4.6 Rang
I
Til enhver m × n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A,
som gir viktig informasjon.
Definisjon: Rangen til en m × n matrise A betegnes med rank A
og er definert som dimensjonen til kolonnerommet til A. Altså:
rank A = dim(Col A) = antall pivoter i rref(A)
Så
rank A ≤ minimum(m, n) og
I
rank A er det største antall lineært uavhengige kolonner i
matrisen A.
I
rank A er det minste antall kolonner i A som er nødvendig for
å utspenne Col A.
1 / 18
Hvis vi lar r1 , . . . , rm betegne radvektorene til A og betrakter disse
som vektorer i Rn , er radrommet til A definert som underrommet
av Rn gitt ved
Row A = Span{r1 , . . . , rm } .
Derfor er Row A = Col AT .
Så en basis for Col AT gir en basis for Row A. Alternativt kan vi
observere at:
I Radrommet til en matrise forandrer seg ikke under
radoperasjoner.
I Dermed er Row A = Row R der R = rref(A).
I En basis for Row R, og dermed for Row A, består av
alle radvektorene i R som inneholder en pivot.
Dette gir (jf. Teorem 14):
dim(Row A) = antall pivoter i R = dim(Col A) = rank A
Videre gjelder dimensjonsformelen
rank A + dim(Nul A) = n (= antall kolonner i A)
2 / 18
Teorem (Tillegg til IMT): La A være en n × n matrise. Da er
følgende utsagn ekvivalente:
a A er invertibel.
m Kolonnene i A er en basis for Rn .
n Col A = Rn .
o dim(Col A) = n.
p rank A = n
(Vi sier da at A har full rang).
q Nul A = {0}.
r dim(Nul A) = 0.
Merk: I m kan vi bytte kolonnene med radene, og i n og o kan vi
bytte Col A med Row A.
3 / 18
Hvordan kan vi beregne rangen til en matrise A?
I
Vi kan bruke Gauss eliminasjon og beregne rref(A) ...
... men dette vil kunne gi feil p.g.a. avrunding underveis.
I
I stedet beregnes gjerne rangen til A ut fra den såkalte
singulær verdi dekomposisjonen til A (SVD’en til A).
Skal gå nærmere inn på dette helt på slutten av kurset
(i avsnitt 7.4).
I
I Matlab finnes en (nokså komplisert) algoritme som beregner
SVD’en til A, og rank A fastsettes på grunnlag av denne.
4 / 18
5.1 Egenverdier og egenvektorer
En egenvektor for en n × n reell matrise A er en vektor x i Rn som
er slik at x 6= 0 og
Ax = λx
for en λ ∈ R. Skalaren λ kalles en egenverdi for A, og vi sier at x
er en egenvektor tilhørende egenverdien λ.
Eksempel. Hvis P er en stokastisk matrise og q er en likevektsvektor for P, er
P q = q = 1q
så q er en egenvektor for P tilhørende egenverdien 1.
Merk:
I
En reell matrise A trenger ikke å ha noen egenvektor og
egenverdi. Men A vil alltid ha komplekse egenverdier med
tilhørende komplekse egenvektorer hvis slike tillates.
(Vi kommer tilbake til dette i avsn. 5.5).
5 / 18
Anta at A er en n × n reell matrise og at λ ∈ R. Vi setter
EλA = x ∈ Rn | A x = λ x .
Merk at
I
I
EλA = Nul (A − λ I ) , så EλA er et underrom av Rn .
λ er en egenverdi for A ⇔ EλA 6= {0}
⇔ Nul (A − λ I ) 6= {0}
⇔ A − λ I er ikke invertibel
⇔ det(A − λ I ) = 0.
I
Når λ er en egenverdi for A sier vi at EλA er egenrommet til A
assosiert med λ.
