Tentamen i Mekanik – dynamik, TMME28
12 januari 2017
Tentamen i Mekanik – dynamik (TMME28)
12 januari 2017, kl. 14.00 till 19.00
Tentamenskod:
Tentamenssal:
TEN1
...................
Examinator:
Tentamensjour:
Kursadministratör:
Stefan Lindström
Stefan Lindström (013-281127)
besöker salen kl. 15.00 samt kl. 17.30.
Anna Wahlund (013-281157; [email protected])
Antal uppgifter:
Hjälpmedel:
7
Inga hjälpmedel utöver ritverktyg (formelblad bifogas)
Problemen är ej ordnade efter svårighetsgrad. Maximal poäng på tentamen är 15 poäng. För godkänt krävs 6 poäng. Betygsgränserna för tentamen är
Poängsumma
12–15
9–11
6–8
0–5
Betyg
5
4
3
U
Instruktioner:
• Varje steg i lösningen ska motiveras.
• Rita stora tydliga figurer.
• Rödpenna är endast tillåtet för kraft- och momentpilar.
• Kontrollera svarens dimension och rimlighet.
Svar anslås på kursens hemsida efter skrivningstillfället. Rättningsgranskning sker
på IEI:s studerandeexpedition i hus A, ingång 19C. Eventuella klagomål skall vara
skriftliga (ej e-post).
Totalt antal sidor inklusive försättsblad och formelblad: 8.
1
Tentamen i Mekanik – dynamik, TMME28
12 januari 2017
Teoridel
Uppgift 1 (1 poäng). Givet
dēr
dēθ
= θ̇ēθ ,
= −θ̇ēr ,
dt
dt
visa att hastigheten för en partikel ges av
v̄ = ṙēr + rθ̇ēθ ,
samt att accelerationen för en partikel ges av
ā = (r̈ − rθ̇2 )ēr + (rθ̈ + 2ṙθ̇)ēθ .
Uppgift 2 (1 poäng). För en stelkropp Ω med massan m är det givet att
Z
Ω
s̄dm = 0̄,
där s̄ är en vektor utgående från masscentrum. Utgå från den allmänna definitionen
av rörelseenergi för att visa att rörelseenergin för en plan stelkropp i plan rörelse är
1
1
T = mvG2 + IG ω 2 ,
2
2
där m är stelkroppens massa, IG är tröghetsmomentet m.a.p. masscentrum G, vG är
masscentrums fart och ω är kroppens vinkelhastighet.
Uppgift 3 (1 poäng). En smal homogen stång med massan m och längden ℓ har
fastgjorts vid en masslös axel. Bestäm tröghetsmomentet IOzz samt tröghetsprodukten IOyz för stången i det givna koordinatsystemet. (m, ℓ och b är kända konstanter)
y
2b
O
x
b
m, ℓ
z
2
Tentamen i Mekanik – dynamik, TMME28
12 januari 2017
Problemdel
Uppgift 4 (3 poäng). En partikel med massan m startar från vila vid A, där den
ligger an mot en fjäder med fjäderkonstanten k, som är ihoptryckt sträckan δ från
sitt ospända läge. Partikeln släpps och färdas friktionsfritt, hela tiden i kontakt med
underlaget. Efter att den passerat punkten B följer den en friktionsfri cirkelbana
med radien R i vertikalplanet. Bestäm beloppet N (θ) av normalkraften som verkar
på partikeln vid den vinkelkoordinat θ som definierats i figuren. (δ, k, m, g och R
är kända konstanter)
B
k
A
θ
R
g
Uppgift 5 (3 poäng). En homogen rektangulär skiva med massan m och sidorna b
respektive 2b är upphängd i snören så att dess kortsidor är vertikala. Vid hörnet A
är skivan i kontakt med ett lutande plan med lutningsvinkeln 45◦ via en friktionsfri
rulle. Beräkna beloppet av kraften på skivan vid stödet A omedelbart efter att
upphängningsanordningen klippts av. (m, g och b är kända konstanter)
g
m
b
2b
A
45◦
3
Tentamen i Mekanik – dynamik, TMME28
12 januari 2017
Uppgift 6 (3 poäng). Ett hjul med radien r är ledat upphängt vid den rumsfixa
punkten O vid hjulets nav. Hjulet är också ledat ihopkopplat med en hylsa B via en
länkarm AB med längden 2r. Hylsan B rör sig med konstant fart v nedåt. Bestäm
vinkelhastigheten för hjulet (1 poäng) och vinkelaccelerationen för hjulet (2 poäng)
till storlek och orientering i det ögonblick AB är horisontell. (v och r är kända
konstanter)
2r
A
r
45◦
O
B
v
Uppgift 7 (3 poäng). Ett tunnväggigt rör med massan m, längden ℓ och radien r
är via en friktionsfri gaffelled ihopkopplad med en vertikal axel vid O. Axeln roterar med konstant vinkelhastighet ω. Gaffelleden tillåter rotation kring y-axeln.
Bestäm vinkelhastigheten ω så att vinkeln mellan axeln och röret är rät, θ = 90◦ ,
vid fortvarighet. (m, g, r och ℓ är kända konstanter)
z
g
ω
θ
O
m
r
x
y
ℓ
4
Lösningar, tentamen i Mekanik – dynamik, TMME28
12 januari 2017
Lösningar
tentamen i Mekanik – dynamik (TMME28)
12 januari 2017
Svar
Uppgift 3:
IOzz =
1
mℓ2 + mb2 ,
12
IOyz = 0
Uppgift 4:
N (θ) =
kδ 2
+ mg(2 − 3 cos θ)
R
Uppgift 5:
√
5 2
FA =
mg
13
Uppgift 6:
ωhjul = 0,
1 v2
αhjul = √ 2 , medurs
2r
Uppgift 7:
r
ω=±
g
r
1