1. No category

MAT1140 H16: Obligatorisk oppgave 2
Innlevering: Innleveringsfristen er torsdag 27. oktober 2016, kl.14.30, og innleveringsstedet er 7. etasje i Niels Nenrik Abels hus. Besvarelsen skal leveres med en offisiell
forside som du finner her:
http://www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-obligforside.pdf
Se for øvrig
http://www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-oblig.html/
for nærmer informasjon om obligatoriske oppgaver ved Matematisk institutt. Husk spesielt å søke om utsettelse til [email protected] før innleveringsfristen dersom du
blir syk!
Instruksjoner: Oppgaven er obligatorisk, og studenter som ikke får besvarelsen godkjent,
vil ikke få adgang til avsluttende eksamen. For å få besvarelsen godkjent må man ha
minst 60% score, og det vil bli lagt vekt på at man har en klar og ryddig besvarelse med
gode begrunnelser. Alle delspørsmål (punktene 1a), 1b), osv.) teller like mye. Du kan
få poeng på en oppgave selv om du ikke er kommet frem til et svar, og det er derfor
viktig at du leverer inn alt du har kommet frem til. Er det et punkt du ikke får til, kan
du likevel bruke resultatet derfra i resten av besvarelsen. Studenter som ikke får sin
opprinnelige besvarelse godkjent, men som har vist at de har gjort et reelt forsøk på å
løse oppgavene, vil få én mulighet til å levere en revidert besvarelse.
Det er lov å samarbeide og å bruke alle slags hjelpemidler. Den innleverte besvarelsen skal imidlertid være skrevet av deg og gjenspeile din forståelse av stoffet. Alle
svar skal begrunnes. Er vi i tvil om at du virkelig har forstått det du har levert inn,
kan vi be deg om en muntlig redegjørelse.
Oppgave 1: Anta at X er en ikke-tom mengde. En familie A av delmengder
av X kalles en σ-algebra dersom følgende krav er oppfylt:
(i) ∅ ∈ A
(ii) Hvis A ∈ A, så er A ∈ A.
(iii) Hvis {An }n∈N er en følge av mengder i A, så er
S
n∈N
An ∈ A.
I resten av oppgaven antar vi at A er en σ-algebra på X.
a) Vis at hvis {An }n∈N er en følge av mengder i A, så er
T
n∈N
An ∈ A.
En funksjon f : X → R kalles målbar dersom f −1 ((−∞, a]) ∈ A for alle a ∈ R.
I resten av oppgaven antar vi at f er en målbar funksjon.
b) Vis at f −1 ((a, ∞)) ∈ A for alle a ∈ R.
c) S
Vis at f −1 ((−∞, b)) ∈ A for alle b ∈ R. (Hint: Bruk at (−∞, b) =
1
n∈N (−∞, b − n ].)
d) Vis at f −1 ([b, ∞)) ∈ A for alle b ∈ R.
e) Vis at f −1 ((a, b)) ∈ A og f −1 ([a, b]) ∈ A for alle a, b ∈ R.
1
Oppgave 2: Et komplekst heltall er et komplekst tall z = a + ib der a, b ∈ Z.
Vi betegner mengden av alle komplekse heltall med G, dvs.
G = {a + ib | a, b ∈ Z}
Normen 1 til et komplekst heltall z = a + ib er N (z) = |z|2 = a2 + b2 .
a) Vis at 1, −1, i og −i er de eneste komplekse heltallene med norm 1.
b) Vis at N (zw) = N (z)N (w) for alle z, w ∈ G.
Vi sier at z ∈ G er delelig med w ∈ G dersom det finnes en q ∈ G slik at z = qw.
c) Vis at 8 + i er delelig med 3 + 2i.
d) Lag en figur som viser hvordan de komplekse heltallene ligger i det komplekse planet. Bruk figuren til å forklare at det for
ethvert komplekst tall
√
v finnes et komplekst heltall u slik at |u − v| ≤ 22 .
e) Anta at z, w er komplekse heltall og at w 6= 0. Vis at det finnes komplekse
heltall q og r, N (r) ≤ N (w)
2 , slik at z = qw + r. Dette kalles gjerne
divisjonsalgoritmen for komplekse heltall. (Hint: Bruk resultatet i forrige
punkt på det komplekse tallet v = wz ).
Vi antar fra nå av at z og w er to ikke-null, komplekse heltall. Hvis z, w begge
er delelig med u ∈ G, sier vi at u er en felles faktor i z og w. Hvis u i tillegg er
delelig med enhver annen felles faktor i z og w, sier vi at u er en største felles
faktor i z og w.
f) Vis at hvis u er en største felles faktor i z og w, så er også −u, iu og −iu
største felles faktorer i z og w. Vis også at det ikke finnes andre største
felles faktorer.
Vi skal vise at z og w har en største felles faktor u, og at u kan skrives som en
kompleks lineærkombinasjon av z og w, dvs. at det finnes tall s, t ∈ G slik at
u = sz + tw.
For å vise dette lar vi
I = {sz + tw | s, t ∈ G}
være mengden av alle komplekse lineærkombinasjoner av z og w.
g) Vis at hvis v ∈ I, så er v delelig med alles felles faktorer i z og w.
h) La u være et ikke-null element i I med minst mulig norm (dvs. N (u) ≤
N (v) for alle ikke-null v ∈ I). Vis at alle elementer i I er delelig med u,
og konkluder med at u er en største felles faktor i z og w.
Vi sier at to komplekse heltall z og w er innbyrdes primiske dersom 1 er en
størst felles faktor.
i) Anta at z, w, v er komplekse heltall og at z og w er innbyrdes primiske.
Vis at hvis wv er delelig med z, så er v delelig med z.
Lykke til!
1 Betegnelsen
norm brukes litt √
annerledes i tallteorien enn i resten av matematikken. Normalt ville vi ha satt N (z) = |z| = a2 + b2 , men i tallteori er det behagelig å ha en norm som
alltid er et heltall, så vi sløyfer kvadratroten.
2