1. No category

Mät- & reglerteknik 1:
Kompletterande material
Matias Waller
25 augusti 2015
Dessa anteckningar är avsedda för att komplettera kurslitteraturen och
undervisningen i reglerteknik. Anteckningarna är knappast tillräckliga för
en full förståelse, men kan fungera som ett stöd. Anteckningarna utvecklas fortlöpande, och alla kommentarer/förslag/synpunkter välkomnas med
tacksamhet!
1
Tabell 1: Vanliga termer och beteckningar.
Term
Förklaring
English
Beteckning
Ärvärde, processens
Den reglerade storhetens
Actual value,
y(t)
utsignal, reglerad
verkliga (aktuella) värde
process value,
variabel
controlled variable
Börvärde, ledvärde,
Önskat värde på den
Set point, desired
r(t)
referenssignal
storhet man vill reglera
value
Reglerfel,
Skillnad mellan börvärde
Control error
e(t) = r(t) − y(t)
regleravvikelse
och ärvärde
Styrsignal,
Storhet som används för
Control signal
u(t)
regulatorns utsignal, att påverka processen
styrd variabel
man vill reglera
Störning(ar)
Storhet som påverkar
Disturbance(s)
w(t)
processen (oönskat)
Regulator
Den enhet som (på basen Controller, regulator
av mätningar) beräknar
styrsignal
Signal
En storhet som kan
Signal
variera med tiden
(innehåller information)
System
Sambanden mellan två
System
eller flera signaler
Styrdon, ställdon
Don som används för att
Actuator
styra processen
Reglerteknik
(Automatic) Control engineering
Reglera
Control
Återkoppling, slutet system
Feedback, closed loop system
Framkoppling, öppet system
Feed forward (control), open loop system
PID-regulator
PID-Controller
Stabilitet
Enligt en vanlig definition Stability
sägs ett system vara stabilt om begränsade insignaler leder till begränsade
utsignaler
Fortfarighet, statio- Då signaler i systemet inte Steady state
närt tillstånd, jäm- ändrar, systemet befinner
vikt
sig i vila
Stegsvar
Utsignalens förlopp efter Step response
att insignalen ändrar som
ett steg
Dödtid,
fördröj- Tiden det tar efter en för- (Transport) delay, dead time
ningstid
ändring i insignalen innan
något märks i utsignalen
Tidskonstant
Mått på systemets trög- Time constant
het, den tid det tar (efter
dödtiden) innan stegsvaret
nått 63 % av slutvärdet
Stigtid
Rise time
Insvängningstid
Settling time
Översväng
Overshoot
Stabilitetsmarginal
Stability margin
1
Dynamik och stegsvar
För en kvalitativ förståelse av dynamiken för ett system kan det vara ändamålsenligt att studera systemets stegsvar, dvs utsignalens förlopp då insignlen ändrar som ett steg. I Fig. 1 illustreras några typiska stegsvar.
Figur 1: Olika typiska stegsvar.
2
PID-regulatorer
PID-regulatorer (uttalas PE-I-DE -regulatorer) beskrivs och implementeras
i olika former. I dessa anteckningar beskrivs några vanliga former för både
kontinuerlig och diskret tid.
PID i parallell form:
Z
de(t)
1
u(t) = Kc e(t) +
e(t)dt + Td
Ti
dt
3
(1)
där Kc är regulatorns förstärkning, Ti integraltiden och Td derivatatiden. På
engelska kallas denna för ISA-standard form.
I praktiken sker derivering ofta på negativa ärvärdet (varför?):
Z
1
dy(t)
u(t) = K e(t) +
(2)
e(t)dt − Td
Ti
dt
Istället för integraltid och derivatatid stöter man också på integralförstärkning I, och derivataförstärkning D enligt:
Z
de(t)
u(t) = Kc e(t) + I e(t)dt + D
(3)
dt
c
Sambanden I = K
Ti och D = Kc Td gäller. På engelska kallas denna för PID
controller with independent variables.
