1
Virtuelt arbeid for stive
legemer
Innhold:
 Arbeidsbegrepet i mekanikk
 Prinsippet om virtuelt arbeid for stive legemer
Litteratur:
 Irgens, ”Statikk”, kap. 10.1 – 10.2
 Hibbeler, ”Statics”, kap. 11.1 – 11.3
 Bell, ”Konstruksjonsmekanikk – Del I Likevektslære”, kap. 11.1 –
11.2
 Cook & Young, ”Advanced Mechanics of Materials”, kap. 4.1
 Barber, ”Intermediate Mechanics of Materials”, kap. 3.1
 Tipler & Mosca, ”Physics for Scientists and Engineers”, kap. 6-1 og
6-2
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
1-1
Virtuelt arbeid for stive legemer
Arbeid
En kraft F gjør arbeid W når
den virker over en forskyvning r
F
W = Fr
r
(Kraft || forskyvning)
F
Noe mer generelt: Kraft og
forskyvning er vektorer

W = F∙r = Fr∙cos
(Skalarprodukt)
r
Generelt: Forskyvningen er ikke
nødvendigvis rettlinjet
W   F  dr
dr
s
F
s
(Integrerer langs kurve s)
M
Arbeid pga moment M
W = M

(Moment ganger vinkel)
Karakteristisk for arbeid:
 Enhet J = Nm
 Skalar størrelse (ikke vektor!)
 W kan være positiv eller negativ
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
1-2
Virtuelt arbeid for stive legemer
Virtuelt arbeid for partikkel
Anta at en partikkel er påkjent av et sett
med krefter, og at partikkelen er i likevekt:
F1
F2
F = 0
F3
(Newtons 1. lov; vektorsum)
Partikkelen gis nå en virtuell (tenkt) forskyvning r  rxi  ry j  rzk .
Kreftene virker stadig på partikkelen. Arbeidet som kreftene
utfører over forskyvningen r kalles virtuelt arbeid W
Utregning av virtuelt arbeid:
W   F  r
 i F  j F  k  F    r i  r
  F  r   F  r   F  r
x
x
y
x
z
y
x
y
z
z
F1
r
y j  rzk 
F2
F3
0
(Newtons 1. lov; vektorsum)
Det totale virtuelle arbeidet er lik null fordi partikkelen er
forutsatt å være i likevekt.
Virtuell forskyvning:
 ”Virtuell” vil si en hypotetisk, vilkårlig forskyvning
 Notasjon varierer: Tilde-symbolet ( r ), differensial (dr) eller
-symbol (r). I TKT4124 brukes stort sett tilde-symbolet
 Velges fritt, men må ikke endre kreftenes retning
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
1-3
Virtuelt arbeid for stive legemer
Prinsippet om virtuelt arbeid
Generalisering:
 Har legemer med endelig utstrekning
 Forutsetter likevekt, dvs. F = 0 og M = 0
 Et vilkårlig virtuelt forskyvningsfelt r  r( x, y, z ) av et
legeme består av to komponenter: translasjon ru og
rotasjon r . Kan vise at virtuelt arbeid relatert til ru er lik
null hvis F = 0 , og at det virtuelle arbeidet pga r er lik
null hvis M = 0.
=
+
ru
r
r
Stadig:
PRINSIPPET OM VIRTUELT ARBEID FOR STIVE LEGEMER:
For et system i likevekt er det totale virtuelle arbeidet på grunn
av et vilkårlig virtuelt forskyvningsfelt lik null:
W  0
 Veldig nyttig prinsipp i analytisk mekanikk.
 Alternativ metode (i stedet for likevektsligninger) til å finne
krefter i stive (ikke-deformerbare) konstruksjoner. Nå!
 Mest relevant for deformerbare systemer, men må da
inkludere indre deformasjonsarbeid. Senere!
 Utgangspunkt for tilnærmede løsningsmetoder, f.eks
elementmetoden. Noe i TKT4124, og mye i senere kurs!
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
1-4
Virtuelt arbeid for stive legemer
Eksempel 1.1: Bjelke
q
A
B
F = qL
L
Bestem innspenningsmomentet MA ved å velge et hensiktsmessig virtuelt forskyvningsfelt, og bruke prinsippet om virtuelt
arbeid.
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
1-5
Virtuelt arbeid for stive legemer
Eksempel 1.2: Fagverk
B
C
4a
A
F
D
E
P
3a
3a
3a
3a
Bestem stavkraften NBC ved å velge et hensiktsmessig virtuelt
forskyvningsfelt, og bruke prinsippet om virtuelt arbeid.
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
1-6
Virtuelt arbeid for stive legemer
Eksempel 1.3: Ramme
q
F = qa
C
3a
B
a
A
2a
a
Bestem reaksjonskraften Bx ved å velge et hensiktsmessig
virtuelt forskyvningsfelt, og bruke prinsippet om virtuelt arbeid.
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
1-7
Virtuelt arbeid for stive legemer
Eksempel 1.4: Mekanisme
Hver av komponentene AB, BC og CD i mekanismen har
masse 8 kg og lengde a = 300 mm. Bestem vinkelen  når
momentet M = 50 Nm og fjærstivheten k = 2500 N/m. Fjæren er
alltid horisontal, og ubelastet når  = 0°. Sett g = 10 m/s2.
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
1-8
Virtuelt arbeid for stive legemer
Prinsippet om virtuelt arbeid for stive
legemer – løsningsstrategi
Begrepet ”stive legemer” indikerer at selve legemet ikke
deformeres (tøyes) når det belastes. Dette tilsvarer at Emodulen er uendelig stor.
Beregning av ukjente krefter (eller momenter) med prinsippet
for virtuelt arbeid:
1. Ta utgangspunkt i systemets posisjon (konfigurasjon) når
det er i likevekt.
2. Velg et virtuelt forskyvningsfelt som er slik at kun én ukjent
kraft (eller moment) gjør arbeid.
3. Regn ut det virtuelle arbeidet som samtlige krefter gjør
over det valgte, virtuelle forskyvningsfeltet. Det er vanligvis
enklest å uttrykke arbeidsbidragene som funksjon av
virtuell vinkel (dreining)  . Pass på fortegn på bidragene.
Ofte vil en eller flere av kreftene gjøre null arbeid fordi det
virtuelle forskyvningsfeltet er valgt slik at det ikke er noen
forskyvning der kraften angriper.
4. Prinsippet om virtuelt arbeid (– som forutsetter at systemet
er i likevekt i startkonfigurasjonen): W  0 .
5. Fra ligningen W  0 kan den ukjente størrelsen (kraft
eller moment) regnes ut.
TKT4124 Mekanikk 3, høst 2016
1-9
Virtuelt arbeid for stive legemer