EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat‐1004 Lineær algebra Dato: Torsdag 4. juni 2015 Tid: Kl 09:00 – 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller. Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 14 deloppgaver: 1abcd, 2abc, 3abcd, 4abc. Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov. Telefon: 93 67 58 32. NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladd sammen med besvarelsen Begrunn svarene dine, vis fremgangsmåten ved
oppgaveløsningen tydelig!
1
OPPGAVE
Vi ser på et lineært system Cx = b, der
2
a 2
6 1
1
C = 6
4 0 0
0 0
3
2
2
6 1 7
7
b = 6
4 1 5:
2
3
0 0
0 0 7
7;
a 1 5
1 1
a) Beregn determinanten det C. For hvilke a 2 R er matrisen C invertibel?
b) For hvilke a 2 R er systemet konsistent (d.v.s. at det har løsninger)?
c) For hvilke a 2 R har systemet en entydig løsning?
d) For hvilke a 2 R har systemet uendelig mange løsninger?
2
OPPGAVE
Gitt 4 vektorer i R3 :
3 2 31
3 2
3 2
1
1
1
0
(v1 ; v2 ; v3 ; v4 ) = @4 1 5 ; 4 1 5 ; 4 0 5 ; 4 1 5A :
1
1
0
1
02
Betrakt to basiser for R3 (du behøver ikke å sjekke at de er basiser)
G = (v1 ; v2 ; v3 ) ;
H = (h1 ; h2 ; h3 ) ;
der
h1
= v2 ;
h2
= v3 ;
h3
= v4 :
1
a) Finn koordinatvektoren [v4 ]G m.h.t. basisen G (the coordinate vector of
v4 relative to G).
b) Finn overgangsmatrisen
PG
H
fra basisen H til basisen G (the transition matrix from H to G).
Merknad. I læreboka betegnes en slik matrise som PH!G .
c) Finn overgangsmatrisen
PH
G
fra basisen G til basisen H (the transition matrix from G to H).
Merknad. I læreboka betegnes en slik matrise som PG!H .
3
OPPGAVE
Gitt matrisen
2
0
A=4 1
1
3
1
1 5:
0
1
0
1
a) Finn det karakteristiske polynomet (the characteristic polynomial ) til
matrisen A.
b) Vis at 1 og 2 er egenverdier (eigenvalues) til A. Finn alle egenvektorer
(eigenvectors) til A.
c) Undersøk om A er diagonaliserbar (diagonalizable). Hvis svaret er ja,
…nn en invertibel matrise P og en diagonalmatrise D slik at
P
1
AP = D:
d) Undersøk om A er ortogonalt diagonaliserbar (orthogonally diagonalizable). Hvis svaret er ja, …nn en ortogonal matrise Q slik at
QT AQ = D:
4
OPPGAVE
La V = P2 være vektorrommet av polynomer av grad
2 med standardbasisen
G = (g1 ; g2 ; g3 ) = 1; x; x2 ;
og la W = M at2
basisen
2
være vektorrommet av reelle 2
H = (h1 ; h2 ; h3 ; h4 ) =
1
0
0
0
;
2
0
1
0
0
;
2 matriser med standard0
0
1
0
;
0
0
0
1
:
Gitt også matrisene
1
3
2
2
C
=
B
=
1
6
T :V
!W
;
4
1
:
En lineær transformasjon
er gitt ved
T (f ) = f (C) :
For eksempel, hvis
3x + 2x2 ;
f (x) = 4
er
T (f )
3C + 2C 2 =
= f (C) = 4 I2
=
=
4
1
0
0
1
1
3
3
15 6
9 18
2
2
+2
1
3
2
2
2
=
2 W:
a) Vis at matrisen [T ]H G til denne transformasjonen m.h.t. basisene G og
H (the matrix for T relative to the bases G and H) er lik
3
2
1 1 7
6 0 3 9 7
7
[T ]H G = 6
4 0 2 6 5:
1 2 10
Merknad: i læreboka betegnes en slik matrise som [T ]H;G .
b) Finn en basis for kjernen (the kernel ) ker (T ) og nulliteten (the nullity)
til T . Minner om at ker (T ) består av alle vektorer f 2 V (dvs. polynomer) som
tilfredsstiller likningen
0
0
T (f ) = 0 =
0
0
2 W:
Hva er rangen (the rank ) til T ?
c) Finn alle polynomer f , som tilfredsstiller likningen
T (f ) = B:
LYKKE TIL!