Ofta stöter man också på PID-regulatorn i Laplace-form. I Laplace form
ges PID regulatorn av
1
u(t) = Kc 1 +
+ Td s E(s)
(4)
Ti s
eller
I
+ Ds)E(s)
(5)
s
I praktiken är en ren derivata sällan önskvärd (eller ens realiserbar) och man
använder då ett filter på derivataingången, t.ex.,
1
Td s
u(t) = Kc 1 +
+
E(s)
(6)
Ti s Td /N s + 1
U (s) = (Kc +
där ett större N resulterar i mindre filter. N = 5 är ett vanligt standardval.
Enligt tidigare, är det även vanligt att derivera ärvärdet istället för reglerfelet.
I böcker är PID i parallell form den vanligare, medan många tillverkare
implementerar serieformen:
de(t)
e1 (t) = e(t) + Td0
dt Z
(7)
1
0
u(t) = Kc e1 (t) + 0 e1 (t)dt
Ti
Man kan notera att PI-regulatorn är samma för parallell och serieformen men
skiljer sig åt för PID-reglering. Med derivering av negativa ärvärdet istället:
dy(t)
e1 (t) = e(t) − Td0
dt Z
(8)
1
0
u(t) = Kc e1 (t) + 0 e1 (t)dt
Ti
4
3
Tumregelmetoder för att ställa in PI/PIDregulatorer
1. “Manuell inställning”: Kallas stabilitetsmarginalmetoden i Hägglund
(1990):
(a) Lägg regulatorn i automatisk reglering med I- och D-delarna bortkopplade
(b) Vrid upp förstärkningen K till regleringen blir orolig. Vrid därefter
ner förstärkningen till hälften.
(c) Om integralverkan önskas—vrid ner integraltiden Ti tills regleringen blir orolig. Vrid därefter upp integraltiden till det dubbla
värdet.
(d) Om derivataverkan önskas—vrid upp derivatatiden Td tills regleringen blir orolig. Vrid därefter ner derivatatiden till hälften.
2. Ziegler-Nichols svängningsmetod: En välkänd metod som kritiseras för
att vara för aggressiv. Metoden går ut på följande:
(a) Lägg regulatorn i automatisk reglering med I- och D-delarna bortkopplade
(b) Vrid upp förstärkningen K i P-regulatorn tills systemet nätt och
jämnt börjar självsvänga. Notera värdet på förstärkningen som
ger självsvängning, Kmax , och periodtiden för svängningarna, T0 .
(c) Ställ in parametrarna i PID-regulatorn enligt Tabell 2.
Tabell 2: Ziegler-Nichols tumregler för inställning av PI/PID-regulatorer enligt frekvensmetoden. Kmax är den förstärkning i P-regulatorn som ger stående svängningar, T0 är perioden för de stående svängningarna.
Regulator
P
PI
PIDparallell
PIDserie
K
0.5Kmax
0.45Kmax
0.6Kmax
0.3Kmax
Ti
Td
0.85T0
0.5T0
0.25T0
0.125T0
0.25T0
3. Ziegler-Nichols stegsvarsexperiment. I Fig. 2 illustreras ett stegsvar
(den blåa linjen) och stegsvarets tangent (röda linjen) i den punkt
5
Figur 2: Blåa linjen: Ett stegsvar, dvs utsignalen y(t) då insignalen u(t)
ändrat som ett steg vid t = 0. Röda linjen: Tangenten till den brantaste
lutningen på stegsvaret.
där stegsvaret har sin största lutning. Från tangenten kan man skatta
en “skenbar dödtid” för systemet (L) och stegsvarets maximala lutning (a/L). På basen av detta kan man ställa in parametrarna i PIDregulatorn enligt Tabell 3.
Tabell 3: Ziegler-Nichols tumregler för inställning av PI/PID-regulatorer enligt stegsvarsmetoden. L och a enligt Fig. 2.
