4.4 Koordinatsystemer
Definisjon: B = b1 , b2 , . . . , bn ⊂ V kalles en basis for et
vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V .
TEOREM 7: (Teoremet om entydig representasjon) Anta at
B = {b1 , b2 , . . . , bn } er en basis for vektorrommet V . For hver
x ∈ V fins da entydig bestemte skalarer c1 , c2 , . . . , cn slik at
x = c1 b1 + c2 b2 + · · · + cn bn .
I
I
I
Vektene c1 , c2 , . . . , cn kalles koordinatene til x med hensyn på
(eller, relativt til) B.
Vektoren [x]B = (c1 , c2 , . . . , cn ) i Rn kalles koordinatvektoren
til x m.h.p. B.
Avbildningen x → [x]B fra V til Rn kalles koordinatavbildningen m.h.p. B.
MERK: Vektorene i B betraktes som ordnet (”ordnet basis”);
bytter vi rekkefølgen vil også koordinatvektoren ombyttes
tilsvarende.
1 / 15
Eksempler.
1) Anta x ∈ Rn og B = {e1 , . . . , en }. Da er [x]B = x .
Så vektorer i Rn er i utgangspunktet koordinatisert m.h.p.
standardbasisen
2) Betrakt b1 = (1, −1), b2 = (2, 1), B = {b1 , b2 } og x = (3, 3).
Da er
[x]B = (−1 , 2).
3) Betrakt P2 og B = {1, t, t 2 }.
Hvis p(t) = a0 + a1 t + a2 t 2 , så er [p]B = (a0 , a1 , a2 ) .
F.eks. er [3 − t + 2 t 2 ]B = (3, −1, 2).
2 / 15
Spesielt om koordinater i Rn
La B = {b1 , b2 , . . . , bn }h være en basisi for Rn og la x ∈ Rn . Da er
x = PB [x]B der PB = b1 b2 . . . bn .
I
Matrisen PB = b1 b2 . . . bn kalles koordinatskiftematrisen
(eller basisskiftematrisen) fra B til standardbasisen i Rn . Den
er invertibel, og [x]B = (PB )−1 x for alle x ∈ Rn .
I
Gitt x ∈ Rn kan vi bestemme koordinatvektoren c = [x]B ved
å løse likningen
PB c = x
med hensyn på c.
I
Dette viser at koordinatavbildningen (m.h.p. B) er lineær, at
dens standardmatrise er (PB )−1 , og at den er 1 − 1 og på Rn .
3 / 15
TEOREM 8: Anta at B = {b1 , b2 , . . . , bn } er en (ordnet) basis for
et vektorrom V . Da er x → [x]B en lineær avbildning fra V til Rn
som er 1-1 og på.
Definisjon: En isomorfi fra et vektorrom V til et vektorrom W er
en lineær avbildning fra V til W som 1 − 1 og på W .
Teorem 8 sier altså at koordinatavbildningen m.h.p. en (ordnet)
basis for V er en isomorfi fra V til Rn .
Korollar til Teorem 8 [fra Notat 1]:
Anta at B = b1 , b2 , . . . , bn er en (ordnet) basis for V .
Betrakt en delmengde S = {u1 , u2 , . . . , up } av V .
Definer
o
n
SB = [u1 ]B , [u2 ]B , . . . , [up ]B
(som er en delmengde av Rn ) og [SB ] ∈ Mn×p ved
h
i
[SB ] = [u1 ]B [u2 ]B · · · [up ]B .
4 / 15
Da har vi at:
I
S utspenner V ⇔ SB utspenner Rn .
I
S er lineært uavhengig i V ⇔ SB er lineært uavhengig i Rn .
I
S er en basis for V ⇔ SB er en basis for Rn
⇔ p = n og matrisen [SB ] er invertibel.
Kommentarer:
I
Viktig konsekvens: Dersom et vektorrom V har en basis med
n elementer, så er antall vektorer i en hvilken som helst annen
basis for V også lik n.
Tallet n kalles dimensjonen til V , se neste avsnitt.
I
Når S er en basis for V , kalles den invertible matrisen [SB ] for
koordinatskiftematrisen fra S til B.
Slike matriser skal vi studere nærmere i avsnitt 4.7.
5 / 15
Nok en kommentar
La R = rref([SB ]). Husk at
I
SB utspenner Rn ⇔ R har pivoter i alle sine rader.
I
SB er lineært uavhengig ⇔ R har pivoter i alle sine kolonner.
I
SB er en basis for Rn ⇔ p = n og R = In .
I praksis bruker vi korollaret til Teorem 8 ved å bestemme SB , lage
matrisen [SB ] og deretter finne R = rref([SB ]).
6 / 15
Eksempel. Vi illustrerer dette med P2 , B = {1, t, t 2 } ,
S = {1 − t 2 , t − t 2 , 2 − t − t 2 } Da er
SB = [1 − t 2 ]B , [t − t 2 ]B , [2 − t − t 2 ]B