6 / 18
Litt av poenget med egenverdier og egenvektorer
Betrakt A ∈ Mn (R) og x0 ∈ Rn . Definer {xk } ved
(∗) xk+1 = A xk ,
dvs.
k = 0, 1, 2, . . .
x1 = A x0 ,
x2 = A x1 = A (A x0 ) = A2 x0 ,
x3 = A x2 = A A2 x0 = A3 x0 ,
Vi ser at
xk = Ak x0 ,
osv.
k = 0, 1, 2, . . .
Anta nå at x0 er en egenvektor for A tilhørende en egenverdi λ.
Vi har da at
Ak x0 = λk x0 for hver k ,
og dermed at
xk = λk x0 ,
k ≥ 0.
Dette betyr at vi f.eks. kan finne x500 uten å måtte beregne
x1 , x2 , . . . , x499 eller A500 .
7 / 18
Matlab-kommentar: Matlab-kommandoen
eig(A)
angir egenverdiene til en kvadratisk matrise A.
I ”praksis” bestemmes egenvektor og egenverdi samtidig.
Jf. Matlab-kommandoen
[V, D] = eig(A)
Det finnes effektive numeriske metoder for å beregne egenverdier
og egenvektorer, bl.a. den såkalte QR-algoritmen, som vi kommer
såvidt innpå senere.
8 / 18
To nyttige resultater:
Teorem 1: Egenverdiene til en triangulær kvadratisk matrise er
dens diagonalelementer.
Spesielt: egenverdiene til en diagonalmatrise er, ganske enkelt,
diagonalelementene.
Teorem 2: La A være en n × n matrise og anta at v1 , v2 , . . . , vp er
egenvektorer som tilhører forskjellige egenverdier λ1 , λ2 , . . . , λp .
Da er v1 , v2 , . . . , vp lineært uavhengige.
9 / 18
5.2 Den karakteristiske likningen
Det karakteristiske polynomet til en n × n matrise A er polynomet
pA gitt ved
pA (λ) = det(A − λI ).
Den karakteristiske likningen til A er likningen pA (λ) = 0.
I
I
pA (λ) er et polynom i variabelen λ av grad n, med ledende
koeff. lik (−1)n .
λ er en egenverdi for A ⇔ pA (λ) = 0
Dermed kan A ha høyst n forskjellige egenverdier.
I
Multiplisiteten av en egenverdi λ som en rot i pA kalles den
(algebraiske) multiplisiteten til egenverdien λ. Det kan vises at
dim (EλA ) ≤ multiplisiteten til λ
I
Komplekse røtter i pA kalles komplekse egenverdier til A.
10 / 18
Litt om polynomer og eigenverdier i Matlab:
I
Betrakt polynomet p(λ) = λ2 − 6λ + 5.
I
Sett p = [1 − 6 5].
I
Finner da røttene til p ved kommandoen roots(p)
I
Her får vi:
I
Hvis A er en n × n matrise, vil kommandoen poly(A) regne
ut koeffisientene til polynomet qA (λ) = det(λI − A) .
Merk at
ans = 5
1.
qA (λ) = det(−(A − λI )) = (−1)n pA (λ).
11 / 18


1 2 3
Eksempel. La A =  4 5 6  .
7 8 9
Kommandoen poly(A) gir :
1.0000
-15.0000
-18.0000
-0.0000
Det betyr at
pA (λ) = (−1)3 qA (λ) = −λ3 + 15λ2 + 18λ = −λ (λ2 − 15λ − 18)
Kommandoen roots([1 -15 -18 0]) gir at røttene i qA (og
pA ), og dermed egenverdiene til A, er tilnærmet lik
0, 16.12 og -1.12
Vi får det samme med kommandoen eig(A).
De to siste egenverdiene kan beregnes eksakt:
1
2
(15 ±
√
297) .
12 / 18
Similaritet
To n × n matriser A og B kalles similære hvis det fins en invertibel
n × n matrise P slik at
P −1 AP = B
(Dette er ekvivalent med at A = PBP −1 ).
Avbildningen A → P −1 AP kalles en similaritetstransformasjon.
Legg merke til:
Teorem 4: Similære matriser har samme determinant og samme
karakteristiske polynom; spesielt har de samme egenverdier (med
samme multiplisitet).
