1. No category

1
MATEMAATTINEN AJATTELU JA KIELI
- mielenkiintoinen ulottuvuus
uudessa opetussuunnitelmassa
Jorma Joutsenlahti
2
Johdanto
Kun katsoo peruskoululaisen tai lukiolaisen matematiikan vihkoa, niin huomaa
sen sisältävän mahdollisten taulumuistiinpanojen lisäksi lähes pelkästään
siististi allekkain kirjoitettuja matemaattisia lausekkeita. Siellä täällä jokin kuvio
saattaa olla suoritusten tukena. Vihko sisältää koulumatematiikan hyvin määriteltyjen tehtävien pelkistettyjä ratkaisuja matemaattisin symbolein. Oppilaat
tarkistavat kotitehtävät joko vastauskirjasta, jolloin tarkistetaan pelkkä vastauksen oikeellisuus, tai yhdessä taululta (kalvolta tms.), jolloin itse ratkaisun
kulkukin tulee tarkastelun kohteeksi. Läheskään aina oppilaat eivät selitä omia
ratkaisujaan muille, ja tuskin koskaan ratkaisu sisältää äidinkielellä esitettyjä
selventäviä väliotsikoita lauseista puhumattakaan. Oppilaiden matematiikan
vihoista ja muille esitettävistä ratkaisuista siis puuttuu omaa ajatteluprosessia
kuvaava kieli, jolla oppilas voisi kuvata ja jäsentää ratkaisunsa niin muille kuin
itselleenkin. Niukka ja täsmällinen ilmaisu ratkaisuissa on ollut vallitseva toimintakulttuuri matematiikan opiskelussa jo vuosikymmeniä. Tiivis esitystapa
kulminoituu mm. matematiikan ylioppilaskirjoituksissa, joiden tuloksia tarkastellessaan ylioppilastutkinto-lautakunnan puheenjohtaja A. Lahtinen on toistuvasti esittänyt huolensa opiskelijoiden puutteellisesta argumentointitaidoista
(esim. Dimensio 6/99).
Uudet opetussuunnitelman perusteet luokille 1−2 tulee ottaa käyttöön viimeistään 1.8.2003. Matematiikan osalta perusteissa asetetaan muun muassa seuraavia tavoitteita (Anon., 24) :
Oppilas saa monipuolisia kokemuksia eri tavoista esittää matemaattisia käsitteitä. Käsitteiden muodostusprosessissa keskeisiä ovat puhuttu ja kirjoitettu kieli, välineet, symbolit sekä tarkoin harkitut ja johdonmukaiset opetusmenetelmät.
Oppilas oppii perustelemaan ratkaisujaan ja päätelmiään konkreettisin
mallein ja välinein, kuvin, kirjallisesti ja suullisesti.
Nämä tavoitteet ovat ilmeisesti keskeisiä myös perusopetuksen luokkien 3−9
matematiikan tavoitteissa, koska niissä mainitut taidot ovat tärkeitä matematiikan opiskelussa. Siksi kyseisten valmiuksien hankkiminen on välttämätöntä jo
matematiikan opiskelun alkuvaiheessa matemaattisen tiedon sisällön ja rakenteen ymmärtämiseksi sekä liittämiseksi oppijan omaan tietorakenteeseensa.
Hyvän osaamisen kuvauksessa toisen luokan päättyessä korostuu kielen
merkitys kommunikaation välineenä luokka-yhteisössä jo ensimmäisessä virkkeessä (Anon., 25):
Oppilas osoittaa matematiikkaan liittyvien käsitteiden ymmärtämistä
käyttämällä niitä ongelmien ratkaisuissa, esittämällä niitä monipuolisesti (välineillä, kuvilla, symboleilla, sanoilla, lukujen avulla tai diagrammeilla) ja selittämällä niitä toisille oppilaille ja opettajalle.
