1 / 27
Föreläsningar
Industriell reglerteknik:
Föreläsning 5
1
2
3
4
5•
6
7
8
9
10
11
12
Martin Enqvist
Reglerteknik
Institutionen för systemteknik
Linköpings universitet
Sekvensstyrning: Funktionsdiagram, Grafcet.
Grundläggande reglerteori i diskret tid.
Modellering. Design av regulatorer.
Framkoppling från referenssignal. PID-regulatorn.
PID-regulatorn. Implementering av regulatorer.
Regulatorer i drift. Olinjära regulatorer.
Regulatorstrukturer.
Regulatorstrukturer. MPC: Grundprincip, problemformulering.
MPC: Problemformulering, referensföljning, I-verkan.
MPC: Stabilitet.
Gästföreläsning.
MPC: Tolkningar. Sammanfattning.
2 / 27
3 / 27
PID-inställning
Hur ställer man in en PID-regulator?
(i) Ad hoc
PID-regulatorn (forts.)
(ii) Mha optimering
(iii) Modellbaserat
Här: (iii)! Typiska delmoment:
1. Utför ett experiment (oftast: mät stegsvar eller självsvängning)
2. Anpassa en modell till data
3. Använd modellen för inställning av PID-parametrarna
4 / 27
IMC-baserad PID-inställning
5 / 27
IMC-baserad PID-inställning. . .
System:
IMC-regulator:
G(s) =
F (s) =
Det slutna systemet blir:
Q(s)
1 − Q(s)G(s)
Kp
sT + 1
Valet Q(s) = 1/ (sTc + 1)G(s) ger IMC-regulatorn
T
1
F (s) =
1+
Kp Tc
Ts
Gry (s) = G(s)Q(s)
IMC-baserad inställningsregel för PI-regulator:
Välj:
Q(s) ≈
1
G(s)
K=
T
,
Kp Tc
Ti = T
6 / 27
IMC-baserad PID-inställning. . .
7 / 27
IMC-baserad PID-inställning. . .
Med hjälp av padéapproximationen
e−sL ≈
System:
Kp −sL
e
sT + 1
Valet Q(s) = (sT + 1)/ Kp (sTc + 1) (samma som förut) ger
IMC-regulatorn
sT + 1
F (s) =
Kp (sTc + 1 − e−sL )
G(s) =
1 − sL/2
1 + sL/2
kan man skriva om regulatorn som
T + L/2
1
T Ls
F (s) ≈
1+
+
Kp (Tc + L)
(T + L/2)s 2(T + L/2)
IMC-baserad inställningsregel för PID-regulator:
dvs. den förra PI-regulatorn med dödtidskompensering (smithprediktor).
K=
T + L/2
,
Kp (Tc + L)
Ti = T + L/2,
Td =
TL
2(T + L/2)
8 / 27
Lambdatrimning
9 / 27
Ziegler-Nichols inställningsregler
Ziegler-Nichols inställningsregler för modellen
System:
G(s) =
Kp −sL
e
sT + 1
b
G(s) = e−sL
s
Vid lambdatrimning av en PI-regulator använder man inställningsregeln
K=
T
,
Kp (λT + L)
är
Regulator
P
PI
PID
Ti = T
Notera: Då L = 0 sammanfaller lambda- och IMC-trimning.
K
1/(bL)
0.9/(bL)
1.2/(bL)
Ti
Td
3L
2L
L/2
10 / 27
Ziegler-Nichols inställningsregler. . .
11 / 27
Specificering av punkt på nyquistkurvan
Ziegler-Nichols inställningsregler för modellen
Genom parametervalet
G(i2π/Tu ) = −1/Ku
K = 0.35Ku ,
är
Regulator
P
PI
PID
K
0.5Ku
0.4Ku
0.6Ku
Ti
0.8Tu
Tu /2
Td
Ti = 0.76Tu ,
baserat på modellen
G(i2π/Tu ) = −1/Ku
Tu /8
Td = 0.19Tu
specificerar man en lämplig punkt på kretsförstärkningens nyquistkurva.
12 / 27
Åström-Hägglunds inställningsregler
Åström-Hägglunds inställningsregler. . .
