‫תרגיל ‪ :11‬שכבת גבול‬
‫שכבת גבול קרוב למשטח היא האזור שבו כוחות הצמיגות עדיין חשובים‪ ,‬בניגוד לזרימה‬
‫רחוק מהמשטח שהיא בד"כ פוטנציאלית‪ .‬שכבת הגבול למעשה מתווכת בין הפתרון‬
‫הפוטנציאלי בזורם ובין תנאי אי ההחלקה על המשטח‪.‬‬
‫היות שהשכבה היא דקה‪ ,‬ראיתם בכיתה את קירוב ‪ Prandtl‬למשוואות נאוויה‪-‬סטוקס‪,‬‬
‫במסגרתו הלחץ תלוי רק בקואורדינאטה לאורך המשטח (כלומר זהה בתוך השכבת גבול‬
‫ומחוץ לה) ואז ניתן להשתמש בברנולי (שנכון בזרימה פוטנציאלית באופן גלובלי) ולקבל‬
‫משוואה עבור המהירות‪:‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫( הם שני רכיבי מהירות הזורם ו‪ ( ) -‬היא המהירות המקבילה למשטח רחוק‬
‫כאשר )‬
‫ממנו‪ .‬כלומר תנאי השפה הם‪:‬‬
‫) (‬
‫→)‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫גם עבור קבוע‪ ,‬לבעיה אין מתמטית פתרון יחיד‪ .‬אבל ניתן להשתמש בשיקולי ממדים –‬
‫היות שלבעיה אין ממד אורך אופייני‪ ,‬אז לפתרון חייבת להיות תכונה של דמיות עצמית ( ‪self‬‬
‫‪ ,)similarity‬כלומר הוא צריך להיות דומה לעצמו בסקלות שונות‪ .‬מה שזה אומר בסופו של‬
‫דבר הוא שבמקום שהמהירות תהיה תלויה בשתי הקואורדינאטות באופן כללי‪ ,‬היא תהיה‬
‫תלויה רק בקומבינציה שלהן‪ .‬זה מפשט את המד"ח הלא ליניארית שלעיל למד"ר‪ ,‬שיכולה‬
‫להיפתר לפחות בצורה נומרית‪.‬‬
‫בכיתה מצאתם פתרון כזה למצב שהמהירות קבועה רחוק – הפתרון של בלזיוס‪ .‬עכשיו‬
‫נכליל את הטיפול למצב שבו המהירות תלויה ב‪ , -‬פתרונות פאלקנר‪-‬סקאן‪ ,‬ואז נמצא פתרון‬
‫למקרה הספציפי שבו המהירות קבועה אך לא מקבילה למשטח‪.‬‬
‫בהשראת בלזיוס‪ ,‬נחפש פתרון שנראה כך‪:‬‬
‫) ( ) (‬
‫)‬
‫(‬
‫כאשר מתקרבת ל‪ -‬באינסוף ול‪ -‬ב‪( . -‬שימו לב שלקחנו נגזרת של ‪ ,‬ולא ‪ .‬זה‬
‫יחסוך אינטגרל בתוצאה הסופית)‪.‬‬
‫כאשר משתנה הדמיות שלנו יוגדר באופן כללי‪:‬‬
‫) (‬
‫בעקרון עכשיו צריך להציב את הפתרון הזה במשוואה של פרנטל ובמשוואת הרציפות‪ .‬זה‬
‫מה שעשיתם בכיתה עם בלזיוס‪ .‬דרך אחרת לקיים את שתי המשוואות ביחד היא להשתמש‬
‫(וקיימת לכל זרימה לא דחיסה‬
‫ו‪-‬‬
‫בפונקצית הזרם‪ ,‬המקיימת כזכור‬
‫בדו מימד‪ ,‬לא רק פוטנציאלית!)‪ .‬אז משוואת הרציפות מתקיימת מיידית ומשוואת התנע‬
‫הופכת להיות מד"ח בפונקציה אחת לא ידועה‪ ,‬אם כי מסדר יותר גבוה‪:‬‬
‫במקרה שלנו פונקצית הזרם תהה‪:‬‬
‫) ( ) ( ∫‬
‫) ( ) ( ) (‬
‫)‬
‫(‬