3
Tällainen opiskelukulttuuri on tyypillistä niin sanotussa unkarilaisessa
matematiikan opetuksessa (ks. Näätänen 2001), jota on Suomenkin kouluissa
alettu suosia. Oppimisen teoreettisena viitekehyksenä voidaan tällä hetkellä
pitää sosiaalista konstruktivismiä, jossa korostetaan tiedon sosiaalista ja
kulturaalista alkuperää. Erityisesti kielen asema on keskeinen. Ernest (1996)
näkee sosiaalisen konstruktivismin lähtökohdiksi sekä Piaget’n yksilökeskeistä
että Vygotskin sosiaalista kontekstia ja kielen merkitystä korostavia teorioita;
niissä nähdään oppija oman tietonsa rakentajana. Myös luokkayhteisöllä on
tärkeä osuus kunkin oppilaan oppimisessa.
Käsittelen tässä artikkelissa matematiikan didaktiikan näkökulmasta uuden
opetussuunnitelman keskeistä käsitettä matemaattinen ajattelu ja sen
yhteyttä kieleen: puhuttuun tai kirjoitettuun äidinkieleen, piirroksiin sekä
matematiikan symbolikieleen.
Kuva: perinteistä vihkotyöskentelyä
4
2 MATEMAATTINEN AJATTELU
Matemaattinen ajattelu on käsitteenä esiintynyt pitkään sekä ainedidaktisessa
kirjallisuudessa (ks. Joutsenlahti 1997) että myös kouluhallinnon asiakirjoissa.
Käsitteen sisältö ei kuitenkaan ole vakiintunut, vaan eri kirjoittajat määrittelevät sen eri tavoin omista tutkimuslähtökohdistaan käsin. Sternberg (1996) antaa esimerkkejä erilaisista lähestymistavoista matemaattiseen ajatteluun. Psykometriikan tutkija kysyy, mitkä kykyfaktorit ovat keskeisiä matemaattisessa
ajattelussa. Kognitiivisen psykologian tutkija puolestaan kysyy, mitkä mentaaliset prosessit ja representaatiot ovat relevantteja matemaattisessa ajattelussa. Kulttuuriorientoitunut ajattelun tutkija määrittää, mitkä ajattelun elementit
ovat vuorovaikutuksessa kulttuurin kanssa. Koulutuksen tutkija miettii, mitkä
oppilaan ohjaamisen periaatteet ovat relevantteja matemaattisen ajattelun
kehittymisessä. Matemaatikko saattaa kysyä, mitkä ajattelun näkökulmat ja
oppijan affektit ovat tärkeitä ajattelulle. Nämä lähestymistavat matemaattiseen
ajatteluun Sternberg (1996, 304-314) on nimennyt seuraavasti (suomennokset
kirjoittajan):
Psykometrinen lähestymistapa (The psychometric approach)
Informaation prosessointia tutkiva lähestymistapa (The computational approach)
Antropologinen lähestymistapa (The anthropological approach)
Pedagoginen lähestymistapa (The pedagogical approach)
Matematiikan lähestymistapa (The mathematical approach).
Itse asiassa kaikki mainitut näkökulmat tulevat esille myös uusissa matematiikan opetussuunnitelmissa. En nyt tarkastele enempää kyseisten lähestymistapojen mukaisia matemaattisen ajattelun määritelmiä, mutta jo lähestymistapojen erilaisuus osoittaa, että yksiselitteisen määritelmän luominen käsitteestä
matemaattinen ajattelu lienee mahdotonta.
Kiinnostuksen kohteena koulumaailmassa ovat olleet matematiikan opiskeluun liittyvät oppijan ajatteluprosessit, joiden tasoa ja sisältöä on perinteisissä
tutkimuksissa mitattu testien tuotoksista. Niistä tutkijat ovat pyrkineet jälkikäteen arvioimaan suorituksen oikeellisuutta ja oppilaan ajatteluprosessin kulkua
tehtävän lähtötilanteesta sen lopputilanteeseen. Oppilaan ajattelun reaaliaikainen seuraaminen saattaa onnistua kuuntelemalla oppilaan ”ääneen ajattelua”, mutta sekin on mahdollista vain yhden oppilaan kohdalla kerrallaan. Jos
taas oppilaat kirjoittavat tehtävien ratkaisun kulun perusteluineen vihkoonsa,
niin opettaja voi siitä seurata prosessin etenemistä ja ymmärtää oppilaan
mahdollisia ongelmakohtia.