3
EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: Mat‐1004 Lineær algebra Dato: Torsdag 4. juni 2015 Tid: Kl 09:00 – 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Lovlige hjelpemiddel: Godkjent kalkulator, to A4 ark eigne notatar og Rottmanns tabellar. Oppgåvesettet er på er 3 sider eks. forside, og inneheld 14 deloppgåver: 1abcd, 2abc, 3abcd, 4abc. Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov. Telefon: 93 67 58 32. NB! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med oppgåvesvaret Grunngi svara dine, vis framgangsmåten ved
oppgåveløysinga tydeleg!
1
OPPGÅVE
Vi ser på eit lineært system Cx = b, der
2
a 2
6 1
1
C = 6
4 0 0
0 0
3
2
2
6 1 7
7
b = 6
4 1 5:
2
3
0 0
0 0 7
7;
a 1 5
1 1
a) Rekn ut determinanten det C. For kva for a 2 R er matrisa C inverterbar?
b) For kva for a 2 R er systemet konsistent (d.v.s. at det har løysingar)?
c) For kva for a 2 R har systemet ei eintydig løysing?
d) For kva for a 2 R har systemet uendeleg mange løysingar?
2
OPPGÅVE
Gitt 4 vektorar i R3 :
3 2 31
3 2
3 2
1
1
1
0
(v1 ; v2 ; v3 ; v4 ) = @4 1 5 ; 4 1 5 ; 4 0 5 ; 4 1 5A :
1
1
0
1
02
Sjå på to basisar for R3 (du treng ikkje sjekke at de er basisar)
G = (v1 ; v2 ; v3 ) ;
H = (h1 ; h2 ; h3 ) ;
der
h1
= v2 ;
h2
= v3 ;
h3
= v4 :
1
a) Finn koordinatvektoren [v4 ]G m.o.t. basisen G (the coordinate vector of
v4 relative to G).
b) Finn overgangsmatrisa
PG
H
frå basisen H til basisen G (the transition matrix from H to G).
Merknad. I læreboka vert ei slik matrise kalla som PH!G .
c) Finn overgangsmatrisa
PH
G
frå basisen G til basisen H (the transition matrix from G to H).
Merknad. I læreboka vert ei slik matrise kalla som PG!H .
3
OPPGÅVE
Gitt matrisa
2
0
A=4 1
1
3
1
1 5:
0
1
0
1
a) Finn det karakteristiske polynomet (the characteristic polynomial ) til
matrisa A.
b) Vis at 1 og 2 er eigenverdiar (eigenvalues) til A. Finn alle eigenvektorar
(eigenvectors) til A.
c) Undersøk om A er diagonaliserbar (diagonalizable). Hvis svaret er ja,
…nn ei inverterbar matrise P og ei diagonalmatrise D slik at
P
1
AP = D:
d) Undersøk om A er ortogonalt diagonaliserbar (orthogonally diagonalizable). Hvis svaret er ja, …nn ei ortogonal matrise Q slik at
QT AQ = D:
4
OPPGÅVE
La V = P2 vere vektorrommet av polynom av grad
2 med standardbasisen
G = (g1 ; g2 ; g3 ) = 1; x; x2 ;
og la W = M at2
basisen
2
vere vektorrommet av reelle 2
H = (h1 ; h2 ; h3 ; h4 ) =
1
0
0
0
;
2
0
1
0
0
;
2 matriser med standard0
0
1
0
;
0
0
0
1
:
Gitt også matrisene
1
3
2
2
C
=
;
B
=
1
6
T :V
!W
4
1
:
Ein lineær transformasjon
er gitt ved
T (f ) = f (C) :
Til dømes, viss
3x + 2x2 ;
f (x) = 4
er
T (f )
3C + 2C 2 =
= f (C) = 4 I2
=
=
4
1
0
0
1
1
3
3
15 6
9 18
2
2
+2
1
3
2
2
2
=
2 W:
a) Vis at matrisa [T ]H G til denne transformasjonen m.o.t. basisane G og
H (the matrix for T relative to the bases G and H) er lik
3
2
1 1 7
6 0 3 9 7
7
[T ]H G = 6
4 0 2 6 5:
1 2 10
Merknad: i læreboka vert ei slik matrise kalla som [T ]H;G .
b) Finn ein basis for kjerna (the kernel ) ker (T ) og nulliteten (the nullity)
til T . Minner om at ker (T ) består av alle vektorar f 2 V (d.v.s. polynom) som
tilfredsstiller likninga
0 0
T (f ) = 0 =
2 W:
0 0
Kva er rangen (the rank ) til T ?
c) Finn alle polynom f , som tilfredsstiller likninga
T (f ) = B:
TIL LYKKE!
3