1. No category

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Kontinuerliga fördelningar
KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER
( Allmänt om kontinuerliga s.v.)
Definition 1. En stokastisk variabel 𝜉𝜉. kallas kontinuerlig om fördelningsfunktionen
𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(ξ ≤ 𝑥𝑥)
är kontinuerlig.
Egenskaper: Fördelningsfunktionen F(x) är en växande funktion:
0 ≤ 𝐹𝐹(𝑥𝑥) ≤ 1
lim 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 1 , 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,
𝑥𝑥→∞
lim 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 0 , 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘,
𝑥𝑥→−∞
𝐹𝐹(∞) = 1
𝐹𝐹(−∞) = 0
Sannolikheten att en kontinuerlig s v har värden i ett intervall (a,b] beräknas enkelt med hjälp
av F(x)
𝑷𝑷(𝐚𝐚 < 𝛏𝛏 ≤ 𝒃𝒃) = 𝑭𝑭(𝒃𝒃) − 𝐅𝐅(𝐚𝐚).
Vi bevisar nu att sannolikheten att en kontinuerlig s.v. ξ antar exakt ett givet värde är alltid
lika med 0. (Till skillnad från diskreta fördelningar där några punkter bär sannolikhetsmassa)
Sats. Om ξ är en kontinuerlig s.v. och b ett reellt tal då är P(ξ = b) = 0 .
Låt a, b vara reella tal. Eftersom {x : x = b} ⊆ {x : a < x ≤ b} har vi
0 ≤ P(ξ = b) ≤ P( a < ξ ≤ b) , dvs
0 ≤ P(ξ = b) ≤ F (b) − F ( a ) (*)
Eftersom F(x) är kontinuerlig gäller lim F ( a ) = F (b) . Om vi låter a → b får vi från (*)
a→b
0 ≤ P(ξ = b) ≤ F (b) − lim F ( a )
a→ b
( = F (b) − F (b) = 0 ) eller
0 ≤ P(ξ = b) ≤ 0 ,
med andra ord P(ξ = b) = 0 (V.S.B.)
Följdsatsen:
Om ξ är en kontinuerlig s.v. då är
𝑷𝑷(𝐚𝐚 < 𝛏𝛏 ≤ 𝒃𝒃) = 𝑷𝑷(𝐚𝐚 ≤ 𝛏𝛏 ≤ 𝒃𝒃) = 𝑷𝑷(𝐚𝐚 ≤ 𝛏𝛏 < 𝑏𝑏) = 𝑷𝑷(𝐚𝐚 < 𝛏𝛏 < 𝑏𝑏)
1 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Kontinuerliga fördelningar
(Vi ser återigen skillnad mellan diskreta och kontinuerliga fördelningar.)
Definition 2. Om funktionen 𝐹𝐹(𝑥𝑥) är deriverbar (eventuellt förutom i ändligt antal punkter)
då kallas derivatan
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹′(𝑥𝑥)
täthetsfunktionen ( eller frekvensfunktionen) för variabeln 𝜉𝜉.
Egenskaper: Täthetsfunktionen(=frekvensfunktionen) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är en positiv funktion
𝑥𝑥
Från f(x) = 𝐹𝐹′(𝑥𝑥) får vi att 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = ∫−∞ 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
Därmed
𝑏𝑏
𝑃𝑃(a < ξ ≤ 𝑏𝑏) = 𝐹𝐹(𝑏𝑏) − F(a) = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑎𝑎
Alltså, om vi har f(x) kan vi beräkna sannolikheten (a < ξ ≤ 𝑏𝑏) med hjälp av integralen
𝑏𝑏
∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 .
𝑏𝑏
Arean = 𝑃𝑃(a < ξ ≤ 𝑏𝑏) = ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
Därmed är arean mellan x-axeln och kurvan 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) lika med 1.
∞
