Download Report

1
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Absolutbelopp
ABSOLUTBELOPP
Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan:
a) | 13 |= 13 b) |0|=0
c) | −5 |= 5 .
Alltså | x | ≥ 0 .
Absolutbeloppet av ett tall x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika
med 0.
Absolutbeloppet av x är lika med det motasatta talet om x är negativt. ( om själva
x är negativt då är –x ett positivt tal).
T ex | −5 |= −( −5) = 5 .
Detta anger vi i nedanstående definition:
⎧ x om x ≥ 0
Definition. | x |= ⎨
⎩− x om x < 0
===================================================
===============================================
Geometrisk tolkning:
i) På en reell tallinje är | x | lika med avståndet mellan punkterna (som svarar mot) x
och 0.
ii) På en reell tallinje är
x − y om x ≥ y
⎧
| x − y |= ⎨
⎩ − ( x − y ) = y − x om x < 0
lika med avståndet mellan punkterna (som svarar mot) x och y [oberoende av vilket
av talen x och y är störst].
Exempelvis om x = −4 och y = 6 har vi | x − y | =10 =avståndet mellan – 4 och 6.
Avståndet = 10
−4
6
| −4 − 6 |= 10
===================================================
Egenskaper:
A1. | x |≥ 0
A2. | x |= 0 om och endast om x = 0
A3. | x + y |≤| x | + | y | ,
| x − y |≤| x | + | y |
I A3 gäller likhetstecken om och endast om x och y har samma tecken.
Exempelvis, om x = – 3 och y= – 5 då gäller | x + y |= 8 =| x | + | y | ,
medan för x = – 3 och y= + 5 gäller 2 =| x + y |<| x | + | y |= 8 .
1
2
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Absolutbelopp
A4. | − x |=| x |
A5. | x − y |=| y − x |
A6. | x1 + x2 + L x n |≤| x1 | + | x 2 | + L | x n |
(I A6 gäller likhetstecken om och endast om alla | x k | har samma tecken.)
A7. || x | − | y ||≤| x + y |
Vi kan skriva tillsammans A3 och A7 på följande sätt:
A8. || x | − | y ||≤| x + y |≤| x | + | y |
⎧ ( a − 3) om ( a − 3) ≥ 0 dvs om a ≥ 3
Exempel 1. | a − 3 |= ⎨
⎩− ( a − 3) om ( a − 3) < 0 dvs om a < 3
Exempel 2. Uttrycket
T ex för x = – 5 blir
x 2 ≥ 0 för alla x ( eftersom x 2 ≥ 0 ).
(-5) 2 = 25 = 5 .
x 2 = x endast om x ≥ 0 medan
Alltså
Viktigt: I allmänt gäller
Exempel 3.
x 2 = − x om x < 0 .
⎧ x om x ≥ 0
x 2 =| x |= ⎨
⎩− x om x < 0
⎧ x − 4 om x ≥ 4
(x - 4) 2 =| x − 4 |= ⎨
⎩− ( x − 4) om x < 4
⎧ x om x ≥ 0
eller y = ⎨
har vi nedan
⎩− x om x < 0
y=
-
y=
x
Grafen till funktionen y =| x |
x
-----------------------------------------------------------------------⎧ f ( x ) om f ( x ) ≥ 0
Eftersom | f ( x ) |= ⎨
kan vi rita grafen till funktionen
om f ( x ) < 0
⎩− f ( x )
y =| f ( x ) | genom att först rita grafen till y = f (x ) och därefter spegla i x axeln den
delen av grafen som ligger under x-axeln (här gäller f ( x ) < 0 ) .