‫(וכבר ברור למה התחלנו עם נגזרת)‪.‬‬
‫נחשב את הנגזרות הדרושות (תוך שימוש בהגדרת )‪:‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫) ( ) ( ) (‬
‫) ( ) ( ) (‬
‫) ( ) ( ) (‬
‫נציב במשוואה‪:‬‬
‫)‬
‫⏞‬
‫) ) (‬
‫(]‬
‫(‬
‫⏞‬
‫)‬
‫(‬
‫) (‬
‫)‬
‫[‬
‫) (‬
‫(‬
‫])‬
‫( [‬
‫מה קרה פה? שפיתחתם את משוואת בלזיוס‪ ,‬אחרי ההצבה קיבלתם משוואה שתלויה רק במשתנה‬
‫הדמיות‪ ,‬מה שאישר שהבעיה אכן דומה לעצמה ונפתרת על ידי משתנה דמיות אחד‪ .‬במקרה הזה יש‬
‫לנו עדיין גם תלות במשתנה הדמיות החדש וגם במשתנה הישן בכל הביטויים בסוגריים המרובעים‪.‬‬
‫אך היות שעדיין אין סקלת אורך בבעיה אנחנו עדיין מצפים למצוא משתנה דמיות‪.‬‬
‫בדרך להבטיח זאת היא לדאוג שהביטויים בסוגריים המרובעים יהיו קבועים‪ ,‬ואז ל‪ ( )-‬תהיה‬
‫משוואה דיפרנציאלית רגילה שיש לפתור‪ ,‬אולי נומרית‪ ,‬כמו שהיה המצב אצל בלזיוס‪.‬‬
‫על כן‪ ,‬על מנת לאפשר פתרון דמיות יש לקיים את המשוואות‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫כאשר אפשר להחליף את אחת המשוואות הללו ב‪-‬‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫)‬
‫ואז אכן המשוואה שתוותר תהיה מד"ר ב‪: -‬‬
‫) ) (‬
‫עם תנאי השפה המוכרים –‬
‫תיפתר נומרית‪.‬‬
‫) (‬
‫(‬
‫) ( ‪ .‬מד"ר לא ליניארית זאת בד"כ‬
‫) (‬
‫נשים לב ‪ -‬בעוד שיש לנו חופש בבחירת ) ( ‪ ,‬הרי ) ( נתון לשכבת הגבול כתנאי מתוך הפתרון‬
‫הפוטנציאלי רחוק מהשפה‪ .‬כלומר הבחירה של שני הקבועים צריכה להתאים לגיאומטריה של הבעיה‬
‫כך שהזרימה הנכונה רחוק מהפוטנציאל תתקבל מהמשוואות שרשמנו‪.‬‬
‫בהתחלה זה בעיקר ניסוי וטעייה של בחירת הקבועים‪ ,‬פתרון המשוואות ובחינת ) ( ‪.‬‬
‫נראה זאת בתחילה עבור פתרון בלזיוס שכבר ראיתם‪ .‬היות ש‪-‬‬
‫‪ .‬המשוואה האלטרנטיבית שרשמנו נקבל‪:‬‬
‫השנייה ש‪-‬‬
‫) (‬
‫√‬
‫‪.‬‬
‫את משתנה הדמיות המוכר לנו נקבל אם נבחר את‬
‫ואז מה שנותר הוא לרשום את המשוואה ל‪: ( )-‬‬
‫עם תנאי השפה המוכרים‪ ,‬וזוהי בדיוק משוואת בלזיוס‪.‬‬
‫עכשיו ננסה לקבל פתרונות יותר מעניינים (עם‬
‫נתחיל עם‬
‫‪ .‬אז המשוואות יהיו‪:‬‬
‫)‪.‬‬
‫קבוע‪ ,‬מקבלים מייד מהמשוואה‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫נעשה אינטגרציה למשוואה הראשונה‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫ונחלק את השנייה בתוצאה זאת‪:‬‬
‫עכשיו נוכל לבצע עוד אינטגרציה ולקבל את המהירות רחוק מהמשטח‪:‬‬