𝑃𝑃(−∞ < ξ ≤ ∞) = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹(∞) − F(−∞) = 1 − 0 = 1
−∞
2 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Kontinuerliga fördelningar
====================================================
Approximation av sannolikheten P( x<ξ ≤x+∆x) om ∆x är litet
f(x)
x
x+Δx
Om ∆x är litet så är skuggade arean approximativt lika med arean av rektangeln med basen ∆x
och höjden f(x). Därför kan vi använda följande approximation
P( x<ξ ≤x+∆x) ≈ f(x)∆x.
Vi kan diskretisera en kontinuerlig stokastisk variabel ξ genom att approximera arean under
frekvensfunktionen med rektanglar med små baser ∆xk=∆x.
x
xk
Vi kan betrakta en diskret s.v. X som antar värdena xk med sannolikheterna pk=f(xk) ∆x. Då är
väntevärdet av den diskret s.v. X lika med ∑ xk pk = ∑ xk f ( xk )∆x . Om ∆x är litet då är
k
∑x
k
k
∞
k
f ( x k ∆x ) ≈
∫ xf ( x )dx
(om integralen existerar). Detta motiverar följande definition.
−∞
VÄNTEVÄRDET för en kontinuerlig s. v. ξ betecknas m, µ eller 𝐸𝐸(𝜉𝜉) och definieras
enligt följande
µ = E (x ) =
∞
∫ xf ( x )dx
−∞
3 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Kontinuerliga fördelningar
På liknande sätt motiveras definitionen av variansen av en kontinuerlig s.v.
VARIANSEN av en kontinuerlig s. v. ξ betecknas 𝑉𝑉(𝜉𝜉) , Var,
V (ξ ) =
∞
∫ (ξ − µ)
−∞
STANDARDAVVIKELSEN :
∞
2
𝜎𝜎 2 eller
f ( ξ )dξ = ∫ ξ 2 f ( ξ )dξ − µ 2
𝑠𝑠 2 )
−∞
( Betecknas
𝜎𝜎 eller s , eller D (ξ )
𝜎𝜎 = √𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉
MEDIANEN definieras som lösningen till ekvationen
𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 0.50
Medianen delar arean under frekvensfunktionen( eller täthetsfunktionen) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) i två lika
delar. Om frekvensfunktionen är symmetrisk då sammanfaller medianen och medelvärden.
VÄNTEVÄRDET för en funktion g(X) av en s.v. X :
∞
E ( g ( X )) =
∫ g ( x ) f ( x )dx
−∞
Vi säger att en s.v. X är positiv om
X ≥0.
INTENSITETEN för en kontinuerlig positiv stokastisk variabel X definieras av
λ ( x) =
f ( x)
,
1 − F ( x)
för x > 0
==============================================
ÖVNINGSUPPGIFTER
Uppgift 1. Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen
( a + 1) x 2 , 0 < x < 1
f ( x) = 
 0 för övrigt
a) Bestäm parametern a.
b) Beräkna P(0.1< ξ<0.3).
4 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Kontinuerliga fördelningar
Lösning:
a)
1
1
(𝑎𝑎 + 1)
(𝑎𝑎 + 1)𝑥𝑥 3
� (𝑎𝑎 + 1)𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 ⇒ �
� =1 ⇒
= 1 ⇒ 𝑎𝑎 = 2
3
3
0
0
2
Därmed
3x 2 , 0 < x < 1
f ( x) = 
 0 för övrigt
b)
0.3
3
3
∫0.1 3𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [𝑥𝑥 3 ]0.3
0.1 = 0.3 − 0.1 = 0.026
Uppgift 2 En stokastisk variabel ξ har frekvensfunktionen
0
,
x<0


