Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016
Oppgave 1
a)
𝑟 = 𝑝 → 𝑞 ≡ ¬𝑝 ∨ 𝑞
𝑠 = ¬𝑝 → ¬𝑞 ≡ 𝑞 → 𝑝 ≡ ¬𝑞 ∨ 𝑝
𝑡 = 𝑝 → 𝑞 ≡ ¬𝑝 ∨ 𝑞
b)
Vi ser av sannehetsverditabellen at uttrykkene (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 og 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) ikke er
ekvivalente.
c)
i)
∀𝑚∃𝑛(𝑛2 = 𝑚)
Med ord:
For alle heltall m finnes det et annet heltall n som, er som opphøyet i 2., er lik
m. Dette betyr at √𝑚 = 𝑛, dvs. at √𝑚 er alltid vil være et heltall. Men √2 er
f. eks. ikke et heltall, så dette er USANT:
ii)
∀𝑚∀𝑛(𝑚𝑛 > 𝑛)
Med ord:
For alle heltall er det slik at hvis vi multipliserer to vilkårlige heltall med
hverandre så vil produktet alltid være større enn en av faktorene.
Men hvis vi lar m være negativ og n være positiv så vil produktet være negativt
og følgelig mindre enn n som er positiv.
Følgelig er utsagnet USANT.
iii)
∃𝑚∀𝑛(𝑛2 = 𝑚)
Med ord:
Det eksisterer et tall m som er slik at alle andre tall som vi opphøyer i 2. er lik
dette m.
1
Hvis dette skulle vært sant, skulle alle tall man opphøyde i 2. blitt lik det
samme tallet m. Det er det selvfølgelig ikke. 22 = 4 er forskjellig fra 32 = 9. Altså
er utsagnet USANT.
Hvis derimot kvantorene bytter plass og vi har ∀𝑛∃𝑚(𝑛2 = 𝑚), vil uttrykket
være sant: For alle heltall n så finnes det et annet heltall som er lik n opphøyet
i 2. Sagt på en annen måte: Kvadratet av ethvert heltall er et heltall.
Multipliserer vi to heltall med hverandre blir produktet også et heltall.
Oppgaven viser at rekkefølgen kvantorene står i har betydning for utsagnets
sannhetsinnhold.
iv)
∀𝑚∃𝑛(𝑛2 − 𝑚 < 100)
Det finnes et heltall n som er slik at når vi opphøyer det i 2. kan vi trekke fra
ethvert annet heltall og få et svar som er mindre enn hundre.
𝑛2 kan ikke være negativt. Hvis jeg f. eks. velger 𝑚 = −100 vil svaret jeg få
være 𝑛2 − 𝑚 ≥ 100. Følgelig er utsagnet USANT.
d)
P(x): x har Mac
Q(x): x har en iPad
i)
«Det finnes en student som . . . » betyr at «det eksisterer en x som . . ». Dermed
må vi bruke eksistenskvantoren. Med andre ord slik:
x(P(x) Q(x))
ii)
Når vi har «alle» må vi bruke all-kvantoren, dvs. slik:
x(P(x) Q(x))
iii)
«Det finnes en . . » betyr at vi må bruke eksistenskvantoren:
x(P(x) Q(x))
iv)
Dette kan vi skrive slik: For alle studenter gjelder at hvis studenten har en iPad, så
har studenten en Mac. «For alle» gir at vi må bruke all-kvantoren og hvis at vi har
en implikasjon. Dette kan settes opp slik:
x(Q(x)P(x)) .
Det er mulig å skrive det annerledes. Husk at hvis a og b er to utsagn, så er ab
ekvivalent med a b .
Dermed får vi at
x(Q(x)P(x)) er ekvivalent med x(Q(x) P(x)) som igjen er ekvivalent med
(DeMorgans lov) x(Q(x) P(x)) .
Dette oversettes til:
Det er ingen studenter som har iPad uten at de har en Mac.
2
Oppgave 2
a)
i) 𝐴 ⨁ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) = {1, 7} ∪ {4, 5} = {1, 4, 5, 7}
ii) (𝐴 ⨁ 𝐵) ⨁ 𝐶 = {1, 4, 5, 7} ⨁{ 3, 5, 6, 7} = {1, 3, 4, 6}
b)
i)
ii)
c) For eksempel (𝐴 − 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)
d)
La D være mengden av de som tar Diskret matematikk, P de som tar Programmering og W de
som tar Webprosjekt. En oppgave av denne typen kan løses på flere måter. En måte er å bruke
formler for antall i mengder. En annen måte er å «fylle ut» et Venn-diagram. Det er normalt
enklest å bruke Venn-diagram.
1) Formler for antall i mengder
Inklusjon-eksklusjonsformelen sier at
| DPW| | D| | P | |W| | DP | | DW| | PW| | DPW|
1) Vi får | DPW| = 180 + 166 + 178 – 156 – 160 – 152 + 150 = 206. Dvs. 206 som tar
minst ett emne. Da blir det 220 – 206 = 14 som ikke tar noen emner.
2) Vi skal finne antallet i DP W. Denne mengden er lik DP DPW og
3
siden DPW er en delmengde av DP får vi at | DP DPW| blir lik
| DP | | DPW|. Dermed blir svaret 156 – 150 = 6.