Ajattelussa prosessoitavan tiedon luonne on keskeinen vaikuttava tekijä oppimisessa. Hiebert ja Lefevren (1986) jakavat tiedon konseptuaaliseen (conseptual knowledge) ja proseduraaliseen tietoon (procedural knowledge).
Edellinen on tietoa riippuvuuksista (käsitetietoa) ja jälkimmäinen käsittää formaalin kielen ja käsitteen symboliset esitykset sekä säännöt, toimintakaavat ja
algoritmit ongelmien ratkaisemiseksi (menetelmätieto). Jako ei ole täydellinen,
sillä kaikkea tietoa ei voida jakaa näihin luokkiin. Toisaalta jokin tieto voi sisältää molempien mainittujen tiedon lajien ominaisuuksia.
5
Matemaattinen algoritmi on vaihe vaiheelta ohjattu matemaattisten operaatioiden suoritusjono, jossa jokainen suoritusaskel on perusteltavissa: näin syntyvä tieto on erotettavissa omaksi lajikseen. Matematiikan koulutehtävissä ratkaisun muodostaa proseduurien jono tehtävän annon ja tehtävän vastauksen
välillä. Nämä proseduurit voivat olla tyypiltään joko standardeja kirjoitettuja
matemaattisia symboleja kuten 5, +, = tai ei-symbolisia objekteja kuten konkreettiset objektit, mentaalimallit, ongelman-ratkaisustrategiat. Koulukokeet mittaavat pääasiassa proseduraalista tietoa, sillä koetehtävät ovat pääasiassa
niin sanottuja hyvin määriteltyjä tehtäviä, joissa mitataan oppijan taitoja hallita
erilaisia operaatioita annetuilla symboleilla tai ongelmanratkaisutaitoja jollakin
ennalta harjoitetulla prose-duurijonolla (Hiebert&Lefevre 1986, Haapasalo
1998).
Konseptuaaliselle tiedolle on ominaista sen kytkeytyminen muihin tietoyksikköihin, jolloin se on aina osa laajempaa tietoverkkoa. Opittu matemaattinen
tieto sisältää aina merkityksellistä ja perustavaa laatua olevia yhteyksiä konseptuaalisen ja proseduraalisen tiedon välillä. Jos käsitteet ja proseduurit eivät ole toisiinsa kytkeytyneitä, niin opiskelijat saattavat löytää annettuihin matemaattisiin ongelmiin ennalta harjoiteltuja ratkaisumalleja (proseduurijonoja),
mutta eivät varsinaisesti ymmärrä tekemäänsä.
Matemaattinen ajattelu on tiedon prosessointia edellä esitetyn listan 2. kohdan
näkökulmasta. Matemaattista ajattelua voidaan tarkastella sekä yksilön ajatteluna että myös esimerkiksi luokkayhteisön ilmiönä. Luokkayhteisön sosiaalisessa kontekstissa ajattelun taso kehittyy usein korkeammalle kuin sitten yksilön ajattelun mittauksissa. Ryhmän tulos on usein parempi kuin sen osien
summana saatu tulos. Mittaammeko me vain yksilön ajattelua, mutta emme
hänen ajattelutaitojaan ryhmässä? Kuitenkin työelämässä edellytämme jokaisen toimivan menestyksellisesti erityisesti ryhmän jäsenenä.
Käsitteen sisältö
SY
M
O
IS
L
BO
- assosiaatiot
-mielipiteet
-aikaisemmat tiedot
-havainnot
I
VIITTAA
Ulkoinen tarkoite
Käsitteen ilmaisu
-puhuttu tai kirjoitettu sana
-symbolit (mm. mat. kieli)
-piirrokset, eleet tms.
ESITTÄÄ
-esine, asia, ilmiö
- ominaisuus tms.
-toimintamateriaali
(c) JoJo
6
Tietoa ja sen ymmärtämistä voidaan tarkastella käsitteiden näkökulmasta,
jolloin kielen merkitys tulee selkeämmin esille opeteltaessa muun muassa matemaattisia käsitteitä.