Åström-Hägglunds inställningsregler för placering av dominerade poler för
modellen
Kp −sL
G(s) =
e
, a = Kp L/T
1 + sT
är
Regulator
PI
PID
K
0.4/a, (0.2/a)
0.9/a, (0.5/a)
Ti
0.7T
T
13 / 27
Td
0.25T
Åström-Hägglunds inställningsregler för placering av dominerade poler för
modellen
G(i2π/Tu ) = −1/Ku
är
Regulator
PI
PID
α
0.5, (1)
0.3, (0.5)
K
0.2Ku , (0.1Ku )
0.5Ku , (0.25Ku )
Ti
0.2Tu
0.3Tu
Td
0.09Tu
α
0.5, (1.2)
0.2, (0.6)
14 / 27
15 / 27
Repetition: Samplad reglering
Reglering baserad på (ekvidistant) sampling av mätsignalerna:
r(t)
Implementering av regulatorer
r(kTS )
Sample
Regulator
u(kTS )
Hold
u(t)
System
y(t)
y(kTS )
Fördelar med samplad reglering: enkelt att implementera godtyckliga
funktioner (t.ex. tidsfördröjningar, olinjäriteter, logiska uttryck), billigare
hårdvara, bättre flexibilitet
Nackdelar: fler parametrar att välja, kan försämra regleringen
16 / 27
Eulers metod
Tustins formel
Tustins formel (bilinjär transformation)
Eulers metod
u̇(t) ≈
17 / 27
1
1
(u(t) − u(t − TS )) eller s =
(1 − z −1 )
TS
TS
s=
avbildar VHP på en del av det inre av enhetscirkeln:
s-plan
2(1 − z −1 )
TS (1 + z −1 )
avbildar VHP på hela det inre av enhetscirkeln:
s-plan
z-plan
z-plan
18 / 27
PID-implementering
19 / 27
Integratoruppvridning
En rättfram implementering av en PID-regulator:
TS
ek
Ti
Td
vk = Kek + Ik + K (ek − ek−1 )
TS


umax , om vk > umax
uk = vk ,
om umin ≤ vk ≤ umax


umin , om vk < umin
Ik = Ik−1 + K
Spara Ik och ek till nästa beräkning.
Denna version ger dock problem med integratoruppvridning och en
bruskänslig D-del.
Integratoruppvridning: Integraldelen har ökat till ett alldeles för stort
värde pga. att styrsignalen har varit mättad.
Intuitiv förklaring:
Mättning av u
⇒ |e| stort onormalt länge
⇒ |Ik | alldeles för stort då e blir noll
Resultat: Dålig reglerprestanda!
20 / 27
Exempel: Integratoruppvridning
21 / 27
Exempel. . .
Stegsvar (ett steg vid t = 5):
Samplad PID-reglering av systemet
10
10s + 1
1.2
1.2
1
1
0.8
u(t)
0.8
y(t)
G(s) =
1.4
med TS = 0.1.
0.6
0.6
0.4
0.4
Regulatorparametrar:
Begränsad styrsignal:
K = 1, Ti = 10, Td = 0.
|u(t)| ≤ 0.2
0.2
0.2
0
0
0
10
20
30
40
50
60
70
0
10
20
30
40
50
60
70
t
t
Styrsignal
Utsignal
Streckade kurvor är resultat utan styrsignalbegränsning.
22 / 27
Exempel. . .
23 / 27
Exempel: Villkorlig integration
Uppdatera bara I-delen när u inte är mättad.
0.35
0.3
1.4
0.25
1.2
0.2
1
0.15
0.8
0.2
0.18
0.16
I(t)
0.14
0.1
I(t)
y(t)
0.12
0.1
0.6
0.08
0.05
0.06
0.4
0.04
0
0
10
20
30
40
50
60
70
0.2
0.02
t
I-del
0
0
10
20
30
40
t
Utsignal
50
60
70
0
0
10
20
30
40
t
I-del
50
60
70
24 / 27
Exempel: Justering av I-del
25 / 27
Stötfria övergångar vid modbyten
Tt = Ti = 10 ⇒ TS /Tt = 0.01
1.4
• I många tillämpningar vill man ibland koppla ur regulatorn och köra
systemet manuellt.
0.2
0.18
1.2
• I manuell mod har operatören direkt kontroll över styrsignalen ⇒
Regulatorns tillstånd (t.ex. I-delen) uppdateras inte
0.16
1
0.14
0.12
I(t)
y(t)
0.8
0.1
Problem: Vid återgång till automatisk mod får man hopp i styrsignalen.
0.6
0.08
0.06
0.4
Lösning: Justera I-delen så att man tvingar regulatorn att generera samma
styrsignal som operatören.
0.04
0.2
0.02
0
0
10
20
30
40
50
60
70
0
0
10
t
20
30
40
50
60
70
t
Utsignal
I-del
26 / 27
Stötfria övergångar vid parameterbyten
27 / 27
Sammanfattning
Problem: Hopp i styrsignalen vid parameterbyten under drift.
PID-inställning:
Lösningar:
• IMC- och lambdatrimning
• Parametrisera regulatorn så att
• Ziegler-Nichols inställningsregler
• Specificering av punkt på nyquistkurvan
Pk = Kek
Ik = Ik−1 + K
TS
ek
Ti
Td
Dk = K (ek − ek−1 )
TS
vk = Pk + Ik + Dk
(Redan gjort!)
• Åström-Hägglunds inställningsregler
Implementering:
• Diskretisering mha Eulers metod eller Tustins formel
• Hantering av integratoruppvridning
• Stötfria övergångar
www.liu.se