3) På samme måte som i b) kan vi finne at |DWP | = 10 og | PWD| = 2. Svaret
blir derfor 6 + 10 + 2 = 18.
4) Her skal vi finne antallene i D(WP), P (DW) og W(DP).
Antallet i D(WP) er lik antallet i DD(WP) og | DD(WP) | =
| D| | D(WP) |. Videre har vi at D(WP) (DW) (DP). Dermed
blir | D(WP) | | DW| | DP | | DPW| . Til sammen får vi at
|D(WP) | = 180 – (160 + 156– 150) = 14. Antallet til P (DW) blir 8 og antallet
til W(DP) blir 16. Svaret blir derfor 14 + 8 + 16 = 38.
2) Bruk av Venn-diagram
Dette er normalt den enkleste og raskeste metoden. Opplysningene legges inn i et
Venndiagram slik at hvert tall står for antallet elementer i den delen der tallet står. Da
starter vi med å fylle området i midten. Det representerer mengden DPW der antallet er
150. Så fortsetter vi utover. Mengden DP har to deler. Det er DPW og DP DPW.
Siden antallet i DP er 156 og antallet i DPW er 150, blir antallet i DP DPW
lik 156 – 150 = 6. Osv. Det gir oss flg. utfylte Venn-diagram:
i) Her skal vi finne antallet i mengden U (D P W). Det blir 220– 206 = 14
ii) Her skal vi finne antallet i mengden (D P) W. Det blir 6.
iii) Her skal vi finne antallet i mengden ((D P) W) ((P W) D) ((D W) P).
Det blir 6 + 10 + 2 = 18.
iv) Her skal vi finne antallet i mengden (D(P W) (P (D W) (W (D P)) .
Det blir 14 + 8 + 16 = 38.
4
e)
NB! Universal mengden tallene fra 1 til 9, dvs. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Hvis man har tolket universalmengden som U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, blir det et element mindre i de
seks siste deloppgavene.
i) AB = {3, 4, 5}
ii) AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
iii)
= {6, 7, 8, 9}
iv)
= {1, 2, 8, 9}
v)
= {1, 2, 6, 7, 8, 9}
vi)
= {1, 2, 6, 7, 8, 9}
vii)
= {8, 9}
viii)
Vi ser at
= { 8, 9}
=
og
=
Oppgave 3
Vi ser at f er en-til-en siden det ikke går mer enn én pil inn til noe element i B. f er også
på siden det går en pil til alle elementene i B.
Funksjonen g er derimot ikke en-til-en siden det går to piler inn til elementet x. Men g er
på siden det går en pil til alle elementene i C.
ℎ=𝑔𝑜 𝑓
h(1) g(f(1)) = g(c) = y
h(2) g(f(2)) = g(a) = z ,
h(3) = g(f(3)) = g(d) = x
h(4) = g(f(4)) = g(b) = x.
Funksjonen h har ingen invers siden den ikke er en-til-en.
5
i)
𝑓(0) = (0 𝑚𝑜𝑑 3) + ( 0 𝑚𝑜𝑑 7) = 0
𝑓(4) = (4 𝑚𝑜𝑑 3) + ( 4 𝑚𝑜𝑑 7) = 1 + 4 = 5
𝑓(10) = (10 𝑚𝑜𝑑 3) + (10 𝑚𝑜𝑑 7) = 1 + 3 = 4
𝑓(12) = (12 𝑚𝑜𝑑 3) + (12 𝑚𝑜𝑑 7) = 0 + 5 = 5
ii)
𝑘 𝑚𝑜𝑑 3 vil alltid være mindre eller lik 2, dvs. 0, 1 eller 2, mens 𝑘 𝑚𝑜𝑑 7 alltid vil
være mindre eller lik 6, dvs. 0, 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Dermed vil 𝑓(𝑘) alltid være mindre
eller lik 8. Følgelig finnes det ingen k slik 𝑓(𝑘) = 9 .
Det finnes imidlertid en k slik at 𝑓(𝑘) = 8.
Vi kan finne k ved å løse ligningssettet
𝑘 𝑚𝑜𝑑 3 = 2
𝑘 𝑚𝑜𝑑 7 = 6
Hvis vi for eksempel velger k = 20 får vi
𝑓(20) = (20 𝑚𝑜𝑑 3) + (20 𝑚𝑜𝑑 7) = 2 + 6 = 8.
iii) 𝑉𝑓 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
iv) 𝑓 er ikke en-til-en fordi forskjellige verdier for k kan gi samme funksjonsverdi, for
eksempel 𝑓(4) = 𝑓(12) = 5.
v) 𝒇 er ikke på fordi 𝑉𝑓 er forskjellig fra verdiområdet. 𝑉𝑓 er en delmengde av
verdiområdet.
Oppgave 4
6
Oppgave 5
For at et matriseprodukt 𝐴𝐵 skal være definert må antallet kolonner i 𝐴 være lik antallet
rader i 𝐵.
Vi ser at 𝐴 er en 2x3-matrise, 𝐵er en 3x2-matrisen og 𝐶 er en 3x3-matrise.
Dermed får vi at
i)
ii)
iii)
𝐴𝐵 er definert
𝐵𝐴 er definert
𝐴𝐶 er definert
7
iv)
v)
vi)
𝐶𝐴 er ikke definert
𝐵𝐶 er ikke definert
𝐶𝐵 er definert
b)
8