 
 

1
0
2
o
n
=  0  ,  1  ,  −1  . Så
−1
−1
−1


1
0
2
1 −1 .
[SB ] =  0
−1 −1 −1

Utregning gir

1 0 2
R = rref([SB ]) =  0 1 −1  . Vi ser at SB
0 0 0
ikke utspenner R3 og at SB er lineært avhengig. Dermed kan vi
konkludere med at S ikke utspenner P2 og at S er lineært avhengig.
7 / 15
4.5 Dimensjon
Vi lar V betegne et vektorrom.
TEOREM 9 og 10. Anta at V har en basis B med n vektorer.
La S være en endelig delmengde av V .
1. Anta S har flere enn n vektorer. Da er S lineært avhengig.
2. Anta S har færre enn n vektorer. Da er V ikke utspent av S.
3. Enhver basis for V har også n elementer.
Definisjon: Et vektorrom V kalles endeligdimensjonalt dersom det
er utspent av en endelig mengde. Hvis ikke, sier vi at V er
uendeligdimensjonalt.
I
I
I
Anta V 6= {0} er endeligdimensjonalt. Da har V en basis (ved
Teorem 5). Antall elementer i en hvilken som helst basis for V
kalles dimensjonen til V , og betegnes med dim V .
Vi setter dim{0} = 0.
Eksempler: dim Pn = n + 1, dim Mm×n = m n
8 / 15
Om dim Col A og dim Nul A
La A være en m × n matrise. Sett R = rref(A). Da gjelder:
I
Kolonnevektorene i A som svarer til pivotene i R danner en
basis for Col A.
Så dim Col A = antall pivoter i R.
I
Vektorene vi får ved å ”separere” de frie variablene når vi skal
angi Nul A på parameterform danner en basis for Nul A.
Så dim Nul A = antall frie variable i systemet A x = 0
= antall kolonner i R som ikke er pivotkolonner.
Merk: dim Col A kalles rangen til A og er tema for avsn. 4.6.
9 / 15
To nyttige teoremer, der V er endeligdimensjonalt, med
dim V = n ≥ 1 .
TEOREM 11: La H være et underrom av V .
Da kan enhver lineært uavhengig delmengde av H utvides (om
nødvendig) til en basis for H.
Videre er H endeligdimensjonalt og dim H ≤ dim V .
TEOREM 12 (”Basis teoremet”). La S være en endelig delmengde
av V , og anta at S består av n vektorer.
I
Hvis S er lineært uavhengig, så er S en basis for V .
I
Hvis S utspenner V , så er S en basis for V .
Eksempel: Betrakt V = Span{sin2 t, cos2 t} og S = {1, cos 2t}.
Siden dimV = 2 og S består av 2 lineært uavhengige vektorer i V ,
så er S er en basis for V .
10 / 15
4.9 Anvendelser: Markovkjeder
Markov kjeder er en spesiell type diskret dynamisk system. Brukes
bl.a. i finans, fysikk, biologi, økonomi, demografiske modeller
(populasjonsmodeller). Er også grunnlaget for rangeringen i
Google, algoritmen kalles Pagerank. Man kan lære mer om
Markovkjeder i STK2130 - Modellering av stokastiske prosesser
Eksempel: Populasjonsmodell.
I
I
I
I
I
Land inndelt i n områder.
Tilstandsvektor x ∈ IRn der xi angir andelen somPbor i område
i (i ≤ n). Da er komponentene ikkenegative og j xj = 1. En
slik vektor kalles ofte en stokastisk vektor.
Antar at hvert år (eller ved angitt tidspunkt) vil en viss andel
flytte fra en region til en annen region. Dette beskrives ved
andeler (sannsynligheter).
pij er andelen av befolkningen i region j som flytter til region i
i løpet av ett år.
Vi antar at denne andelen er den samme for hvert år.
11 / 15
En matrise P = [pij ] kalles (kolonne)stokastisk dersom den er
komponentvis ikkenegativ og hver kolonnesum er lik 1, dvs. hver
kolonne er en stokastisk vektor. Brukes i sannsynlighetsregning:
Markov kjede, pij er da overgangssannsynlighet fra tilstand j til
tilstand i. Slike matriser kalles også Markovmatriser. Eksempel:


1 0.2
0
0 0
 0 0.5 0.2
0 0 



P2 =  0 0.3 0.5 0.2 0 

 0
0 0.3 0.5 0 
0
0
0 0.3 1
Tilbake til populasjonsmodell:
Hvis xk er tilstandsvektor ved starten av tidsperiode k, så blir
tilstandsvektor ved neste periode k + 1 gitt ved
xk+1 = Pxk
12 / 15
Hva skjer langt fram i tid?
xk = Pxk−1 = P(Pxk−2 ) = P 2 xk−2 = · · · = P k x0
Så den asymptotiske fordelingen blir bestemt av matrisen P k .
Elementet i posisjon (i, j) i denne matrisen P k kan tolkes som
sannsynligheten for at en person flytter fra region j til region i i
løpet av k tidsperioder. P k er også en stokastisk matrise.
Oppgave: vis at produktet av to stokastiske matriser er en
stokastisk matrise.
I Matlab skriver man bare x=P∗x i en for-løkke. I eksemplet foran
”får vi konvergens” etter 5 iterasjoner og x = (0.5714, 0.4286).
13 / 15
Definisjon. Hvis P er en stokastisk matrise og q er en stokastisk
vektor slik at
q = Pq
så kalles q en likevektsvektor (equilibrium, steady-state, stasjonær
fordeling).
Teorem: Enhver stokastisk matrise har en likevektsvektor.
Skal senere knytte dette til egenvektorer (som behandles i neste
kapittel).
Vi kan finne en likevektsvektor ved å løse det lineære
likningssystemet.
(P − I )x = O
14 / 15
Numerisk (for store matriser) finner man gjerne likevektsvektor ved
iterasjonen x=P∗x. Men det er da viktig å utnytte sparsity i
matrisen. Samme type beregning ligger bak Google og PageRank
algoritmen!
Definisjon. En stokastisk matrise P kalles regulær dersom, for en
viss k, er alle elementene i P k positive.
I så fall vil alle elementene være positive også i P k+1 , P k+2 , . . ..
Dette svarer til at man kan komme seg fra enhver tilstand til
enhver annen tilstand ved passende mange tilstandsoverganger.
F.eks. hvis pij > 0 for alle i, j, så er P regulær.
TEOREM 18. Hvis P er en regulær stokastisk matrise, så har P en
entydig likevektsvektor q. Videre, hvis x0 er en vilkårlig startvektor
og xk+1 = Pxk for k = 0, 1, . . ., så vil Markovkjeden {xk }
konvergere mot q når k → ∞.
15 / 15