f ( x ) = a (10 − x ) , 0 ≤ x ≤ 10

0
,
x > 10

a) Bestäm konstanten a .
b) Vad är sannolikheten att ξ > 8 ?
c) Bestäm väntevärdet E (ξ ) .
Lösning:
10

1
x 2  10
a) ∫ a (10 − x )dx = 1 ⇒ a (10 x − ) = 1 ⇒a =
2 0
50

0
b) P(x > 8) =
1
x 2  10 1
1
x
dx
x
−
=
−
=
= 0.04
(
10
)
(
10
)
 50
∫8 50
2  8 25

10
10
c)
E (x ) = ∫ x ⋅
0
Svar:
a) a =
10
1
1
1
x 3 10 10
(5 x 2 − ) =
(10 − x )dx = ∫ (10 x − x 2 )dx =
3
3 0
50
50
50
0
1
50
b)
0.04
c)
10
3
Uppgift 3.
En stokastisk variabel ξ har följande frekvensfunktion ( täthetsfunktion)
π

sin x
0≤ x≤
f ( x) = 
2
0
för övrigt
.
Bestäm väntevärdet 𝐸𝐸(ξ), variansen Var(ξ) och standardavvikelsen 𝜎𝜎.
Lösning:
µ = E (ξ ) =
p /2
p /2
∫ ξ sin ξdξ = ( part. int.) = [sin ξ − ξ cos ξ ]
0
För variansen använder vi formeln
Var (ξ ) =
∞
∫ξ
2
f ( ξ )dξ − µ 2
−∞
5 av 8
0
=1
där
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Kontinuerliga fördelningar
p /2
∫x
2
[
sin xdx = ( part. int. 2 gånger ) = − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x
0
Var (ξ ) =
π /2
∫ξ
]p 0/ 2 = p − 2
sin ξdξ − µ 2 = π − 2 − 1 = π − 3 ≈ 0.14159
2
0
Standardavvikelsen för ξ :
σ = Var (ξ ) =0.376
Uppgift 4. En stokastisk variabel ξ har följande fördelningsfunktion
1 − 𝑒𝑒 −3𝑥𝑥
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 ≥ 0
𝐹𝐹(𝑥𝑥) = �
0
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 < 0
Bestäm a) medianen, b) frekvensfunktion f(x) och c) väntevärdet 𝐸𝐸(ξ).
d) sannolikheten 𝑃𝑃( 2 ≤ ξ ≤ 5 )
Lösning:
a) Medianen är lösningen till ekvationen
𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 0.50
1 − 𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 = 1/2 ⇒ 𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 = 1/2 ⇒ −3𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙(1/2) ⇒ 𝑥𝑥 =
Svar: a) Medianen=
𝑙𝑙𝑙𝑙(2)
3
𝑙𝑙𝑙𝑙(1/2)
𝑙𝑙𝑙𝑙(2)
⇒ 𝑥𝑥 =
−3
3
b) Frekvensfunktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 3𝑒𝑒 −3𝑥𝑥
c) E (x ) =
∞
∞
−∞
0
∫ xf ( x )dx = ∫ 3xe
−3 x
dx
{ partiell integration
𝑢𝑢 = 3𝑥𝑥 ,
𝑣𝑣′ = 𝑒𝑒 −3𝑥𝑥
𝑢𝑢′ = 3 ,
Därför
v=
𝑒𝑒 −3𝑥𝑥
� 3𝑥𝑥𝑥𝑥
−3
−3𝑥𝑥
}
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢𝑢𝑢 − � 𝑢𝑢′𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 = −𝑥𝑥𝑥𝑥
∞
Svar: c) E (ξ ) =
1
3
� 3𝑥𝑥𝑥𝑥
0
−3𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑 = �−𝑥𝑥𝑥𝑥
−3𝑥𝑥
−3𝑥𝑥
+ � 𝑒𝑒
6 av 8
∞
𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑒𝑒 −3𝑥𝑥
1
−
� =
3
3 0
d) Sannolikheten 𝑃𝑃( 2 ≤ ξ ≤ 5 ) = 𝐹𝐹(5) − 𝐹𝐹(2)
= (1 − 𝑒𝑒 −15 ) − (1 − 𝑒𝑒 −6 ) = 𝑒𝑒 −6 − 𝑒𝑒 −15 ≈ 0.002478
Svar: d) 0.002478
Uppgift 5. Bestäm konstanten c så att
−3𝑥𝑥
−3𝑥𝑥
𝑒𝑒 −3𝑥𝑥
−
3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Kontinuerliga fördelningar
 c
, 2< x≤5

f ( x) =  x − 2

 0 för övrigt
blir en täthetsfunktion.
Lösning:
∞
f (x ) måste satisfiera villkoret: Arean=1 dvs
∫ f ( x )dx = 1 .
−∞
Först beräknar vi integralen
∞
5
c
Arean= ∫ f ( x )dx = ∫
dx
x−2
−∞
2
3
=∫
0
Substitution x − 2 = t , dx = dt ,
Gränser : x = 2 ⇒ t = 0 ,
x =5⇒t =3
 1 3
 ct 2 
c
dx = ∫ ct dt = 
 = 2c 3
1
t
0

