‫אלגברה לינארית – תרגילים פתורים‬ ‫פרק ‪ - 1‬מערכות משוואות ליניאריות‬ ‫תרגיל ‪1‬‬ ‫פתור את מערכות המשוואות הבאות‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪3𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 = 6‬‬ ‫‪2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 7‬‬ ‫‪4𝑥1 − 2𝑥2 − 4𝑥3 = 4‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = 1‬‬ ‫‪−3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 = 7‬‬ ‫‪5𝑥1 − 10𝑥2 − 𝑥3 = 8‬‬ ‫‪𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥3 = 1‬‬ ‫‪−3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 = 7‬‬ ‫‪5𝑥1 − 10𝑥2 − 𝑥3 = −5‬‬ ‫תרגיל ‪2‬‬ ‫מצא לאילו ערכי 𝑎 למערכת המשוואות הבאה יש פתרון יחיד‪ ,‬אינסוף פתרונות ואין פתרון‬ ‫‪𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2‬‬ ‫‪𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 3‬‬ ‫𝑎 = ‪𝑥1 + 𝑥2 + 𝑎2 − 5 𝑥3‬‬ ‫תרגיל ‪3‬‬ ‫פתור את מערכת המשוואות הבאה‪:‬‬ ‫‪𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 0‬‬ ‫‪−2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 5𝑥4 = 0‬‬ ‫‪𝑥1 − 2𝑥2 + 10𝑥3 + 8𝑥4 = 0‬‬ ‫‪5𝑥1 − 10𝑥2 + 8𝑥3 − 2𝑥4 = 0‬‬ ‫תרגיל ‪4‬‬ ‫יהיו 𝑛‪ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ‬פתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית ‪ 𝐴𝑥 = 0‬כאשר 𝐴 מסדר 𝑛𝑥𝑛‪.‬‬ ‫הוכח כי לכל ‪ 𝜆1 , 𝜆2 ∈ ℝ‬מתקיים כי 𝑏 ‪ 𝜆1 𝑎 + 𝜆2‬פתרון למערכת זו‪.‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫פתרון ‪ 1‬א'‬ ‫נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית‪:‬‬ ‫‪𝑥1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪𝑥2 = 7‬‬ ‫‪𝑥3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים‬ ‫החופשיים‪:‬‬ ‫‪−1 𝑅3 =𝑅3 −3𝑅2 1 3‬‬ ‫‪8 −1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪0 −5 −19 9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪21 −19‬‬ ‫‪1 +55𝑅3 1‬‬ ‫‪0 0 1‬‬ ‫𝑅= ‪−55 56 𝑅𝑅1‬‬ ‫‪2 =𝑅2 −21𝑅3‬‬ ‫‪0 1 0 2‬‬ ‫‪21 −19‬‬ ‫‪0 0 1 −1‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪2 −2𝑅1 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫𝑅= ‪8 −1 𝑅𝑅2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5 6 𝑅1 =𝑅1 −𝑅2 1 3‬‬ ‫‪3 =𝑅3 −4𝑅1‬‬ ‫‪2 1 −3 7‬‬ ‫‪0 −5 −19‬‬ ‫‪1 −3 7‬‬ ‫‪4 −2 −4 4‬‬ ‫‪0 −14 −36‬‬ ‫‪−2 −4 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 −3𝑅2 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑅= ‪8 −1 𝑅𝑅1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−55‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪𝑅3 = 𝑅3 1 0‬‬ ‫‪𝑅3 ↔𝑅2 1‬‬ ‫‪3 =𝑅3 +5𝑅2‬‬ ‫‪86‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪21 −19‬‬ ‫‪0 1 21 −19‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 −5 −19 9‬‬ ‫‪0 0 86 −86‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫קיבלנו כי המטריצה המייצגת את מערכת המשוואות שקולת שורות למטריצת היחידה‪ ,‬ולכן‬ ‫למערכת יש פתרון יחיד‪ .