‫כ'‪/‬טבת‪/‬תשע"ז‬
‫רגולריות ופעולות על שפות –‬
‫הפתרון – סעיף א'‬
‫שאלה מתוך בגרות תש"ע ‪2010‬‬
‫א"ב – }‪| n ≥ 1}, {a, b‬‬
‫רגולריות ופעולות על שפות – בגרות תש"ע‬
‫‪{anbn-1‬‬
‫= ‪L1‬‬
‫‪‬‬
‫שפה ‪ L1‬אינה רגולרית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נימוק‬
‫כיוון שיש תלות אינסופית בין שני חלקי השפה‪ ,‬כך שמספר ה‪-‬‬
‫‪ b‬בסוף כל המילים בשפה‪ ,‬קטן באחד ממספר ה‪ a-‬בתחילת‬
‫כל המילים בשפה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫רגולריות ופעולות על שפות – בגרות תש"ע‬
‫הפתרון – סעיף א' ‪ -‬המשך‬
‫‪2‬‬
‫הפתרון – סעיף א' ‪ -‬המשך‬
‫א"ב – }‪L2 = {anbk | n, k ≥ 0, n mod 2 ≠ k mod 2}, {a, b‬‬
‫א"ב – }‪L2 = {anbk | n, k ≥ 0, n mod 2 ≠ k mod 2}, {a, b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שפה ‪ L2‬רגולרית‪ .‬הוכחה – שימוש בכללי רגולריות‬
‫‪‬‬
‫שפה ‪ L2‬רגולרית‪ .‬המשך הוכחה – שימוש בכללי רגולריות‬
‫‪‬‬
‫כל השפות הבאות מעל הא"ב }‪- {a, b‬‬
‫‪‬‬
‫נוכיח ש‪ L211, L212 -‬רגולריות ע"י בניית אוטומטים‬
‫}אי זוגי ‪ ,k‬זוגי ‪L21 = {anbk | n, k ≥ 0, n‬‬
‫‪} - L211∙ L212 = L21‬אי זוגי ‪}, L212 = {bk | k ≥ 0, k‬זוגי ‪L211 = {an | n ≥ 0, n‬‬
‫‪} - L221∙ L222 = L22‬זוגי ‪}, L222 = {bk | k ≥ 0, k‬אי‪-‬זוגי ‪L221 = {an | n ≥ 0, n‬‬
‫}אי זוגי ‪}, L212 = {bk | k ≥ 0, k‬זוגי ‪L211 = {an | n ≥ 0, n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L221 = L211, L222 = L212‬‬
‫‪‬‬
‫‪L2 = L21 ∩ L22 = L211∙ L212‬‬
‫‪‬‬
‫‪∩ L221 ∙ L222 = L211∙ L212 ∩ L211∙ L212‬‬
‫כעת נותר רק להוכיח ש‪ L211, L212 -‬רגולריות‬
‫‪q0‬‬
‫‪b b‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A212‬‬
‫‪q1‬‬
‫רגולריות ופעולות על שפות – בגרות תש"ע‬
‫הפתרון – סעיף א' ‪ -‬המשך‬
‫שפה ‪ L2‬רגולרית‪ .‬הוכחה ע"י בניית אוטומט‬
‫דרך א' – ארוכה‪ ,‬אך בטוחה‬
‫‪q1‬‬
‫‪4‬‬
‫הפתרון – סעיף א' ‪ -‬המשך‬
‫א"ב – }‪L2 = {anbk | n, k ≥ 0, n mod 2 ≠ k mod 2}, {a, b‬‬
‫‪‬‬
‫‪a a‬‬
‫‪A211‬‬
‫‪q1‬‬
‫רגולריות ופעולות על שפות – בגרות תש"ע‬
‫‪‬‬
‫שפה ‪ L2‬רגולרית‪ ,‬כי שרשור משלים וחיתוך‬
‫שומרים על רגולריות‬
‫‪‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪‬‬
‫}זוגי ‪ ,k‬אי‪-‬זוגי ‪L22 = {anbk | n, k ≥ 0, n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א"ב – }‪L2 = {anbk | n, k ≥ 0, n mod 2 ≠ k mod 2}, {a, b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫𝑎‬
‫‪q0‬‬
‫‪‬‬
‫𝑎‬
‫𝑏‬
‫‪b‬‬
‫שפה ‪ L2‬רגולרית‪.‬‬
‫הוכחה – בניית אוטומט‬
‫דרך ב' – קצרה יותר‪,‬‬
‫אך גם מעט מסוכנת יותר‬
‫‪q1‬‬
‫𝑎‬
‫‪‬‬
‫‪q0‬‬
‫𝑎‬
‫𝑏‬
‫‪b‬‬
‫𝑏‬
‫‪q3‬‬
‫𝑏‬
‫𝑏‬
‫‪q5‬‬
‫רגולריות ופעולות על שפות – בגרות תש"ע‬
‫‪q3‬‬
‫‪q2‬‬
‫𝑏‬
‫𝑏‬
‫‪q2‬‬
‫𝑏‬
‫‪q4‬‬
‫‪5‬‬
‫רגולריות ופעולות על שפות – בגרות תש"ע‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫כ'‪/‬טבת‪/‬תשע"ז‬
‫הפתרון – סעיף א' ‪ -‬המשך‬
‫א"ב – }‪| k, m ≥ 0}, {a, b‬‬
‫‪‬‬
‫הפתרון – סעיף ב'‬
‫‪{akb2m‬‬
‫שפה ‪ L3‬רגולרית‪.‬‬
‫הוכחה – בניית אוטומט‬
‫= ‪L3‬‬
‫‪‬‬
‫𝑎‬
‫‪q0‬‬
‫‪q2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫𝑏‬
‫}‪| n, k ≥ 1, k mod 2 ≠ 0‬‬
‫‪q3‬‬
‫רגולריות ופעולות על שפות – בגרות תש"ע‬
‫‪‬‬
‫}‪R(L4) = {bn-1an | n ≥ 1, n mod 2 ≠ 0‬‬
‫}‪L5 = {anbn-1bk-1ak | n, k ≥ 1, k mod 2 ≠ 0‬‬
‫‪b‬‬
‫𝑏‬
‫= ‪L1‬‬
‫א"ב – }‪| n ≥ 1}, {a, b‬‬
‫}‪L4 = {anbn-1 | n ≥ 1, n mod 2 ≠ 0‬‬
‫)‪L5 = L1  R(L4‬‬
‫‪{anbn-1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪{anbn+k-2ak‬‬
‫רגולריות ופעולות על שפות – בגרות תש"ע‬
‫= ‪L5‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