Käsitteet
Seuraavassa lyhyessä käsitteen syntyä esittelevässä osassa taustalla on Vygotskin teoria käsitteen synnystä. Varsinaisen teorian osalta viittaan tässä yhteydessä ainoastaan teoksiin Ajattelu ja kieli (Vygotski 1982) ja Äidinkieltä peruskoulussa (Pynnönen 2002). Matemaattisten käsitteiden syn-nyn osalta olen
käyttänyt lähdeteoksena ”Matematik som språk” (Høines 2000).
Viimeksi mainitussa teoksessa on luotu käytännön läheinen malli oppilaan
oppimisprosessista. Tässä mallissa käsite jää hieman epämääräiseksi esimerkiksi Vygotskin käsitteen kehittymiseen liittyvään teoriaan verrattuna.
Oppijan kehitystaso vaikuttaa käsitteiden oppimiseen (yhdistelmäkäsitteet,
aidot käsitteet), mutta sitä ei huomioida Høinesin mallissa. Olen muokannut
kyseistä mallia sen puutteista huolimatta, sillä mielestäni se on käytännön läheinen ja palvelee tässä artikkelissa esittämiäni näkökohtia kohtuullisen hyvin.
Uusien käsitteiden opiskelun lähtökohtana tulee olla oppilaiden olemassa olevat tiedot ja taidot, jotka he kokevat merkityksellisiksi. Käsite muodostuu käsitteen sisällöstä ja ilmaisusta.
Nämä ovat kuin paperin kaksi puolta; eroteltavissa toisistaan, mutta kuitenkin
erottamattomat. Toista ei voi olla olemassa ilman toista. Käsitteen sisältö viittaa aina johonkin ulkoiseen tarkoitteeseen, joka voi olla esine, asia, ominaisuus tai mikä hyvänsä havaittava kohde. Käsite on tämän tarkoitteen representaatio. Ilmaisu voi olla puhuttua tai kirjoitettua kieltä, symboleja, piirroksia
yms.
Matemaattisten käsitteiden opetuksessa toimintamateriaali on todettu erinomaiseksi opetusvälineeksi (esim. Lindgren 1990). Matematiikassa uudet käsitteet rakentuvat aikaisemmin opittujen varaan, joten niiden hallitseminen on
varmistettava ennen uusien käsitteiden opiskelua. Toimintamateriaalin ja tarkoituksenmukaisten esimerkkien avulla oppilas luo käsitteen sisältöä, johon
vaikuttavat voimakkaasti myös opiskeltavaan asiaan assosioituvat oppilaan
kokemukset ja uskomukset. Kun oppilas saa ilmaista opiskeltavan käsitteen
sisältöä itse valitsemallaan tavalla (puhumalla omalla terminologiallaan, piirtämällä jne.), niin opettaja ja muut oppilaat saavat kuvan tämän oppilaan käsitteen ymmärtämisestä. Matemaattisen käsitteen kielentäminen on myös osa
oppilaan käsitteen konstruointiprosessia, sillä ilmaistessaan muille sisältöä
hän joutuu pohtimaan käsitteen keskeisiä piirteitä ja reflektoimaan sekä jäsentämään matemaattista ajatteluaan. Muut oppilaat voivat samalla verrata
oppimansa käsitteen sisältöä toisen oppilaan ilmaisuun ja muovata keskustelun avulla sekä omaansa että toisten oppilaiden käsitteen sisältöä. Oppilaan
ilmaisussa tulee esille myös hänen asiaan liittyvät uskomuksensa, joita voidaan tarvittaessa muuttaa.
7
4 Opettajan rooli matematiikan kielentämisessä
Opettajan tehtävä on suunnitella opetusjärjestelyt, joissa toimintamateriaalit,
esimerkit, mallit yms. on etukäteen tarkoin harkittu. Opettaja saa viitteitä oppilaan ajatteluprosesseista seuraamalla oppilaan toimintaa ja arvioimalla oppilaan käsitteen kielentämisessä syntyvää kuvaa opettajan ymmärtämään käsitteen sisältöön. Matematiikan tunnilla olisi tärkeää mahdollisimman monen oppilaan olla kielentämässä omia sisältöjään matemaattisille käsitteille vaikkapa
erilaisten esimerkkien johdattelemina, kotitehtävien tarkistamisessa, projektien
purkamisessa ja muussa sellaisessa. Näin opettaja (ja muut oppilaat) voi(vat)
hyvissä ajoin korjata vääriä uskomuksia käsitteiden sisällöstä ja kaikille läsnäolijoille tulee mahdollisuus reflektoida omaa käsitteen sisältö.