‬על מנת להציג את הפתרון נחזור למערכת משוואות מהמטריצה‬ ‫האחרונה בדירוג‪:‬‬ ‫‪𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 1‬‬ ‫‪0𝑥1 + 𝑥2 + 0𝑥3 = 2‬‬ ‫‪0𝑥1 + 0𝑥2 + 𝑥3 = −1‬‬ ‫קיבלנו פתרון יחיד למערכת המשוואות‪𝑥3 = −1 ,𝑥2 = 2 ,𝑥1 = 1 :‬‬ ‫פתרון ‪ 1‬ב'‬ ‫נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית‪:‬‬ ‫‪𝑥1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑥2 = 7‬‬ ‫‪𝑥3‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים‬ ‫החופשיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑅2 =− 𝑅2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪11 10‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑅3 =𝑅3 +𝑅2‬‬ ‫‪2 +3𝑅1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫𝑅= ‪2 1 𝑅𝑅2‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 =𝑅3 −5𝑅1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5 7‬‬ ‫‪0 −10 11 10‬‬ ‫‪5 −10 −1 −5‬‬ ‫‪0 10 −11 −10‬‬ ‫‪1 −4‬‬ ‫‪2 1 𝑅1 =𝑅1 +4𝑅2 1 0 −2.4 −3‬‬ ‫‪0 1 −1.1 −1‬‬ ‫‪0 1 −1.1 −1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫קיבלנו כי במטריצה המייצגת את מערכת המשוואות לאחר דירוג ישנה עמודה ללא "‪"1‬‬ ‫מוביל‪ ,‬ולכן למערכת יש אינסוף פתרונות‪.‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫על מנת להציג את הפתרון נחזור למערכת משוואות מהמטריצה האחרונה בדירוג‪:‬‬ ‫‪𝑥1 − 2.4𝑥3 = −3‬‬ ‫‪𝑥2 − 1.1𝑥3 = −1‬‬ ‫נסמן את המשתנה עבורו אין "‪ "1‬מוביל במטריצה המדורגת ב‪ 𝑡 -‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪𝑥1 − 2.4𝑡 = −3‬‬ ‫‪𝑥2 − 1.1𝑡 = −1‬‬ ‫ולכן הפתרון הכללי הוא‪:‬‬ ‫‪𝑥1‬‬ ‫𝑡‪−3 + 2.4‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪𝑥2 = −1 + 1.1𝑡 = −1 + 𝑡 1.1‬‬ ‫‪𝑥3‬‬ ‫𝑡‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לכל ‪𝑡 ∈ ℝ‬‬ ‫פתרון ‪ 1‬ג'‬ ‫נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית‪:‬‬ ‫‪𝑥1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑥2 = 7‬‬ ‫‪𝑥3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים‬ ‫החופשיים‪:‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪11 10‬‬ ‫‪0 13‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑅3 =𝑅3 +𝑅2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪11 10‬‬ ‫‪−11 3‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑅2 =𝑅2 +3𝑅1‬‬ ‫‪𝑅3 =𝑅3 −5𝑅1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪5 7‬‬ ‫‪−1 8‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫קיבלנו כי במטריצה המייצגת את מערכת המשוואות לאחר דירוג ישנה שורת סתירה‪:‬‬ ‫‪0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 13‬‬ ‫ולכן למערכת המשוואות הנתונה אין פתרון‪.‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫פתרון ‪2‬‬ ‫נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית‪:‬‬ ‫‪𝑥1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑥2 = 3‬‬ ‫‪𝑥3‬‬ ‫𝑎‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑎2 − 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים‬ ‫החופשיים‪:‬‬ ‫)∗(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑎2 − 6 𝑎 − 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑅2 =𝑅2 −𝑅1‬‬ ‫‪𝑅3 =𝑅3 −𝑅1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫𝑎 ‪𝑎2 − 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מקרה א' – כאשר ‪ 𝑎2 − 6 ≠ 0‬כלומר ‪𝑎 ≠ ± 6‬‬ ‫נמשיך לדרג את המטריצה )∗( ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 𝑎−2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪𝑎 −6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑅3 = 2 𝑅3‬‬ ‫‪𝑎 −6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑎2 − 6 𝑎 − 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫קיבלנו כי המטריצה המייצגת את מערכת המשוואות שקולת שורות למטריצת היחידה‪ ,‬ולכן‬ ‫למערכת יש פתרון יחיד‪.‬‬ ‫מקרה ב' – כאשר ‪ 𝑎2 − 6 = 0‬כלומר ‪𝑎 = ± 6‬‬ ‫מהמטריצה ∗‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 𝑎−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫וברור כי ‪ .