Uppgift 1. Rita grafen till följande funktioner
a) y = x 2 − 4 b) y =| x 2 − 4 | c) y = 2+ | x 2 − 4 |
Svar:
2
3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
a)
Absolutbelopp
b)
c)
==========================================================
EKVATIONER OCH OLIKHETER SOM INNEHÅLLER ABSOLUTBELOPP
Några enkla ekvationer av följande typ: | f ( x ) |= a där a är en konstant kan vi
lösa direkt (med hjälp av definitionen av absolutbeloppet)
a1) Ekvationen | x |= a där a > 0 har lösningar x = ± a .
a2) | x |= 0 ⇔ x = 0
a3) Ekvationen | x |= a där a < 0 har ingen lösning.
a4) Ekvationen | f ( x ) |= a där konstantenn a > 0 ä är ekvivalent med två
ekvationer f ( x ) = ± a .
a5) | f ( x ) |= 0 ⇔ f ( x ) = 0
a6) Ekvationen | f ( x ) |= a där konstantenn a < 0 har ingen lösning
Uppgift 2. Lös följande ekvationer
b)
a) | x |= 3
d) | x − 2 | −1 = 0
f) | 2 x − 8 |= 0
| x |= 0
c) | x |= −5
e) | 2 x − 3 | −5 = 0
g) | 3x + 8 |= −2
Lösning:
b) x = 0
c) ingen lösning
a) x = ±3
d) | x − 2 | −1 = 0 ⇔| x − 2 |= 1 ⇔ x − 2 = ±1 ⇔ x = 2 ± 1 ,två lösningar x1 = 3 , x2 = 1 .
e) | 2 x − 3 | −5 = 0 ⇔| 2 x − 3 |= 5 ⇔ 2 x − 3 = ±5 ⇔ 2 x = 3 ± 5
Härav 2 x = 3 + 5 ⇒ x1 = 4 och 2 x = 3 − 5 ⇒ x 2 = −1
Alltså, två lösningar x1 = 4 , x 2 = −1 .
f) | 2 x − 8 |= 0 ⇔ 2 x − 8 = 0 ⇔ x = 4
g) ingen lösning
============================================================
Några enkla olikheter av följande typer: | f ( x ) |< a , | f ( x ) |> a | f ( x ) |≤ a och
| f ( x ) |≥ a , där a är en konstant:
3
4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Absolutbelopp
Först några olikheten om a > 0 (vanligt fal):
b1) Olikheten | x |< a där a > 0 har lösning − a < x < a .
| x |< a
−a
a
{På samma sätt har olikheten | x |≤ a där a > 0 lösning − a ≤ x ≤ a .}
b2) Olikheten | x |> a där a > 0 satisfieras av alla x som uppfyller
x < a eller x > a .
| x |> a
| x |< a
| x |> a
−a
a
-------------------------------------------------------------------Några exempel med a < 0 eller a = 0 :
b3) Olikheten | x |< −3 har ingen lösning ( eftersom | x |≥ 0 )
b4) Olikheten | x |≥ −3 satisfieras av alla reella x.
b4) Olikheten | x |≤ 0 har exakt en lösning x=0.
--------------------------------------------------------------------
Uppgift 3. Lös följande olikheter
b) | x |≥ 3
c) | 2 x − 3 | −5 < 0
a) | x |≤ 3
e) | 2 x − 3 | +19 ≤ 10
d) | 2 x − 3 | −5 ≥ 0
Lösning:
Alternativt skrivsätt: Intervall [-3,3]
a) Svar: − 3 ≤ x ≤ 3 .
b) Svar: x ≤ −3 eller x ≥ 3
Alternativt skrivsätt: ( −∞,−3] ∪ [3, ∞ )
c) Lösning: | 2 x − 3 | −5 < 0 ⇔| 2 x − 3 |≤ 5 ⇔ −5 < 2 x − 3 < 5
Vi har faktiskt två enkla olikheter − 5 < 2 x − 3 och 2 x − 3 < 5 som vi kan lösa separat
och därefter bestämma gemensam lösning. Men, dän här gången, löser vi båda
ekvationer samtidigt:
− 5 < 2 x − 3 < 5 ( addera 3)
− 2 < 2x < 8
(dela med 2)
−1 < x < 4
Svar: − 1 < x < 4 .
Alternativt skrivsätt: Intervall ( −1, 4)
d) Svar: x ≤ −1 eller x ≥ 4 . Alternativt skrivsätt: ( −∞,−1] ∪ [4, ∞ )
e) Lösning: | 2 x − 3 | +19 ≤ 10 ⇔| 2 x − 3 |≤ −9 . Ingen lösning eftersom | 2 x − 3 |≥ 0 för alla x.
