Måneder Rasmus Rasmussen 40 EOQ Modellen D Q Totale årlige kostnader D C S C i Q 2 D = årlig etterspørsel etter varen C = kjøpspris pr. enhet for varen S = fast kostnad ved bestilling av varen i = årlig lagerholdskostnad (som en % av C) Q = bestillingskvantum Antagelser: Etterspørsel (eller bruk) er konstant over hele året. Nye ordrer mottas i sin helhet i det øyeblikk lageret er tomt. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 41 EOQ kostnadssammenhenger $ 1000 800 Totalkostnad 600 400 Lagerkostnader Bestillingskostnader 200 EOQ 0 0 10 20 30 40 50 Ordrekvantum BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 42 Et EOQ Eksempel: Bestille papir Alan Wang kjøper papir for kopimaskiner og laserprintere ved MetroBank. Årlig etterspørsel (D) er på 24,000 esker Hver eske koster $35 (C) Hver bestilling koster $50 (S) Lagerholdskostnader er 18% (i) Hva er optimalt bestillingskvantum (Q)? BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 43 Modellen D Q Minimer : D C S C i Q 2 og : Q 1 Q er en beslutningsvariabel Q-1 Inngår i målfunksjonen => ikke-lineær Merk at målfunksjonen er ikke-lineær! BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 44 Implementere Lagermodellen Analyze without solve Analyze without solve NLP Convex - Unikt optimum BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 45 Kommentarer til EOQ Modellen Matematisk kan en vise at den optimale verdien for Q er : 2DS Q Ci * En mengde varianter av EOQ modellen finnes for å ta hensyn til: – kvantumsrabatter – lagerrestriksjoner – etterbestillinger – etc. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 46 Problemer med optimering? Det hender at vi noen ganger ikke får den løsningen vi forventer. Regner Solver galt, eller har vi gitt gale opplysninger til Solver? Eksempler på hvilke vansker som kan oppstå med optimering i regneark er beskrevet på: http://ite.pubs.informs.org/oldsite/Vol2No2/Troxell/ BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 47 Lokaliseringsproblemer Mange beslutninger dreier seg om å finne optimal lokalisering av bygninger eller servicesentra, f. eks. Produksjonsfabrikker Lagerbygninger Brannstasjon Ambulansesentra Slike problemer inneholder vanligvis avstander i målfunksjonen og/eller i restriksjonene. Avstanden (Euclidsk) i rett linje mellom to punkter (X1, Y1) og (X2, Y2) er: Avstand X1 X 2 Y1 Y2 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 2 2 Rasmus Rasmussen 48 Et lokaliseringsproblem: Rappaport Communications tilbyr mobiltelefontjenester i flere mellomvestlige stater. De ønsker å ekspandere for å tilby tjenestene også mellom fire byer i nordre Ohio. En ny telemast må bygges for å formidle samtalene mellom disse byene. Masten vil gi dekning i en radius på 40 mil. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 49 Graf over lokalisering av telemasten Y 50 Cleveland x=5, y=45 40 30 Youngstown Akron x=12, y=21 20 x=52, y=21 10 Canton x=17, y=5 0 0 10 20 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 30 40 50 60 X Rasmus Rasmussen 50 Definere beslutningsvariablene X1 = lokalisering av telemasten langs X-aksen Y1 = lokalisering av telemasten langs Y-aksen BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 51 Definere målfunksjonen Minimere den totale avstanden mellom den nye masten og de eksisterende : 5 X 1 45 Y1 2 Minimer: 2 12 X 1 21 Y1 2 17 X 1 5 Y1 2 2 2 52 X 1 21 Y1 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 2 2 Rasmus Rasmussen 52 Definere restriksjonene Cleveland 5 X 1 45 Y1 40 Akron 12 X 1 21 Y1 40 Canton 17 X 1 5 Y1 Youngstown 52 X 1 21 Y1 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 2 2 2 2 2 2 2 40 2 40 Rasmus Rasmussen 53 Implementere modellen Merk: I dette problemet tillates negative verdier på beslutningsvariablene. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER NonLinearProblem Solver kan ikke avgjøre om problemet er konveks Rasmus Rasmussen 54 MultiStart vil forsøke ulike startverdier. Må ha nedre og øvre grense på variablene. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 55 Analysere løsningen Den optimale plasseringen av den “nye masten” er på samme sted som Akron masten. Kanskje de bare skulle oppgradere Akron masten. Den største avstanden er 40 mil til Youngstown. Dette er på grensen til max rekkevidde. Hvor skal vi plassere den nye masten hvis vi ønsker å minimere den maksimale avstanden til eksisterende sendere ? BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 56 Minste maksimalavstand Her har vi benyttet MiniMax teknikken: Minimere: Max avstand Q (E8) Slik at: Alle avstander ≤ Max avstand BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 57 Kommentarer til lokaliseringsproblemer Den optimale løsningen til et lokaliseringsproblem vil ikke alltid virke : Eiendommen er kanskje ikke til salgs. Området kan være fredet. Stedet kan være en innsjø. I slike situasjoner er den optimale løsningen et godt utgangspunkt for å finne et passende område i nærheten. Restriksjoner kan tilføyes lokaliserings-problemene for å eliminere umulige områder. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 58 Et ikke-lineært transportproblem: SafetyTrans har spesialisert seg på frakt av spesielt verdifull og ekstremt farlig gods. Det er absolutt nødvendig for firmaet å unngå ulykker: Det beskytter deres renommé. Det holder forsikringspremiene lave. Mulige miljøkonsekvenser av en ulykke er katastrofale. Selskapet driver en database over trafikkulykker som benyttes til å finne de sikreste rutene. De har nå behov for å finne den tryggeste veien mellom Los Angeles, CA og Amarillo, TX. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 59 Nettverk for SafetyTrans Problemet Las Vegas 2 0.006 0.001 Flagstaff 6 0.006 0.002 -1 0.004 0.004 0.009 Phoenix 4 0.010 0.005 0.002 0.002 San Diego 3 0.003 0.010 +1 0.001 Amarillo 10 0.010 0.003 Los Angeles 1 Albuquerque 8 Tucson 5 Las Cruces 7 0.003 0.006 Lubbock 9 Tallene langs greinene angir sannsynligheten for at en ulykke skal inntreffe. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 60 Definere beslutningsvariablene 1, hvis ruten fra node i til node j velges Yi , j 0, ellers BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 61 Definere målfunksjonen Velg tryggeste rute ved å maksimere sannsynligheten av å ikke ha en ulykke: max : 1 P1,2 Y1,2 1 P1,3 Y1,3 1 P1,4 Y1,4 1 P2,4 Y2,4 1 P1,3 Y1,3 1 P9,10 Y9,10 der: Pij = sannsynligheten for en ulykke når en kjører fra node i til node j BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 62 Definere restriksjonene Transportrestriksjoner: –Y1,2 –Y1,3 –Y1,4 = –1 } node 1 +Y1,2 –Y2,4 –Y2,6 = 0 } node 2 +Y1,3 –Y3,4 –Y3,5 = 0 } node 3 +Y1,4 +Y2,4 +Y3,4 –Y4,5 –Y4,6 –Y4,8 = 0 } node 4 +Y3,5 +Y4,5 –Y5,7 = 0 } node 5 +Y2,6 +Y4,6 –Y6,7 –Y6,8 = 0 } node 6 +Y5,7 +Y6,7 –Y7,8 –Y7,9 –Y7,10 = 0 } node 7 +Y4,8 +Y6,8 +Y7,8 –Y8,10 = 0 } node 8 +Y7,9 –Y9,10 = 0 } node 9 +Y7,10 +Y8,10 +Y9,10 = 1 } node 10 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 63 Ikke-lineært transportproblem NLP NonCvx Ikke-lineært og ikke-konveks. Kan ha flere lokale optimum. Må bruke MultiStart BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 64 Kommentarer til ikke-lineære transportproblemer Små forskjeller i sannsynligheter kan bety store forskjeller i forventet verdi : (1-0,9900) * $30.000.000 = $300.000 (1-0,9626) * $30.000.000 = $1.122.000 Slike typer problemer er også nyttige i pålitelighetsnettverksproblemer (som å finne svakeste ”ledd” (eller grein) i et produksjonssystem eller i et telekommunikasjonssystem). BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 65 Valg av investeringsprosjekt: TMC skal fordele $1,7 millioner av F&U budsjettet og fordele 25 ingeniører til 6 utviklingsprosjekter. Sannsynligheten for suksess for et prosjekt er avhengig av antall ingeniører (Xi) som tildeles prosjektet, og defineres slik: Pi = Xi/(Xi + ei) Prosjekt Startkostnader NPV ved suksess Sannsynlighetsparameter ei 1 $325 $750 3,1 2 $200 $120 2,5 3 $490 $900 4,5 4 5 $125 $710 $400 $1,110 5,6 8,2 6 $240 $800 8,5 (alle pengebeløp er i $1.000s) BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 66 Utvalgte sannsynlighetsfunksjoner 1.0000 0.9000 Sannsynlighet for suksess 0.8000 0.7000 0.6000 0.5000 0.4000 2,5 Project 2 5,6 Project 4 0.3000 8,5 Project 6 0.2000 0.1000 0.0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Antall ingeniører tildelt BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 67 Definere beslutningsvariablene 1, hvis prosjekt i velges Yi i 1, 2,3,.., 6 0, ellers X i antall ingeniører som tildeles prosjekt i, i 1, 2,3,.., 6 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 68 Definere målfunksjonen Maksimer total forventet nåverdi av de valgte prosjektene X3 X6 X1 X2 max : 750 120 900 ... 