Matematiska Institutionen
STOCKHOLMS UNIVERSITET
Examinator: Åsa Ericsson
Tentamensskrivning
kurskod: MM3001
2016-04-27
Tentamensskrivning: Matematiska metoder för ekonomer
27 april 2016, kl. 9:00-14:00
Lösningarna ska vara klart och tydligt skrivna med kortfattade förklaringar som gör din tankegång lätt
att följa. Otydlig lösning kan ge avdrag trots korrekta beräkningar. Institutionens räknare är tillåtna, men
exakta svar förväntas om ej annat är angivet. Formelsamling är ej tillåten utöver det som ges på detta blad.
Varje uppgift kan ge högst 10 poäng, totalt 35 poäng ger garanterat betyg E.
∞
X
1. Betrakta serien
2(1 − α)2i .
i=0
(a) Vilka är de första tre termerna i summan?
(b) För vilka värden på α konvergerar summan?
(c) Bestäm ett uttryck för summan för dessa α.
(d) Kan summan bli 4?
Z
2. (a) Beräkna
4
√ s
e 10 + 3 s ds.
0
(b) Bestäm den primitiva funktionen K(x) till
k(x) =
x3 + 2x
+ (1 − x)3
x2
för vilken grafen y = K(x) går genom punkten (1, 0).
3. Bestäm den kvadratiska approximationen för funktionen g(r) kring r = 1 då
√
g(r) = re
r
.
Förenkla svaret.
4. Funktionen h(t) = (a − t)ekt , där a och k är konstanter, har nollställe i t = 3 och en stationär
punkt i t = 1.
(a) Bestäm konstanterna a och k.
(b) Avgör om den stationära punkten är en lokal eller global maximipunkt eller minimipunkt.
(c) Var är funktionen konvex respektive konkav?
Var god vänd!
5. Betrakta följande ekvationssystem, där a är en konstant.


3x + 2y + 7z = 1


ax − 2y + 5z = 0



x − ay + 4z = 0
För vilka värden på a (om det alls finns något sådant värde) har ekvationssystemet exakt en
lösning, oändligt många lösningar respektive ingen lösning?
6. Kurvan
2y
+ 3 ln(x2 + y) − 6xy 3 + 5 = C ,
e
där C är en konstant, går genom punkten (0, e). Bestäm konstanten C och en ekvation för
kurvans tangent i (0, e)
7. Funktionen
f (x, y) = xy 2 + y − x2 y
är definierad på triangeln med hörn i (0, 1), (0, −2) och (3, 1).
(a) Rita området i planet där f (x, y) är definierad.
(b) Bestäm det största och det minsta värdet som f (x, y) antar. (Närmevärden duger.)
FORMLER
Approximation av f kring x = x0 givet av Taylorpolynomet av grad n:
f (x) ≈ f (x0 ) +
1
1
1 0
f (x0 )(x − x0 ) + f 00 (x0 )(x − x0 )2 + · · · + f (n) (x0 )(x − x0 )n
1!
2!
n!
Kedjeregeln för funktioner av två variabler:
Låt z = F (x, y) där x = f (t, s) och y = g(t, s). Då gäller
∂x
∂y
∂z
= F10 (x, y)
+ F20 (x, y)
∂t
∂t
∂t
och
∂z
∂x
∂y
= F10 (x, y)
+ F20 (x, y)
.
∂s
∂s
∂s
Om stationära punkter för funktioner av två variabler:
00 (x, y), B = f 00 (x, y), C = f 00 (x, y).
Om fx0 (x, y) = 0 och fy0 (x, y) = 0, sätt A = fxx
xy
yy
(x, y) är en lokal maxpunkt om A < 0 (C < 0) och AC − B 2 > 0.
(x, y) är en lokal minpunkt om A > 0 (C > 0) och AC − B 2 > 0.
(x, y) är en sadelpunkt om AC − B 2 < 0.
Om AC − B 2 = 0 kan typ av punkt ej avgöras med hjälp av de partiella andraderivatorna.
Lösningsförslag läggs upp på kurssidan efter skrivningen. Tid för tentamensåterlämning meddelas via epost
till registrerade studenter och längst ned på kurssidan så snart tentorna är rättade. Därefter finns de att
hämta på studentexpeditionen, rum 203-204 i hus 6.