‫) (‬
‫כלומר המהירות תלויה ב‪ -‬בחזקה מסוימת‪ .‬עכשיו אפשר לנסות לזהות לאיזה גיאומטריה הזרימה‬
‫הזאת מתאימה כזרימה פוטנציאלית‪ .‬אם אתם זוכרים מהעיסוק שלנו בפוטנציאל המרוכב‪ ,‬הרי הייתה‬
‫לנו בדיוק זרימה שהפוטנציאל המרוכב היה חזקה של הקואורדינאטות‪:‬‬
‫) (‬
‫זאת זרימה בתוך זווית בין שני מישורים‪ ,‬אחד ב‪-‬‬
‫(‬
‫)‬
‫בעזרת המהירות המרוכבת‪:‬‬
‫‪ .‬את המהירות נמצא‬
‫והשני ב‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,‬המהירות תהה אופקית ותלויה במרחק מהקודקוד‪:‬‬
‫קרוב למשטח הישר ב‪-‬‬
‫זאת בדיוק הצורה של המהירות שקיבלנו‪ .‬על כן שכבת הגבול שאנו פותרים מתאימה לזרימה בפינה‪,‬‬
‫כאשר מתקיים‬
‫ולכן הזווית בין שני המישורים היא‬
‫)‬
‫(‬
‫אם נבחר את הזווית הזאת בתור קהה‪ ,‬ונדביק שני פתרונות כאלו מעל ומתח לציר האופקי‪ ,‬נגלה‬
‫‪.‬‬
‫שבעצם אנו פותרים את שכבת הגבול סביב טריז בזווית‬
‫אז נמשיך בפתרון‪ .‬מהמשוואה השנייה נמצא את משתנה הדמיות‪:‬‬
‫) (‬
‫√‬
‫)‬
‫( √‬
‫)‬
‫( √‬
‫) (‬
‫ועכשיו רק נותר לפתור את המד"ר הלא ליניארית ל‪: -‬‬
‫) ) (‬
‫(‬
‫עם תנאי השפה הרגילים‪ ,‬כמובן‪ .‬את זה מבצעים נומרית‪.‬‬
‫)‪ ,‬נקבל "טריז" בזווית ‪,‬‬
‫‪(,‬‬
‫דרך אגב‪ ,‬זה עובד לא רק לטריז עם זווית חדה‪ .‬אם ניקח‬
‫כלומר בעצם זרימת סטגנציה מול מישור‪ .‬במקרה כזה משתנה הדמיות הוא פשוט (עד כדי‬
‫ממדים)‪ ,‬המהירות ליניארית במרחק מהראשית ולמעשה הפתרון זהה לגמרי לפתרון של נאוייה‪-‬‬
‫סטוקס המלאות – אין פה קירוב כלל‪ .‬במקרה הזה גם עובי שכבת הגבול נשאר קבוע שמתרחקים‬
‫) ( )‪.‬‬
‫מהראשית (כי‬
‫‪ ,‬כלומר חוזרים לבלזיוס‪ .‬מאינטגרציה נומרית של ניתן לראות שככל‬
‫גורר‬
‫דרך אגב‪,‬‬
‫שככל ש‪ -‬גדול יותר‪ ,‬שכבת הגבול נהיית יותר דקה‪ ,‬אך ככל שהוא קטן‪ ,‬שכבת הגבול דווקא‬
‫גרדיאנט המהירות מתאפס ליד הקיר ואחרי זה מופיעה זרימה הפוכה‬
‫מתעבה‪ .‬כאשר‬
‫קרוב אליו‪ .‬זה בעצם התופעה של הינתקות שכבת הגבול במקרה הזה‪ .‬זה קורה שהזווית בין‬
‫המישורים היא‬
‫‪ ,‬או ש‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫מתוך‪:‬‬
‫‪Boundary-layer theory By Hermann Schlichting, Klaus Gersten‬‬
‫עוד גיאומטריה אפשרית – אם נבחר את‬
‫אבל‬
‫)‬
‫(‬
‫ואז באותה צורה‪:‬‬
‫) (‬
‫√‬
‫זה מתאים לזרימה בתעלה מתכנסת (זרימה לכיור)‪.‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫) (‬