1. No category

6.4 Vekstfart som grenseverdi
Oppgave 6.40
a)
f ( x) = 2 x − 1
[ 2 ⋅ (3 + h) − 1] − [ 2 ⋅ 3 − 1] = lim 6 + 2h − 1 − 6 + 1
f (3 + h) − f (3)
= lim
h →0
h→0
h →0
h
h
h
2⋅ h
= lim
= lim 2 = 2
h →0
h→0
h
f '(3) = lim
b)
y
8
7
6
f ’(3) tilsvarer vekstfarten i punktet x = 3.
Vekstfarten tilsvarer stigningstallet til
tangenten til kurva i punktet (3, f(3)). Siden
grafen til f er ei rett linje, vil tangenten falle
sammen med kurva.
2
5
1
4
3
2
1
x
0
-2
-1
0
1
2
3
4
Linja har stigningstall 2, derfor må
f ’(3) = 2.
5
-1
-2
Oppgave 6.41
f ( x) = x 2 + 2 x − 1
⎡(1 + h )2 + 2 ⋅ (1 + h) − 1⎤ − ⎡12 + 2 ⋅1 − 1⎤
f (1 + h) − f (1)
⎦
⎣
⎦ ⎣
= lim
f '(1) = lim
0
h →0
h
→
h
h
h ⋅ ( h + 4)
h 2 + 4h
1 + 2 h + h 2 + 2 + 2h − 1 − 1 − 2 + 1
= lim
= lim
h →0
h
→
h
→
0
0
h
h
h
= lim
= lim ( h + 4 ) = 0 + 4 = 4
h →0
Oppgave 6.42
a)
f ( x) = x 2
f '(0) = lim
f (0 + h) − f (0)
(0 + h) 2 − 02
h2
h⋅ h
= lim h = 0
= lim
= lim = lim
h
→
h
→
h
→
h→0
0
0
0
h
h
h
h
f '(1) = lim
(1 + h) 2 − 12
1 + 2h + h 2 − 12
f (1 + h) − f (1)
h 2 + 2h
= lim
= lim
= lim
h→0
h →0
h→0
h
h
h
h
h →0
h →0
= lim
h ⋅ ( h + 2)
h →0
f '(2) = lim
h →0
= lim
(2 + h) 2 − 22
4 + 4h + h 2 − 4
f (2 + h) − f (2)
h 2 + 4h
= lim
= lim
= lim
h →0
h→0
h →0
h
h
h
h
h ⋅ ( h + 4)
h →0
f '(3) = lim
h →0
= lim
(3 + h) 2 − 32
9 + 6h + h 2 − 9
f (3 + h) − f (2)
h 2 + 6h
= lim
= lim
= lim
h →0
h→0
h →0
h
h
h
h
h ⋅ ( h + 6)
h
f '(0) = 0 = 2 ⋅ 0
f ( x) = x 2
= lim ( h + 4 ) = 0 + 4 = 4
h →0
h
h →0
b)
= lim ( h + 2 ) = 0 + 2 = 2
h →0
h
⇒
= lim ( h + 6 ) = 0 + 6 = 6
h→0
f '(1) = 2 = 2 ⋅1
f '(a) = 2 ⋅ a
f '(2) = 4 = 2 ⋅ 2
f '(3) = 6 = 2 ⋅ 3