K äsitteen sisältö
O ppila s
- muokka a sisältöä
kokem usm aailma nsa kautta
- ilmaistessa sisä ltöä refle ktoi
myös itse aja tte luaa n
Muut oppilaat
arvioivat ja
reflektoivat
oppilastoverin
ilmaisua ja
samalla rakentavat
itse käsitteen
sisältöä
K äsitteen ilm aisu
Opettaja
- sallii oppilaan ilmaista
käsitteen oppilaan omalla
tavalla
- arvio sisältöä
- ohjaa keskustelun ja
opetusjärjestelyjen avulla
sisällön muovautumista
U lkoine n tarkoite
Opettaja
suunnittelee
tarkoituksen mukaiset
opetusjärjestelyt
(toimintamateriaalit,
esimerkit)
© JoJo
8
Opetusjärjestelyihin kuuluu, että opettaja järjestää tällaisia mahdollisuuksia
oppilailleen. Käytännössä isoissa opetusryhmissä vain pieni osa oppilaista voi
tunnin aikana kielentää omaa matemaattista ajatteluaan muulle luokalle. Tämän vuoksi oppilaita tulisi ohjata selostamaan matemaattisia ratkaisujaan vaihe vaiheelta vihkoon. Opittuaan kirjoittamaan oppilas voi jäsentää omia soveltavien tehtävien ratkaisujaan pienillä väliotsikoilla − Autoja on yhteensä …
kappaletta, rahaa kului ostoksiin yhteensä … euroa, kilohinta on … euroa − ja
vähitellen opetella kirjoittamaan esiin ratkaisunsa johtoajatuksen.
Tällainen ajattelun kielentäminen avaa opettajalle mahdollisuuden arvioida
jokaisen oppilaan ajatteluprosessia ja käytettyjen käsitteiden sisällön oikeellisuutta. Pelkkä matemaattisten lausekkeiden jono vihossa tai taululla ei vielä
välttämättä kerro sivusta katsojalle perusteluja, miksi juuri näin on tehty ja
mikä on ratkaisuperiaate. Muille esitetyissä ratkaisuissa taululla tai piirtoheittimellä väliotsikointi jäsentää esityksen helpommin seurattavaksi, kun oppilas
itse vielä selittää ratkaisunsa periaatteen ja perustelut. Samalla oppilas myös
jäsentää omaa ajatteluaan, ja opittu tieto voi muuttua konseptuaaliseksi, kun
se verkottuu muihin tietoyksiköihin kielen kautta.
Kuva: matemaattista ajattelua dokumentoidaan lauseilla.
9
5 Mitä voitaisiin muuttaa matematiikan opiskelun
työskentelytavoissa?
Olen vuonna 2001 kokeillut matematiikan kielentämistä didaktisen matematiikan aineopintoihin (15 ov) kuuluvalla kurssilla ”Matematiikkaa tietokoneympäristössä”. Kasvatustieteen päivillä Tampereella 2001 (Joutsenlahti 2002) esitin
tuloksia. Ne niveltyvät uusien opetussuunnitelman perusteiden tavoitteisiin,
joiden mukaan oppilaiden toimintaa tulee ohjata matematiikan opetuksessa.