Svar: Ingen lösning
============================================================
ALMÄNT FALL. Mer komplicerade ekvationer och olikheter (t ex. av typen
| f ( x ) |= g ( x ) eller | f ( x ) | + | g ( x ) |< h( x ) ) löser vi genom att först analysera varje
absolutbeloppet för sig. Därefter betraktar vi alla fall som kan förekomma när x
varierar från − ∞ till + ∞ .
4
5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Absolutbelopp
Med sammametoden kan vi rita grafer som innehåller absolutbelopp.
( Anmärkning. Denna metod kan användas på både enkla och svåra ekvationer.)
Uppgift 4. Lös följande ekvationer
a) | x − 2 |= x + 4
b) | 2 x + 2 |= x + 8
Lösning:
Lösning a) Vi har | x − 2 |= −( x − 2) om x < 2 och | x − 2 |= + ( x − 2) om x ≥ 2 .
Därför betraktar vi två fall
Fall 1. x < 2 och Fall 2. x ≥ 2 .
Fall 1. Om x < 2 blir ekvationen
− ( x − 2) = x + 4 ⇒
− x + 2 = x + 4 ⇒ x = −1
(Vi måste kontrolera om x = −1 uppfyller kravet A innan vi påstår att detta är en lösning.)
Eftersom x= – 1 satisfierar villkoret A, x < 2 , så har vi en lösning x1 = −1
Fall 2. För x ≥ 2 kan ekvationen skrivas
( x − 2) = x + 4 ⇒
0 = 6 ⇒ ingen lösning i andra fallet .
Svar a) x1 = −1
Svar b) x1 = 6 , x2 = −10 / 3
Uppgift 5. a) Lös följande ekvation | x − 3 |= 2 x + 4
b) Rita grafen till funktionen f ( x ) =| x − 3 | −2 x − 4
Lösning a)
Vi har | x − 3 |= −( x − 3) om x < 3 och | x − 3 |= +( x − 3) om x ≥ 3 .
Därför betraktar vi två fall
A) x < 3 och B) x ≥ 3 .
A) Om x < 3 blir ekvationen
− ( x − 3) = 2 x + 4 ⇒
− x + 3 = 2 x + 4 ⇒ 3 x = −1 ⇒ x =
−1
3
−1
−1
satisfierar villkoret A, x < 3 , så har vi en lösning x1 =
3
3
b) För x ≥ 3 kan ekvationen skrivas
+ ( x − 3) = 2 x + 4 ⇒
x = −7
Detta är omöjligt för x ≥ 3 . Alltså finns ingen lösning i fallet B och vi har således endast en
lösning ( från fallet A).
Eftersom x =
5
6
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Absolutbelopp
−1
.
3
Lösning b) Vi ska först styckviss definiera funktionen f ( x ) =| x − 3 | −2 x − 4 och därefter
rita grafen.
i) För x < 3 har vi | x − 3 |= −( x − 3) och därför
f ( x ) =| x − 3 | −2 x − 4 = −( x − 3) − 2 x − 4 = −3x − 1
ii) För x ≥ 3 har vi | x − 3 |= +( x − 3) och därför
f ( x ) =| x − 3 | −2 x − 4 = +( x − 3) − 2 x − 4 = − x − 7
Svar a) x1 =
Alltså
⎧− 3x − 1 för x < 3
f ( x) = ⎨
⎩ − x − 7 för x ≥ 3
Grafen till f ( x ) =| x − 3 | −2 x − 4 :
Uppgift 6. Lös följande ekvationer
a) | x − 3 |=| x − 5 |
b) | x + 2 |=| x + 1 |
Lösning a)
Vi har två uttryck med absolutbelopp
1) | x − 3 |= +( x − 3) om x ≥ 3 och | x − 3 |= −( x − 3) om x < 3 .
2) | x − 5 |= +( x − 5) om x ≥ 5 och | x − 5 |= −( x − 5) om x < 5 .
Alltså har vi
3
5
| x − 3 |= −( x − 3)
| x − 3 |= +( x − 3)
| x − 3 |= +( x − 3)
| x − 5 |= −( x − 5)
| x − 5 |= −( x − 5)
| x − 5 |= +( x − 5)
6
7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Absolutbelopp
Därför betraktar vi tre fall
A) x < 3 , B) 3 ≤ x ≤ 5 och x > 5 .