Regulator
P
PI
PIDparallell
K
1/a
0.9/a
1.2/a
6
Ti
Td
3L
2L
0.5L
4. λ-metoden
I Forsman (2005) behandlas inställning av PID-regulatorer på basen
av stegsvar mera ingående. Rutinera kring experimenten och analys
av stegsvar beskrivs också mera ingående och endast en kort översikt
ges i dessa anteckningar. Forsman (2005) tar även avstånd speciellt
från Ziegler-Nichols svängningsmetod som bedöms som olämplig för
processindustrin och onödigt aggressiv.
Ett stegsvar för en s.k. KLT -process, dvs en process vars stegsvar
“planar” ut och kan beskrivas med de tre parametrarna K (processförstärkning), L (dödtid) och T (tidskonstant), ges i Fig. 3.
Figur 3: Mätningar på ett stegsvar på Armfields PCT23MkII.
De tre parametrarna kan skattas från stegsvaret enligt följande:
Processförstärkningen:
K=
100 ml/min
∆y
≈
= 5 ml/(min%)
∆u
20 %
7
De flesta reglersystem skalar dock om mätvärdet före beräkning av
styrsignal och man bör då också skala om processförstärkningen (det
är då nödvändigt att känna till hela mätområdet). För denna process
gäller ymax = 500 ml/min och ymin = 0 ml/min och då fås processförstärkningen i skalade enheter:
K=
100∆y/(ymax − ymin )
100 · 100 ml/min/(500 ml/min)
≈
=1
100∆u/(umax − umin )
100 · 20 %/(100 %)
En väldesignad process har ofta en (skalad) processförstärkning som
är ≈ 1.
Dödtiden L, den tid det det tar efter steget i u innan y börjar svara
på ändringen. För denna process gäller ungefär att L ≈ 1 s.
Tidskonstanten T är den tid det tar för y att genomföra 63 % av sin
totala ändring, efter att y börjat ändra. För processen gäller ungefär
att T ≈ 1 s. Det kan noteras att T vanligen är svårast att skatta, och
olika altenativa metoder kan användas för att få “gränser” för värdet på
T . T.ex. kan man utnyttja att totala förändringen (efter att dödtiden
förlupit) skett efter ca 4T . L och T kan också skattas med tangentmetoden som presenteras i samband med Chien, Hrones och Reswicks
stegsvarsmetod i Thomas (2008).
Givet skattningar på K, T och L kan en PI-regulator ställas in så att
regulatorns förstärkning ges av
Kc =
T
K(L + λ)
(9)
och integraltiden
Ti = T
(10)
Om processen saknar dödtid är λ den tidskonstant man vill ge det slutna systemet, dvs tidskonstanten för ärvärdet vid ett steg på börvärdet.
Med dödtid i processen brukar man definiera λ = κT där κ < 1 ger aggressiv reglering och κ > 1 defensiv. I processindustrin rekommenderas
κ = 1.5 som default-värde.
För integrerande processer och stegsvarmetoden hänvisas till (Forsman,
2005).
En KLT -process kallas ibland också för en FOPTD-process som kommer från First Order Plus Time Delay.
8
5. Det finns även andra alternativ för inställning av PI-regulatorer på basen av stegsvar/stående svängingar. De svenska reglerteknikerna KarlJohan Åström och Tore Hägglund från Lund har arbetat mycket och
länge inom detta område och för fram de alternativ som ges i Tabell 4
(Åström and Hägglund, 2005) för en PI-regulator i formen
Z
u(t) = Kc e(t) + I e(t)dt
(11)
Notera att man även behöver systemets statiska förstärkning K för
denna metod baserad på stående svängingar.
Tabell 4: Ytterligare alternativ för att ställa in PI-regulatorer enligt stegsvarsmetoden/stående svängningar.