800 X 1 3,1 X 2 2,5 X 3 4,5 X 6 8,5 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 69 Definere restriksjonene Finansiering av startkostnadene 325Y1 + 200Y2 + 490Y3 + 125Y4 + 710Y5 + 240Y6 ≤1700 Ingeniører X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≤ 25 Logiske betingelser Xi ≤ 25Yi , i = 1, 2, 3, … 6 Merk: Følgende restriksjon kunne benyttes isteden for de to siste... X1Y1 + X2Y2+ X3Y3+ X4Y4+ X5Y5 + X6Y6 ≤ 25 Denne restriksjonen er imidlertid ikke-lineær. Det er generelt best å formulere seg lineært hvis det er mulig. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 70 Implementere modellen BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 71 Global optimering kan ta lang tid BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 72 Optimering av eksisterende modeller Det er ikke bestandig nødvendig å skrive ut en algebraisk formulering til et optimeringsproblem, selv om dette vil sikre en grundig forståelse av problemet. Solver kan brukes til å optimere en mengde eksisterende regneark, også med modeller som er fulle av ikke-lineæriteter. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 73 Finansiering av livsforsikring Thom Pearman eier en engangs livsforsikringspolise med innløsningsverdi på $6,000 og utbetaling ved død på $40,000. Han ønsker å innløse livsforsikringspolisen og bruke rentene til å betale terminbeløp på en livsforsikring med utbetaling ved død på $350,000. Thom’s marginalskatt er 28%. Hvilken avkastning trenger han på investeringen på $6,000 for å kunne betale den nye forsikringen? Terminbeløpene for den nye polisen for 10 år er: År Terminbeløp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $423 $457 $489 $516 $530 $558 $595 $618 $660 $716 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 74 Implementere modellen BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 75 Optimal portefølje En finansplanlegger ønsker å sette sammen den minst risikable porteføljen som gir minimum 12% avkastning, ved å benytte følgende aksjer : År 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Gj.snitt Årlig avkastning IBC NMC 11,2% 8,0% 10,8% 9,2% 11,6% 6,6% -1,6% 18,5% -4,1% 7,4% 8,6% 13,0% 6,8% 22,0% 11,9% 14,0% 12,0% 20,5% 8,3% 14,0% 6,0% 19,0% 10,2% 9,0% 7,64% 13,43% BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER NBS 10,9% 22,0% 37,9% -11,8% 12,9% -7,5% 9,3% 48,7% -1,9% 19,1% -3,4% 43,0% 14,93% IBC NMC NBS Kovariansmatrise IBC NMC 0,00258 -0,00025 -0,00025 0,00276 0,00440 -0,00542 NBS 0,00440 -0,00542 0,03677 Rasmus Rasmussen 76 Definere beslutningsvariablene p1 = andel av investeringen investert i IBC p2 = andel av investeringen investert i NMC p3 = andel av investeringen investert i NBS BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 77 Definere målsettingen Minimere porteføljens varians (risiko). n 1 n MIN: p 2 2 i i =1 2 i n i 1 j i 1 ij pi p j i2 = variansen til avkastning aksje i ij ji kovariansen mellom avkastning aksje i og j Matrisenotasjon: Minimer pTCp p = vektor av andeler C = kovariansmatrisen BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 78 Definere restriksjonene Forventet avkastning 0,0764 p1 + 0,1343 p2 + 0,1493 p3 ≥ 0,12 Andeler p1 + p2 + p3 = 1 p1, p2, p3 ≥ 0 p1, p2, p3 ≤ 1 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 79 Implementere modellen QP Convex Kan bruke LP/QP Solver BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 80 Parametrisk analyse Vi ønsker å løse problemet med flere alternative verdier for minimum avkastning. (Celle K11) BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 81 Implementere modellen Vi må angi hvor mange ulike optimeringer vi ønsker å kjøre. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 82 Parametrisk analyse BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 83 Plot av parametrisk analyse BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 84 Multiple målsettinger i porteføljesammensetning I porteføljeproblemer ønsker vi å oppnå ett av to mål: – – Minimere risiko (porteføljens varians) Maksimere forventet avkastning Vi kan ta hensyn til begge målsettingene samtidig ved å generere effisiente porteføljer: (1 – r)(Forventet avkastning) – r(porteføljens varians) p1 + p2 + … + pm = 1 pi ≥ 0 hvor: 0 ≤ r ≤1 er en risikoaversjons parameter Merk: Hvis r = 1 minimeres variansen. Hvis r = 0 maksimeres avkastningen. MAX: gitt : BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 85 Implementere modellen BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 86 Effisiensgrensen – Trinn 1 Lag en tabell med ulike verdier for r, risikoaversjonen. Erstatt cellen for r med formelen PsiOptParam(N4:N14) Kolonnen for varians: PsiOptValue($K$11;M4) Kolonnen for Avkastning: PsiOptValue($K$10;M4) BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 87 Effisiensgrensen – Trinn 2 Sett antall optimeringer til 11. Kjør Solver. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 88 Effisiensgrensen – Trinn 3 Sett inn et Scatterplot av Varians og Avkastning BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 89 Automatisk plott BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 90 Sensitivitetsanalyse LP uttrykk Shadow Price Reduced Cost NLP uttrykk Lagrange Multiplier Reduced Gradient Betyr Marginalverdi for ressursene. Endringen i målfunksjonene ved en liten endring i optimal verdi på beslutningsvariablene. Vi får mindre informasjon fra sensitivitetsanalysen ved ikke-lineære problemer sammenlignet med LP. For heltallsproblemer får vi ingen sensitivitetsanalyse. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 91 Sensitivitetsanalyse Ingen ”Range” -analyse BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 92 Solver Options for NLP BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 93 Evolutionary Algoritmer En teknikk av heuristikk-matematikk for optimering basert på Darwin’s Evolusjonsteori. Kan brukes på en hvilken som helst regnearkmodell, inkludert de med “If” og/eller “Lookup” funksjoner. Også kalt Genetic Algorithms (GAs). BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 94 Evolutionary Algoritmer Løsninger til et MP problem kan representeres som en vektor av tall (som et kromosom) Hvert kromosom har en tilhørende “tilpasning” (målfunksjons) verdi GA’er starter med en tilfeldig populasjon av kromosomer og benytter Crossover - bytter verdier mellom løsningsvektorer Mutation - tilfeldig erstatting av verdier i en løsningsvektor De best tilpassede kromosomene overlever til neste generasjon, og prosessen gjentas BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 95 Forenklet illustrasjon av evolusjon X1 7,84 10,26 3,88 9,51 5,96 4,77 INITIAL POPULASJON X2 X3 24,39 29,95 16,36 31,26 23,03 25,92 19,51 26,23 19,52 33,83 18,31 26,21 X4 6,62 3,55 6,76 2,64 6,89 5,59 Fitness 282,08 293,38 223,31 331,28 453,57 229,49 Kromosom 1 2 3 4 5 6 X1 7,84 10,26 3,88 9,51 4,77 5,96 CROSSOVER & MUTATION X2 X3 24,39 31,26 16,36 29,95 19,75 25,92 19,51 32,23 18,31 33,83 19,52 26,21 X4 3,55 6,62 6,76 2,64 6,89 4,60 Fitness 334,28 227,04 301,44 495,52 332,38 444,21 Kromosom 1 2 3 4 5 6 X1 7,84 10,26 3,88 9,51 5,96 5,96 NY POPULASJON X2 X3 24,39 31,26 16,36 31,26 19,75 25,92 19,51 32,23 19,52 33,83 19,52 26,21 X4 3,55 3,55 6,76 2,64 6,89 4,60 Fitness 334,28 293,38 301,44 495,52 453,57 444,21 Kromosom 1 2 3 4 5 6 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Alternative løsninger Crossover Mutasjoner De beste ”overlever” Fra initial populasjon Rasmus Rasmussen 96 Velge ut jevne grupper Lederen av et master-studium ønsker å dele inn nye studenter i grupper. Han ønsker å dele de 34 nye studentene i 7 grupper. Studentene er rangert basert på GMAT verdier, og studielederen ønsker å dele gruppene slik at de får jevnest mulig rangering. BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 97 Implementere valg av jevne grupper BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 98 Evolutionary Solver BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 99 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 100 Optimal løsning? BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 101 The Traveling Salesperson Problem En selger ønsker å finne den billigste ruten for å besøke kunder i n forskjellige byer, slik at hver by besøkes kun én gang før en returnerer til utgangspunktet. n 3 5 9 13 17 20 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER (n-1)! 2 24 40,320 479,001,600 20,922,789,888,000 121,645,100,408,832,000 Rasmus Rasmussen 102 Eksempel på TSP Wolverine Manufacturing må bestemme den korteste veien for en drillemaskin for å borre 9 hull i et fiberglass panel. Dette er et TSP problem (bytt ut hull med byer, og drillemaskin med handelsreisende). TSP in Spreadsheets – a Guided Tour: http://www.economicsnetwork.ac.uk/iree/v10n1/rasmussen.pdf BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 103 Implementere TSP i regneark BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 104 Koordinater, avstander og plot TSP BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 105 Slutt på kapittel 20 BØK710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmus Rasmussen 106
© Copyright 2024