Tavoitteissa tulee selkeästi esille kielenkäytön merkitys matematiikan opiskelussa. Oppilaan puhe matematiikan tunneilla opetuskeskustelussa ja tehtävien
käsittelyssä on tiedostettu tärkeäksi jo aikaisemmissakin opetussuunnitelmissa, vaikka kirjallinen ilmaisu ongelman ratkaisun yhteydessä on jäänyt vähälle
huomiolle. Tämän vuoksi voitaisiin matematiikan opiskelussa hyvin alkaneen
puhekulttuurin rinnalla tuoda ajatusten kirjallista ilmaisua vihko-, taulu- ja koetyöskentelyyn. Tämä ei tietenkään tapahdu hetkessä. Oppilaat tuskin noudattavat ajatustensa kirjaamiskehotuksia, ellei niihin liity uuden työtavan opettamista ja sen asteittaista harjaannuttamista alkuopetuksesta lähtien. Uskon,
että kielentämisestä tulee oppilaille luonteva tapa esittää ratkaisujaan, mikä
integroi äidinkielen taitoja myös matematiikan kirjalliseen ilmaisuun. Varhaisessa vaiheessa saavutettu matemaattisen ajattelun kielentämisen taito on
korvaamattoman tärkeä niin jatko-opinnoissa kuin työelämässäkin, jolloin viimeistään vaaditaan ajatteluprosesseja näkyviksi. Se lisävaiva, mikä kirjoittamisesta oppilaalle tulee tehtävän ratkaisujen yhteydessä, korvautuu monikertaisesti entistä parempana käsitteiden ymmärtämisenä ja argumentointitaitojen kehittymisenä. Tie matematiikan käsitteistöön ja symbolikieleen käy koulussa äidinkielen kautta, joten äidinkieli on avainasemassa myös oppilaan matemaattisen ajattelun tulkkina opettajalle ja muille oppilaille.
10
Lähteet
Anon. 2002. Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 2002. Vuosiluokat 1-2. Opetushallitus. http://www.edu.fi/julkaisut/maaraykset/ops/esiops.pdf>
(25.8.2002)
Ernest, P. 1996. Social constructivism and the psychology of mathematics
education.Teoksessa Ernest, P. (toim.) Constructing mathematical knowledge:
epistemology and mathematical education. London: The Falmer Press. 62-72.
Haapasalo, L. 1998. Oppiminen, tieto, ongelmanratkaisu. Joensuu:
Medusa-Software.
Hiebert, J. & Lefevre, P. 1986. Conceptual and procedural knowledge in
mathematics: an introductory analysis. Teoksessa Hiebert, J. (toim.): Conceptual and procedural knowledge: the case of mathematics. Hillsdale NJ: Lawrence Erlbaum Associates. 1-27.
Høines, M. 2000. Matematik som språk. Verksamhetsteoretiska perspektiv.
Kristianstad: Liber AB.
Joutsenlahti, J. 1997. Matemaattisen ajattelun kehittyminen lukiossa. Teoksessa: Räsänen, P., Kupari, P., Ahonen, T. & Malinen, P.(toim.) Matematiikka
- näkökulmia opettamiseen ja oppimiseen. Jyväskylä: Niilo Mäki instituutti&Koulutuksen tutkimuslaitos, 336-351.
Joutsenlahti, J. 2002. Eoppiminen matematiikassa. Lyhennelmä Tampereen
kasvatustieteen päivillä 24.11.2001 pidetystä esityksestä.
<www.Joutsenlahti.net/julkaisut> (17.8.2002)
Lahtinen, A. 1999. Matematiikan ylioppilaskirjoitus keväällä 1999.
Dimensio 63 (6), 4-22.
Lindgren, S. 1990. Toimintamateriaalin käyttö matematiikan opetuksessa. Acta Universitatis Tamperensis. Sarja A. Osa 307.
Näätänen, M. 2001. Unkarilaisesta matematiikan opetuksesta Suomessa ja
Englannissa. <http://solmu.math.helsinki.fi/2001/2/naatanen1.html>
(25.8.2002)
Pynnönen, M-L. 2002. Äidinkieltä peruskoulussa. Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitoksen opetusmonisteita. B 11/2002.
Sternberg, R. 1996. What is mathematical thinking? Teoksessa Sternberg, R.
& Ben-Zeev, T. (toim.) The nature of mathematical thinking. Mahwah, NJ:
Lawrence Erlbaum Associates. 303-318.
Vygotski, L. 1982. Ajattelu ja kieli. Vuonna 1931 ilmestyneestä venäjänkielisestä alkuteoksesta suomentaneet K. Helkama ja A. Koski-Jännes. Prismatietokirjasto. Espoo: Weilin&Göös.