0
 2 
3
−1
2
Från ekvationen arean=1 har vi 2c 3 = 1 ⇒ c =
Svar: c =
1
2 3
1
2 3
.
≈ 0.2887
Uppgift 6. En stokastisk variabel X har fördelningsfunktionen
4

1− 2
F ( x) =  x
 0
om x ≥ 2
x < 2.
Beräkna a) medianen och b) väntevärdet (medelvärdet) till s.v. X.
Lösning:
a) Medianen bestämmer vi genom att lösa en av följande ekvationer:
F ( x ) = 0.5 eller
x
∫ f ( x )dx = 0.5 .
−∞
I vårt fall är det enklare att lösa
F ( x ) = 0.5 ⇒ 1 −
4
4 1
=
0
.
⇒
= ⇒ x2 = 8 ⇒ x = ± 8
5
2
2
2
x
x
Eftersom x ≥ 2 väljer vi x = 8 ≈ 2.828 .
b) Medelvärdet till s.v. X. beräknas med hjälp av följande formel
∞
E( X ) =
∫ xf ( x )dx .
−∞
Först måste vi bestämma täthetsfunktionen
8 x −3 om x > 2
f ( x ) = F ′( x ) = 
x < 2.
 0
7 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Kontinuerliga fördelningar
Nu kan vi beräkna
 − 8 ∞
−3
−2
∫−∞ xf ( x )dx = ∫2 x ⋅ 8 x dx = ∫2 8 x dx =  x  2 = −0 + 4 = 4
∞
∞
E( X ) =
Svar: a) medianen är
∞
8 ≈ 2.828
b) väntevärdet (=medelvärdet)=4
Uppgift 7. Livslängd hos en viss transistortyp är exponentialfördelad s.v. med
fördelningsfunktionen
1 − e − x / 2
F ( x) = 
 0
om x ≥ 0
x < 0.
a) Bestäm sannolikheten att en sådan transistor (slumpvis vald) har livslängden som är
större än 1 år.
b) Man köper 5 transistorer. Bestäm sannolikheten att minst 4 av dem har livslängden som är
större än 1 år.
Lösning:
a) p = P( X > 1) = 1 − P( X ≤ 1) = 1 − F ( x ) = 1 − (1 − e −1 / 2 ) = e −1 / 2 ≈ 0.60653
b) Låt Y beteckna antalet transistorer bland dem 5 köpta som har livslängden större än 1 år .
Då är Y ∈ Bin(5, p ) där p ≈ 0.60653 och q = 1 − p ≈ 0.39347 .
 5
 5
P(Y ≥ 4) = P(Y = 4) + P(Y = 5) =   p 4 q +   p 5 q 0 = 5 ⋅ p 4 q + p 5 = 0.26625 + 0.08208 = 0.3483
 4
 5
Svar: a) 0.60653
 5
 5
b)   p 4 q +   p 5 q 0 = 5 ⋅ p 4 q + p 5 = 0.3483
 4
 5
Uppgift 8. (1p) Den s.v. X har täthetsfunktionen
Beräkna väntevärdet E(g(X) där
Lösning:
∞
E ( g ( X )) =
∞
∫ g ( x ) f ( x )dx = ∫ e
−∞
0
−2 x
f ( x ) = 3e −3 x , x ≥ 0 .
g ( x ) = e −2 x .
⋅ 3e
−3 x
 e −5 x  ∞
3
3
= 0 − (− ) =
dx = ∫ 3e −5 x dx = 3

5
5
 −5  0
0
∞
Svar: 3/5
8 av 8