Metod
Steg
Frekvens
3.1
Kc
(0.15L + 0.35T )/(KL)
0.22Kmax − 0.07/K
I
(0.46L + 0.02T )/(KL2 )
(0.16Kmax )/T0 + 0.62/(KT0 )
Autotuning
Autotuning utnyttjar idén om de enkla tumreglerna för att på basen av enkla
experiment erhålla den information (löst uttryckt förstärkning och dynamik)
som behövs för att automatiskt ställa in en regulator.
Principen för en vanlig typ av autotuning, relämetoden, illustreras i
Fig. 4, från Hägglund (2008). Denna går ut på att när autotuningen startar
kopplas PID-regulatorn tillfälligt bort och ersätts med “tvålägesreglering”:
Styrsignalen hoppar mellan två nivåer. Reglerfelet (skillnaden mellan börvärde och ärvärde) avgör vilken nivå styrsignalen skall ha. Ärvärdet kommer
då att svänga runt börvärdet. Frekvensen på svängningen är ungefär samma
frekvens som man får med Ziegler-Nichols svängningsmetod och förhållandet
mellan ärvärdets amplitud och styrsignalens är ungefär samma som processens amplitudförhållande vid denna frekvens. När man använder autotuning
är det ofta viktigt att justera amplituden på styrsignalen (mellan vilka nivåer
skall styrsignalen hoppa) så att experimentet ger användbar information.
9
Figur 4: Principen för autotuning, förklaras i större detalj under föreläsningar.
10
4
Reglerkvalitet
Kan man svara på frågan om vad som är bra reglering? När man utvärderar och jämför olika regleringar är åtminstone följande punkter viktiga att
beakta:
• Snabbhet, speciellt vid börvärdesförändringar
• Stabilitet
• Styrsignalaktivitet
• Kompensera för störningar
• Statiska egenskaper, hur bra elimineras bestående fel vid olika sorters
börvärdesförändringar och störningar?
• Robusthet, hur bra fungerar regleringen om något i systemet förändras?
Hur man kan sätta siffror på vissa av dessa punkter diskuteras närmare under föreläsningarna. Börvärdesförändringen som illustrerar i Fig. 5 fungerar
som en grund för den diskussionen. I en simulering är det enkelt att jäm-
Figur 5: Vad är bra reglering?.
föra olika regulatorinställningar med exakta numeriska värden och då kan
11
det vara ändamålsenligt att sätta olika siffror på reglerkvaliteten. En siffra
för hur bra ärvärdet följer börvärdet är integralen av kvadraten på reglerfelet över simuleringstiden. En siffra för styrsignalaktiviteten är integralen
på kvadraten av derivatan av styrsignalen. Mera om detta i övningar.
Det är även vanligt att på olika sätt manipulera börvärdet, t.ex., genom
filter på börvärdet eller att införa rampfomrade börvärdesförändringar, för
att på det sättet få en reglering som bättre uppfyller de kriterier man har
på ovanstående punkter.
5
Parameterstyrning
Ibland kan även parameterstyrning utnyttjas för att få bättre reglering genom att ha olika inställningar på regulatorn beroende på värdet på en parameter. Orsaken till att utnyttja en sådan möjlighet kan typiskt vara att olika
belastningar/börvärden ändrar processens beteende, vilket är ett typiskt fenomen för olinjära processer. Den parameter som kan utnyttjas för att välja
regulatorinställning är oftast ärvärdet, börvärdet eller styrsignalen. Parameterstyrning i kombination med autotuning illustreras i Fig. 6, från användarbeskrivningen till ECA40, en PID-regulator från Alfa Laval Automation.
Man kan notera att styrsignalen benämns utsignal i användarbeskrivningen
för ECA40—detta är vanligt i manualer för regulatorer.
6
Reglerkopplingar
Reglerkopplingar eller reglerstrategier är ett gemensamt namn för några strategier som används för att få mera ändamålsenlig reglering vid speciella men
rätt allmänna reglertekniska utmaningar. Man kan också se dessa kopplingar som sätt att tackla PID-regulatorns begränsningar gällande att börvärdet
och ärvärdet är de enda insignalerna och styrsignal är den enda utsignalen.