13 / 18
Kommentarer:
I
For store matriser er det vanligvis ikke å anbefale å prøve å
finne egenverdiene ved å beregne røttene til det karakteristiske
polynomet. Det å finne røtter i polynomer av høy grad er
nemlig numerisk vanskelig. Matlab gjør faktisk om problemet
til det å bestemme egenverdiene til en passende matrise!
I
Det finnes egenverdi-algoritmer som baserer seg på gjentatte
similaritetstransformasjoner; da bevares egenverdiene (ved
Teorem 4). Idéen er å omforme A ved similaritet til en
triangulær matrise; klarer vi det står jo egenverdiene på
diagonalen! Dette er strategien bak det som kalles
QR-algoritmen.
14 / 18
5.3 Diagonalisering
Anta at A er en kvadratisk matrise som er slik at
P −1 AP = D der P er invertibel og D er en diagonalmatrise.
Da er altså A og D similære og egenverdiene til A er
diagonalelementene til D.
En smart måte å beregne Ak på er å observere at
A2 = PDP −1 PDP −1 = PD 2 P −1 .
Ved induksjon på k får vi at
(∗) Ak = PD k P −1
for k ≥ 1.
Hvis D = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ), er D k = diag (λk1 , λk2 , . . . , λkn ), og
det er lett å beregne Ak ut fra (∗).
Ellers viser (∗) at Ak og D k er similære. Dermed er egenverdiene
til Ak gitt ved λk1 , λk2 , . . . , λkn .
15 / 18
Definisjon. Vi sier at en kvadratisk matrise A er diagonaliserbar
dersom A = PDP −1 for en invertibel matrise P og en
diagonalmatrise D.
Teorem 5 En n × n reell matrise A er diagonaliserbar hvis og
bare hvis den har n lineært uavhengige egenvektorer.
M.a.o., A er diagonaliserbar hvis og bare hvis det fins en basis
for Rn som består av egenvektorer for A (en slik basis kalles
ofte for en egenvektorbasis for A).
Merk:
I
Dersom A = PDP −1 , der P er invertibel og D er
diagonal, så vil kolonnevektorene til P danne en
egenvektorbasis for A.
I
Omvendt, hvis v1 , v2 , . . . , vn danner en egenvektorbasis
for A, og P = v1 v2 . . . vn , så er D := P −1 AP diagonal,
og D = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ) der hver λj er egenverdien
til A som vj tilhører.
16 / 18
”Minimetode” for diagonalisering av en n × n reell matrise A
1. Finn egenverdiene til A: bestem røttene til det karakteristiske
polynomet pA .
2. For hver egenverdi λ, bestem en basis for EλA = Nul (A − λI ).
3. Dersom disse basisene tilsammen består av n egenvektorer, er
A diagonaliserbar:
La da P være matrisen med disse egenvektorene som
kolonner, og la D være diagonalmatrisen med de tilsvarende
egenverdiene langs diagonalen.
————————————
Teorem 6: Hvis en n × n-matrise A har n distinkte egenverdier,
så er A diagonaliserbar.
17 / 18
Hva skjer når A har færre enn n distinkte egenverdier?!
Svaret er i følgende teorem:
Teorem 7: La A være en n × n matrise med distinkte
egenverdier λ1 , λ2 , . . . , λp (så 1 ≤ p ≤ n.)
1. For k ≤ p er dimEλAk ≤ multiplisiteten til λk .
(Vi sier: geometrisk multiplisitet er mindre enn eller lik
algebraisk multiplisitet.)
2. A er diagonaliserbar hvis og bare hvis summen av
dimensjonene til egenrommene til A er lik n; dette skjer
hvis og bare hvis geometrisk og algebraisk multiplisitet er
den samme for hver egenverdi.
3. Hvis A er diagonaliserbar og Bk er en basis for
egenrommet for λk (k ≤ p), så er ∪k Bk en egenvektor
basis for Rn .
18 / 18