𝑎 − 2 ≠ 0‬קיבלנו כי במטריצה המייצגת את מערכת המשוואות לאחר דירוג ישנה‬ ‫שורת סתירה‪ .0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 = 𝑎 − 2 ≠ 0 :‬ולכן למערכת אין פתרון‪.‬‬ ‫לסיכום‪:‬‬ ‫ כאשר ‪ 𝑎 ≠ ± 6‬למערכת יש פתרון יחיד‪.‬‬‫ כאשר ‪ 𝑎 = ± 6‬למערכת אין פתרון‪.‬‬‫‪ -‬לא קיין ערך של 𝑎 עבורו למערכת יש אינסוף פתרונות‪.‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫פתרון ‪3‬‬ ‫נרשום את המערכת הנתונה בצורה מטריציונית‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑥1‬‬ ‫‪𝑥2‬‬ ‫‪𝑥3‬‬ ‫‪𝑥4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫נדרג בשיטת האלימינציה של גאוס את מטריצת המקדמים ביחד עם מטריצת המקדמים‬ ‫החופשיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑅2 = 𝑅2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑅3 =𝑅3 −𝑅2‬‬ ‫‪𝑅4 =𝑅4 +𝑅2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪−7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪−7‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪𝑅2 =𝑅2 +2𝑅1‬‬ ‫‪𝑅3 =𝑅3 −𝑅1‬‬ ‫‪𝑅4 =𝑅4 −5𝑅1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫קיבלנו כי במטריצה המייצגת את מערכת המשוואות לאחר דירוג ישנן שתי עמודות ללא‬ ‫"‪ "1‬מוביל (עמודה שנייה ורביעית)‪ ,‬ולכן למערכת יש אינסוף פתרונות‪.‬‬ ‫על מנת להציג את הפתרון נחזור למערכת משוואות מהמטריצה האחרונה בדירוג‪:‬‬ ‫‪𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 0‬‬ ‫‪𝑥3 + 𝑥4 = 0‬‬ ‫נסמן את המשתנים עבורם אין "‪ "1‬מוביל במטריצה המדורגת ב‪ 𝑥2 = 𝑡 -‬ו‪ 𝑥4 = 𝑠 -‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪𝑥1 − 2𝑡 + 3𝑥3 + 𝑠 = 0‬‬ ‫‪𝑥3 + 𝑠 = 0‬‬ ‫ולכן הפתרון הכללי הוא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝑡=‬ ‫𝑠‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫𝑠‪2𝑡 − 2‬‬ ‫𝑡‬ ‫𝑠‪−‬‬ ‫𝑠‬ ‫=‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪𝑥1‬‬ ‫‪𝑥2‬‬ ‫‪𝑥3‬‬ ‫‪𝑥4‬‬ ‫לכל ‪𝑡, 𝑠 ∈ ℝ‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫פתרון ‪4‬‬ ‫נרשום את פתרונות המערכת 𝑛‪ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ‬בצורה מפורשת‪:‬‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑎 = 𝑎1 , 𝑎2 , … ,‬‬ ‫𝑛𝑏 ‪𝑏 = 𝑏1 , 𝑏2 , … ,‬‬ ‫מערכת המשוואות ‪ 𝐴𝑥 = 0‬מסדר 𝑛 ולכן שורה 𝑛 ≤ 𝑖 ≤ ‪ 1‬של המערכת היא מהצורה‪:‬‬ ‫‪𝛼𝑖1 𝑥1 + 𝛼𝑖2 𝑥2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝑥𝑛 = 0‬‬ ‫אם 𝑛‪ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ‬פתרונות למערכת אזי מתקיים‪:‬‬ ‫‪𝛼𝑖1 𝑎1 + 𝛼𝑖2 𝑎2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝑎𝑛 = 0‬‬ ‫‪𝛼𝑖1 𝑏1 + 𝛼𝑖2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝑏𝑛 = 0‬‬ ‫נכפיל את המשוואה הראשונה ב‪ 𝜆1 -‬ואת המשוואה השניה ב‪:𝜆2 -‬‬ ‫‪𝛼𝑖1 𝜆1 𝑎1 + 𝛼𝑖2 𝜆1 𝑎2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝜆1 𝑎𝑛 = 𝜆1 0 = 0‬‬ ‫‪𝛼𝑖1 𝜆2 𝑏1 + 𝛼𝑖2 𝜆2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝜆2 𝑏𝑛 = 𝜆2 0 = 0‬‬ ‫נחבר את המשוואות ונקבל‪:‬‬ ‫‪𝛼𝑖1 𝜆1 𝑎1 + 𝛼𝑖1 𝜆2 𝑏1 + 𝛼𝑖2 𝜆1 𝑎2 + 𝛼𝑖2 𝜆2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑖𝑛 𝜆1 𝑎𝑛 + 𝛼𝑖𝑛 𝜆2 𝑏𝑛 = 0‬‬ ‫נכנס איברים ונקבל‪:‬‬ ‫‪𝛼𝑖1 𝜆1 𝑎1 + 𝜆2 𝑏1 + 𝛼𝑖2 𝜆1 𝑎2 + 𝜆2 𝑏2 … + 𝛼𝑖𝑛 𝜆1 𝑎𝑛 + 𝜆2 𝑏𝑛 = 0‬‬ ‫מהמשוואה האחרונה ניתן לראות כי לכל שורה 𝑛 ≤ 𝑖 ≤ ‪ 1‬של המערכת‪ 𝜆1 𝑎 + 𝜆2 𝑏 ,‬פתרון שלה‪.‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪[email protected]‬‬