Här sammafattas några av dessa kopplingar.
6.1
Övertagande reglering
Vid övertagande reglering finns det två reglersystem där det ena, det övertagande reglersystemet, tar över under “icke-normala” förhållanden. Till exempel kan ett reglersystem ha som primär uppgift att hålla ett konstant flöde
med tanke på processerna nedströms i produktionen trots att tillgången varierar. Man kan då utnyttja en bufferttank för att möjliggöra ett konstant
flöde efter tanken. För att förhindra att tanken rinner över (eller rinner tom)
12
Figur 6: Exempel på hur parameterstyrning kan användas.
13
kan man ha ett övertagande reglersystem som ökar flödet om nivån blir för
hög (eller stryper flödet om nivån blir för låg). Övertagande reglering kan
ofta implementeras med sk väljare. Ett exempel på hur väljare kan utnyttjas
i andra sammanhang illustreras i samband med kvotreglering.
6.2
Kaskadreglering
Kaskadreglering illustreras bra i Thomas (2008), och visas i Fig. 7.
När man ställer in de två regulatorerna, den primära (yttre) regulatorn
kallas Regulator 1 och den sekundära (inre) regulatorn kallas Regulator 2 i
Fig. 7, är det av avgörande betydelse att göra detta i rätt ordning:
1. Lägg den yttre regulatorn (primärregulatorn) i manuell reglering,
2. Ställ in den inre regulatorn (sekundärregulatorn),
3. Lägg den inre regulatorn i automatisk reglering,
4. Ställ därefter in den yttre regulatorn.
Ofta är det tillräckligt att den inre regulatorn är av enklare typ, t.ex.,
kan en P-regulator utnyttjas som inre regulator, och man kan låta den yttre
regulatorn eliminera eventuella bestående fel.
Om man vill ha en mjuk inkoppling av en kaskadreglering då denna tas
i drift, dvs utgående från att bägge regulatorerna är inställda men i manuell
reglering, kan man använda följande metodik:
1. Sätt börvärdet för den inre regulatorn lika med dess ärvärde,
2. Lägg den inre regulatorn i automatisk reglering med internt börvärde
valt,
3. Justera styrsignalen (manuellt) från den yttre regulatorn så att denna
sammanfaller med börvärdet för den inre regulatorn,
4. Byt från internt till externt börvärde för den inre regulatorn,
5. Sätt börvärdet för den yttre regulatorn lika med dess ärvärde,
6. Lägg den yttre regulatorn i automatisk reglering
7. Justera det yttre börvärdet till önskad nivå.
14
Figur 7: Exempel på kaskadreglering.
15
6.3
Kvotreglering
Kvotreglering används ofta när man vill reglera två storheter (ärvärden) så
att dessa följer ett givet förhållande. Man har då bara ett externt börvärde
och en önskad kvot samt två styrsignaler. Principen illustreras i Fig. 8 och
är från Hägglund (2008).
Figur 8: Exempel på kvotreglering. FT avser flödesgivare och FIC avser
flödesregulator.
Figuren innehåller dessutom två väljare. Vilken funktion har dessa
väljare i detta sammanhang?
6.4
Framkoppling
Framkoppling innebär att man mäter en störning och använder denna information för att bestämma sin styrsignal. Ett vanligt exempel på denna
reglerstrategi är att försöka styra rumstemperaturen y med hjälp av en formel eller tabell som anger vilken effekt som ska tillföras värmeelementet, u,
i förhållande till aktuell utomhustemperatur, w, och önskad inomhustempe-
16
ratur, r. I det enklaste fallet är detta statiskt:
u = ar − bw
där a och b är parametrar som bör beskriva “rummets egenskaper”. Vanligare
är dock att framkoppling använder ett filter för att bestämma hur störningen
överförs till styrsignalen.
Framkoppling kan fungera bra förutsatt att modellen för hur störningen
påverkar systemet är god och förhållandena inte varierar särskilt mycket.
Om förhållandena ändras, t.ex., en annan störning inträffar som att många
fler personer är i rummet, kommer tillskottet från deras kroppsvärme att
höja temperaturen. Eftersom styrsystemet inte vet vad innetemperaturen är
kan det inte kompensera för detta. Framkoppling är känslig både för fel i
modellen och för störningar som inte mäts eller är okända. För att komma
tillrätta med detta kombinerar de flesta moderna styrsystem framkoppling
med någon form av återkoppling.
7
Introduktion till frekvensanalys
För att förstå mera om vad Ziegler-Nichols svängningsmetod baseras på och
hur det relateras till stabiliteten för reglersystemet är en kort introduktion
till frekvensanalys motiverad.
Med frekvenssvar avser man ärvärdets (utsignalens) förlopp som funktion
av tiden då styrsignalen (insignalen) är sinusformad. Ett sådant exempel ges
i Figur 9.
Med beteckningar från Fig. 9: Amplitudförhållandet (som funktion av
frekvensen) A(ω) ges av förhållandet mellan utsignalens amplitud B(ω) och
insignalens amplitud D(ω):
A(ω) =
B(ω)
D(ω)
Amplitudförhållandet anges ofta i dB:
A(ω)dB = 20 log10 (A(ω))
Om utsignalens amplitud är 10 gånger så stor som insignalens amplitud
motsvarar det en förstärkning på 20 dB. Om utsignalens amplitud är samma
som insignalens motsvarar detta en “förstärkning” på 0 dB. En dämpning på
10, dvs att utsignalens amplitud är en tiondel av insignalens motsvaras då
av en “förstärkning” på -20 dB. En bra “tumregel” för dB-skalan är att en
17
Figur 9: Frekvenssvar: utsignalens förlopp då insignalen är sinusformad.
fördubbling (halvering) motsvaras av 6 dB (-6 dB) och att multiplikation i
absolut förstärkning motsvaras av addition (räkneregler för logaritmer) i dB:
en absolut förstärkning på 8 motsvaras då av en förstärkning 18 dB.
Fasförskjutningen anges vanligtvis i grader och ges (med beteckningar
från Fig. 9) av:
tut − tin
φ=−
360◦
T
där T har använts för perioden och minustecknet kommer av att man säger
att fasförkjutningen är negativ om utsignalen är efter insignalen.
Givet en överföringsfunktion G(s) som i Laplace-form beskriver sambandet mellan in- och utsignal ges amplitudförhållandet av
A(ω) = |G(jω)|
och fasförskjutningen av
φ = ∠G(jω)
18
Ett Bode diagram är en tvådelad figur som illustrerar amplitudförhållandet (övre delen) och fasförskjutningen (nedre delen) som funktion av frekvensen. Ett exempel på ett Bode diagram med flera, inom reglertekniken,
vanliga termer ges i Fig. 10, från (Hägglund, 1990). Oftast är amplitud-
Figur 10: Bode diagram med nyttiga termer, från Hägglund (1990).
och frekvensskalan logaritmisk medan fasförkjutningen är linjär (i Fig. 10
används dock linjär skala även för amplitudförhållandet).
19
7.1
Stabilitet för reglersystem med Bode diagram
Hur kan man avgöra om ett reglersystem är stabilt? Från tidigare exempel
noteras att återkopplingen bör vara negativ för att systemet skall vara stabilt.
Detta betyder att då man multiplicerar alla förstärkningar i alla element i den
återkopplade slingan med varandra bör produkten bli negativ. Som tidigare
exempel visat är det dock inte tillräckligt att återkopplingen är negativ:
Mera allmänt kan man resonera kring stabilitet genom att undersöka vad
som händer med en sinussignal (med en viss frekvens) då den rör sig genom
den återkopplade slingan. Om signalen för varje varv den går genom slingan
dämpas (dvs totala förstärkningen är mindre än 1) så kommer signalen att
så småningom försvinna. Men om den för varje varv får en större amplitud
blir svängningarna allt större och systemet är instabilt. Den frekvens som
är “kritisk” i detta fall är när signalen kommer i fas med sig själv, dvs den
frekvens när den totala fasförskjutningen är −360◦ . I ett Bode-diagram för
ett återkopplat system är den “kritiska frekvensen” den frekvens då totala
fasförsjutningen är −180◦ . Orsaken att det är −180◦ och inte −360◦ är att
man inte tar med fasförskjutningen pga den negativa återkopplingen (som
spegelvänder signalen, dvs fasförskjuter signalen med −180◦ ).
Stabilitetskriteriet enligt ovan brukar också kallas för Bodes stabilitetkriterium: Ett återkopplat system är stabilt om totala förstärkningen i den
återkopplade slingan är mellan 0 och −1 vid den kritiska frekvensen, dvs
den frekvens då den sammalagda fasförskjutningen i de element som ingår i
kretsen exklusive teckenvändaren är −180◦ .
När man designar reglersystem, eller väljer regulatorer, är stabiliteten
givetvis av central betydelse och man vill ha en stabilitetsmarginal. I ett
Bode-diagram vill man då ofta ha en amplitudmarginal som är ungefär 2.5
till 4, och en fasmarginal som är ungefär 45 till 60 grader. Många böcker
ägnar mycket utrymme för att beskriva olika sätt att rita Bode-diagram för
hand, som typiskt bygger på förenklingar och olika asymptoter (räta linjer
hit och dit). Från denna kurs är dock det viktiga att man är bekant med
frekvensanalys, i kursen Mät- och reglerteknik 2 ägnas mera tid för en bättre
förståelse av informationen i Bode-diagram.
8
Introduktion till digital reglering
I moderna reglersystem implementeras regulatorer nästan alltid digitalt. Detta innebär att regulatorn arbetar i diskret tid medan processen man reglerar
nästan alltid kan beskrivas i kontinuerlig tid. Detta illustreras med hjälp av
digitala PID-regulatorer.
20
8.1
Digitala PID regulatorer
Givet en samplingsperiod Ts (Ts = 1/fs där fs är samplingsfrekvensen) kan
en kontinuerlig modell diskretiseras på olika sätt. En enkel möjlighet för en
PID-regulator är att approximera integralen med en summa,
Z t=kTs
k
X
e(t)dt ≈ Ts
e(i)
0
i=1
där i och k avser samplingsögonblick och är heltal (index i en minnesvektor
i ett program). I praktiken kan man inte implementera denna summa då det
skulle kräva att ett växande antal värden av e(i) lagras och summeras för
varje sampling. Man inför därför en hjälpvariabel
w(k − 1) =
k−1
X
e(i)
i=1
vilket betyder att man istället kan beräkna summan med:
k
X
e(i) = w(k) = e(k) + w(k − 1)
i=1
På motsvarande sätt som för integralen kan derivatan (vid tiden t = kTs )
approximeras med en differens
de
e(k) − e(k − 1)
≈
dt
Ts
Denna diskreta PID-regulator kan därmed skrivas
w(k) = w(k − 1) + e(k)
Ts
TD
u(k) = K e(k) + w(k) +
(e(k) − e(k − 1))
TI
Ts
(12)
Denna form kallas ibland positionsformen. I positionsformen kan w(k) växa
över användbara gränser då styrsignalen i praktiken har ett maximalt värde och då måste även w(k) räknas ner. Detta problem kallas för (integral)
windup, och kan åtgärdas på olika sätt (logik i koden, nollställning av w(k),
etc.). En alternativ form för den tidsdiskreta PID-regulatorn är hastighetsformen som ges av
TD
Ts
+
e(k)
u(k) = u(k − 1) + K
1+
TI
Ts
2TD
TD
− 1+
e(k − 1) +
e(k − 2)
(13)
Ts
Ts
21
För den formen får man inte problem med windup då u(k) i praktiken är
begränsad.