A) Om x < 3 då gäller | x − 3 |= −( x − 3) och | x − 5 |= −( x − 5) .
Ekvationen kan skrivas
− ( x − 3) = −( x − 5) ⇒
3=5
Ingen lösning för x < 3 .
B) Om 3 ≤ x ≤ 5 då gäller | x − 3 |= +( x − 3) och | x − 5 |= −( x − 5) .
Ekvationen kan skrivas
+ ( x − 3) = −( x − 5) ⇒
x = 4.
Eftersom x = 4 ligger i intervallet 3 ≤ x ≤ 5 har vi en lösning, x1 = 4 , för fallet B.
C) Om x > 5 då gäller | x − 3 |= +( x − 3) och | x − 5 |= +( x − 5) .
Ekvationen blir
( x − 3) = ( x − 5) ⇒
− 3 = −5
Ingen lösning för x > 3 .
Svar a) En lösning, x1 = 4 .
3
Svar b) En lösning, x1 = − .
2
Uppgift 7. Lös följande olikheter
a) | x + 2 |>| 2 x − 4 |
b) | 2 x − 6 |<| x + 1 |
Lösning a)
Vi har två uttryck med absolutbelopp
1) | x + 2 |= +( x + 2) om x ≥ −2 och | x + 2 |= −( x + 2) om x < −2 .
2) | 2 x − 4 |= +(2 x − 4) om x ≥ 2 och | 2 x − 4 |= −( 2 x − 4) om x < 2 .
Alltså har vi
-2
| x + 2 |= −( x + 2)
| 2 x − 4 |= −( 2 x − 4)
2
| x + 2 |= + ( x + 2)
| 2 x − 4 |= −( 2 x − 4)
| x + 2 |= + ( x + 2)
| 2 x − 4 |= +( 2 x − 4)
Därför betraktar vi tre fall
7
8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
A) x < −2 ,
Absolutbelopp
B) − 2 ≤ x ≤ 2 och x > 2 .
A) Om x < −2 då gäller | x + 2 |= −( x + 2) och | 2 x − 4 |= −(2 x − 4) .
Olikheten kan skrivas
− ( x + 2) > −( 2 x − 4) ⇒
x>6
Detta är inte möjligt om x < −2
Ingen lösning för x < −2 .
B) Om − 2 ≤ x ≤ 2 då gäller | x + 2 |= +( x + 2) och | 2 x − 4 |= −( 2 x − 4) .
Olikheten blir
( x + 2) > −( 2 x − 4 ) ⇒
3x > 2 ⇒
2
x>
3
Eftersom − 2 ≤ x ≤ 2 får vi
2
<x≤2
3
för fallet B.
C) Om x > 2 då gäller | x + 2 |= +( x + 2) och | 2 x − 4 |= +(2 x − 4) .
Olikheten blir
( x + 2 ) > ( 2 x − 4) ⇒
6> x⇒
x<6
Eftersom x > 2 får vi 2 < x < 6 för fallet C.
2
< x < 6.
B och C tillsammans ger
3
2
Svar a) < x < 6
3
5
Svar b) < x < 7
3
Uppgift 9. Rita grafen till funktionen
f ( x) = x + | x 2 − x |
Lösning
Först
i) | x 2 − x |= + ( x 2 − x ) om ( x 2 − x ) ≥ 0
dvs om x ≤ 0 eller x ≥ 1 . ( Se grafen till y = x 2 − x )
ii) | x 2 − x |= −( x 2 − x ) om ( x 2 − x ) < 0
dvs om 0 < x < 1
Därmed blir
8
9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Absolutbelopp
⎧ x + ( x 2 − x) = x 2
om x ≤ 0 eller x ≥ 1
f ( x) = ⎨
2
2
⎩ x − ( x − x ) = − x + 2 x om 0 < x < 1
eller
⎧ x2
om x ≤ 0
⎪ 2
f ( x ) = ⎨− x + 2 x om 0 < x < 1
⎪ x2
x ≥1
⎩
Grafen till f(x):
9