1 / 16
Föreläsningar
Industriell reglerteknik:
Föreläsning 8
1
2
3
4
5
6
7
8•
9
10
11
12
Martin Enqvist
Reglerteknik
Institutionen för systemteknik
Linköpings universitet
Sekvensstyrning: Funktionsdiagram, Grafcet.
Grundläggande reglerteori i diskret tid.
Modellering. Design av regulatorer.
Framkoppling från referenssignal. PID-regulatorn.
PID-regulatorn. Implementering av regulatorer.
Regulatorer i drift. Olinjära regulatorer.
Regulatorstrukturer.
Regulatorstrukturer. MPC: Grundprincip, problemformulering.
MPC: Problemformulering, referensföljning, I-verkan.
MPC: Stabilitet.
Gästföreläsning.
MPC: Tolkningar. Sammanfattning.
2 / 16
3 / 16
Repetition: Regulatorstrukturer
Regulatorstrukturer (forts.)
• Framkoppling från störning (Idé: Kompensera för störningar redan innan
de har givit fel i utsignalen)
• Kaskadreglering (Idé: Utnyttja en extra mätsignal i en inre, snabb
reglerkrets)
• Kvotreglering (Idé: Håll kvoten mellan två processvariabler konstant
mha. reglering)
• Mitthållningsreglering (Idé: Fördela regleruppgifterna så att ett snabbt
och noggrant ställdon oftast ligger i mitten av sitt arbetsområde)
4 / 16
5 / 16
Mitthållningsreglering
r
+
ru
+
Σ
Σ
−
−
F1
u1
G1
Σ
F2
u2
Modellbaserad prediktionsreglering – MPC
y
G2
Kan användas när systemet har två olika insignaler och en utsignal.
(Typiskt: u1 snabb men med begränsad kapacitet, u2 långsam men med
större kapacitet)
6 / 16
MPC
7 / 16
Modell
Tillståndsmodell av ett system (antag TS = 1):
Modellbaserad prediktionsreglering (eng. model predictive control, MPC):
• En avancerad reglerstrategi som fått stort genomslag i industrin under
de senaste decennierna.
• Idé: Utnyttja prediktionskraften i processmodellen och optimera
styrsignalen online.
• Kan ta hänsyn till bivillkor i det reglerade systemet (t.ex. begränsade
styrsignaler, säkerhetsgränser).
• Hanterar enkelt flera in- och utsignaler.
• Intuitiv metod (⇒ enkel att förklara för operatörer).
• Dock: Beräkningskrävande (och en modell krävs).
x(k + 1) = F x(k) + Gu(k)
y(k) = Cx(k)
z(k) = M x(k)




u1 (k)
x1 (k)




u(k) =  ... 
x(k) =  ... 
um (k)

y1 (k)


y(k) =  ... 

yp (k)
Här: C = I oftast
xn (k)

z1 (k)


z(k) =  ... 

zpz (k)
8 / 16
Linjärkvadratisk reglering
Exempel: DC-motor
Linjärkvadratisk reglering (LQR): Bestäm den styrsignal som löser
minimeringsproblemet
min
u
∞
X
k=0
9 / 16
Betrakta en DC-motor (t.ex. i en liten robotarm).
Modell av motorn:
kz(k)k2Q1 + ku(k)k2Q2
z(t) =
2
u(t)
+p
5p2
där z(t) är motorns vinkelutslag och u(t) är spänningen över motorn.
där Q1 ≥ 0 (positivt semidefinit) och Q2 > 0 (positivt definit)
Antag att spänningen över motorn som mest kan vara 1 V (dvs. att |u| ≤ 1)
och att samplingstiden är TS = 0.1 s.
Notation: kxk2Q = xT Qx
Resulterar i en optimal tillståndsåterkoppling: u(k) = −Lx(k)
(MATLAB-lösning: L=dlqr(F,G,M’*Q1*M,Q2))
10 / 16
Exempel: DC-motor. . .
Exempel: DC-motor med LQR
T
Sampling (zoh) av en tillståndsmodell med x = z ż ger det tidsdiskreta
systemet:
1 0.09901
0.001987
x(k + 1) =
x(k) +
u(k)
0 0.9802
0.0396
z(k) = 1 0 x(k)
T
Antag x(0) = 2 0.3
LQR: Lös minimeringsproblemet
min
u
∞
X
k=0
där Q1 = 1 och Q2 = 0.001.
11 / 16
Den styrda signalen z(t) utan (blått) och med styrsignalmättning (rött):
2.5
2
1.5
1
0.5
0
kz(k)k2Q1
+
ku(k)k2Q2
−0.5
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12 / 16
Exempel: DC-motor med LQR. . .
13 / 16
Exempel: Slutsats
Styrsignal utan (blått) och med styrsignalmättning (rött):
Eftersom vi vet att |u(k)| ≤ 1 borde vi ha använt kriteriet
15
10
min
|u|≤1
5
∞
X
k=0
kz(k)k2Q1 + ku(k)k2Q2
för att bestämma u.
Svårt! (Oändligt många fria variabler, lösningen beror på x(0))
0
−5
Approximativ lösning: MPC (ändlig tidshorisont)
−10
−15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14 / 16
Exempel: DC-motor med MPC
15 / 16
Exempel: DC-motor med MPC. . .
Den styrda signalen z(t) med LQR utan styrsignalmättning (blått) och med
MPC (rött):
Styrsignal:
1
2.5
0.8
0.6
2
0.4
1.5
0.2
0
1
−0.2
−0.4
0.5
−0.6
0
−0.8
−1
−0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
16 / 16
Sammanfattning
Regulatorstrukturer
• (Framkoppling från störning, kaskadreglering, kvotreglering,
mitthållningsreglering)
• Split-range control
• Det finns ofta flera tänkbara regulatorstrukturer för ett givet problem
Modellbaserad prediktionsreglering (MPC):
• Avancerad reglerstrategi med stor industriell relevans
• Idé: Ta fram en optimal (ändlig) styrsignalsekvens genom att prediktera
systemets beteende. Använd första styrsignalelementet och gör om
optimeringen i nästa sampelintervall.
www.liu.se