8.2
Mera om digital reglering
Som förra avsnittet illustrerade kan digitala PID-regulatorer bestämmas genom att diskretisera analoga regulatorer. Rent generellt kan man skilja mellan två olika strategier för att tackla utmaningen med att regulatorn arbetar
i diskret tid medan processen är kontinuerlig.
1. Diskretisera en kontinuerlig regulator
Man designar regulatorn med kontinuerliga metoder, dvs som om regulatorn skulle implementeras kontinuerligt. När regulatorn sedan implementeras diskretiserar man regulatorn, dvs “översätter” från kontinuerlig till diskret tid. Detta innebär en approximation som i regel
försämrar reglerprestandan något. Med höga samplingsfrekvenser är
detta dock sällan ett problem. Exemplet med PID-regulatorn från förra avsnittet illustrerar denna princip.
2. Utnyttja en tidsdiskret modell av processen
Man designar regulatorn direkt i diskret tid utgående från en beskrivning av processen som är i diskret tid. Då sker all design i tidsdiskret
tid. Detta har fördelen att effekten av sampling (tidsdiskretisering)
direkt beaktas och vidare öppnas nya möjligheter för design av reglersystem.
En tidsdiskret modell av processen kan bestämmas antingen genom att
(försöka) diskretisera en kontinuerlig modell eller genom anpassning av
en modell utgående från samplade mätningar.
En kontinuerlig modell för processen bestäms oftast utgående från principerna för fysikalisk modellering som har behandlats i detalj i samband
med kursen teknisk modellering. När en modell för processen bestäms
genom anpassning till mätningar kallas modellbygget för identifiering.
8.2.1
Identifiering
Arbetar man med samplade mätningar sker identifiering genom att en tidsdiskret modell anpassas till observationerna. Som exempel på denna arbetsmetodik kan följande experiment studeras: I Fig. 11 illustreras styrsignal och
ärvärde för ett experiment:
22
Figur 11: Ett identifieringsexperiment.
På basen av dessa mätningar kan man med minsta-kvadrat metoden (och
liknande metoder) bestämma en modell för processen som i detta fall blir:
y(k + 1) = 0.39y(k) + 0.073y(k − 1) + 2.2u(k) + 0.37u(k − 1)
där y är ärvärdet (med medelvärdet subtraherat) och u är styrsignal (med
medelvärdet subtraherat). Detta är således en tidsdiskret modell för processen.
Lite mer om identifiering beskrivs i (Thomas, 2008) och för “alla” detaljer
om identifiering hänvisas till (Ljung, 1999), den mest kända och spridda
boken om identifiering inom reglerteknik.
8.2.2
Enkelt digitalt lågpassfilter
Ett mycket användbart och enkelt digitalt lågpassfilter ges av
y(k) = αy(k − 1) + (1 − α)x(k)
(14)
med 0 ≤ α ≤ 1 och där x är den signal man vill filtrera och y är den filtrerade
signalen. För α = 0 fås ingen filtrering och för α nära ett fås mycket filtrering.
23
Referenser
Åström, K. J. and T. Hägglund (2005). Advanced PID Control. ISA - The
Instrumentation, Systems, and Automation Society. Research Triangle
Park, NC 27709.
Forsman, K. (2005). Reglerteknik för processindustrin. Studentlitteratur.
Lund.
Hägglund, T. (1990). Praktisk processreglering. Studentlitteratur. Lund.
Hägglund, T. (2008). Praktisk processreglering. Studentlitteratur. Lund.
Ljung, L. (1999). System Identification—Theory for the User. 2 ed.. Prentice
Hall. New Jersey.
Thomas, B. (2008). Modern Reglerteknik. Liber. Ljubljana.
24