‫הרצאה תרגילים ־ סמינר תורת המספרים‪ ,‬סמסטר אביב ‪2011‬־‪2010‬‬ ‫פרופ' יעקב ורשבסקי‬ ‫אסף כץ‬ ‫‪15/3/11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫סמל לזנדר‬ ‫יהי ‪ m‬מספר שלם קבוע‪ ,‬ו־‪ K‬שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר ‪ m‬־ ‪.µm‬‬ ‫תהי ‪ S‬קבוצת הראשוניים הארכימדיים של ‪ K‬וכל הראשוניים ‪ P ⊂ OK‬כך ש־‪.P | m‬‬ ‫עבור איברים ? ‪ ,{a1 , . . . , an } ⊂ K‬נגדיר את ) ‪ S (a1 , . . . , an‬בתור ‪ S‬יחד עם כל הראשוניים ‪ v‬עבורם‬ ‫‪ |ai |v 6= 1‬עבור ‪ i‬כלשהו‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫עבור ? ‪ a ∈ K‬וכן )‪ b ∈ I S(a‬נגדיר את הסמל‬ ‫√ ‪a‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‬ ‫ע"י המשוואה ־‬ ‫)‪√ FL/K (b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪m‬‬ ‫כלומר‬ ‫‪√ FL/K (b)−1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪m‬‬ ‫)‪√ F (b‬‬ ‫‪( m a) L/K‬‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪m‬‬ ‫‪a‬‬ ‫√‬ ‫כאשר )‪.L = K ( m a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫למשל ־ עבור ‪ p = 11‬וכן ‪ a = 5‬נקבל שאכן ‪ 5‬הוא שארית ריבועית מודולו ‪.(42 = 5 mod 11) 11‬‬ ‫ √‬ ‫ראשית ‪ 11‬איננו מסועף ב־ ‪ ,Q 2 5‬כי הדיסקרימיננטה היא ‪.5‬‬ ‫ √‬ ‫ √‬ ‫כעת )‪ x2 − 5 = (x − 4) (x + 4) mod (11‬ולכן נקבל כי ‪ ,(11) = 4 − 5 4 + 5‬כאשר‬ ‫ √‬ ‫ √‬ ‫ √‬ ‫‪ 4 − 5 , 4 + 5‬אידיאלים צמודים תחת הפעולה של ‪ ,Gal Q 2 5 /Q‬ולכן )‪ (11‬מתפצל לחלוטין‪.‬‬ ‫מאחר שהוא מתפצל לחלוטין‪ ,‬הפרובניוס שווה ליחידה‪.‬‬ ‫‪√ 1−1‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 11‬ממשפט אוילר‪.‬‬ ‫‪= 25‬‬ ‫ונקבל כי ‪= 1‬‬ ‫עבור ‪ p = 11‬וכן ‪ a = 7‬נקבל ש־‪ 7‬הוא לא שארית ריבועית מודולו ‪.11‬‬ ‫ √‬ ‫ראשית ‪ 11‬איננו מסועף ב־ ‪ ,Q 2 7‬כי הדיסקרימיננטה היא ‪.28‬‬ ‫כעת )‪ x2 − 7 = x2 + 4 mod (11‬אי־פריק‪ ,‬ולכן )‪ (11‬הוא אינרטי‪ ,‬ושדה השאריות הוא מגודל ‪ ,112‬לכן‬ ‫הפרובניוס של ‪ 11‬יוצר של חבורת גלואה‪ ,‬והוא מסדר ‪.2‬‬ ‫√‬ ‫ולכן הפעולה של הפרובניוס על ‪ 7‬נעשית ע"י בחירה בצמוד גלואה‪ ,‬במקרה של שדות ממשיים לחלוטין‪ ,‬זה‬ ‫המינוס‪.‬‬ ‫כעת ‪= −1‬‬ ‫√‬ ‫‪−√ 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‪7‬‬ ‫‪11‬‬ ‫עוד דוגמא ־ ‪) a = 3, p = 5‬שאריות ריבועיות מודולו ‪ 5‬־ ‪.(0, 1, 4‬‬ ‫במקרה שלנו‪ x2 − 3 ,‬מודולו ‪ 5‬מקבלים ‪x2 − 3 = x2 + 2 mod 3‬‬ ‫‪ 5‬איננו מסועף‪ ,‬אך גם לא מתפצל לחלוטין )אחרת ‪ ,5 = x2 − 3y 2‬מודולו ‪ 5‬נקבל ‪ 0 = x2 − 3y 2‬שאין לו‬ ‫פתרונות לא טריוואליים(‪ ,‬ולכן )‪ (5‬ראשוני אינרטי‪.‬‬ ‫ולכן הפרובניוס הוא יוצר של חבורת גלואה‪ ,‬ונקבל כי שדה השאריות הוא מסדר‬ ‫√‬ ‫הפרובניוס‬ ‫מעבירה לצמוד גלואה‪ ,‬שזה ‪ ,− 3‬ולכן נקבל‬ ‫‪ − √3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫√‬ ‫נקבל כי ‪. 5 = 3 = −1‬‬ ‫הערה ־ נזכור כי הריבועים בחבורה ‪ Z/pZ‬מאופיינים ע"י קרקטר דיריכלה ריבועי ־‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫טענה ־ ‪b ∈ µm‬‬ ‫‪,52‬‬ ‫‪p−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כלומר נקבל שפעולת‬ ‫‪=a‬‬ ‫ ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ ,‬סמל לזנדר‪.‬‬ ‫הוכחה ־ מספיק להראות את זה עבור ‪ a, b ∈ OK‬ראשוניים‪.‬‬ ‫נעלה בחזקת ‪ m‬ונקבל‬ ‫‪ √ F‬‬ ‫‬ ‫‪(b) m‬‬ ‫‬ ‫‪( m a) L/K‬‬ ‫‪a m‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‬ ‫‪FL/K (b) m‬‬ ‫)‪FL/K (b‬‬ ‫אוטומורפיזם ולכן נקבל כי‬ ‫‪=a‬‬ ‫‪ ,‬ומאחר ש־ )‪ FL/K (b‬איבר של חבורת גלואה‪ ,‬הוא‬ ‫√ ‬ ‫)‪ , ( m a‬ומכן שהוא ‪K‬־אוטומורפיזם‪ ,‬נקבל ‪.aFL/K (b) = a‬‬ ‫כעת אם נתבונן ב־ ‪ ,σFL/K (b) σ −1‬אז נקבל‬ ‫‪# −1‬‬ ‫√ "‬ ‫‪√ σF (b)σ−1‬‬ ‫‪√ σF (b)σ−1‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪(b) σσ‬‬ ‫‪ a σσ−1‬‬ ‫‪( m a) L/K‬‬ ‫‪( m a) L/K‬‬ ‫‪( m a) L/K‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫√‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪σσ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪( m a‬‬ ‫)‪( m a‬‬ ‫מאחר שלפי ההנחה ‪ ,µm ⊂ K‬וכן ‪ σ‬הוא ‪K‬־אוטומורפיזם‪ ,‬נקבל כי‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪ −1‬‬ ‫‪a σσ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ √ √‬ ‫√‬ ‫טענה ־ אם ‪ L0 = K m a, m a0‬אז עבור )‪ K 0 = K, L = K ( m a‬נקבל כי‬ ‫‪0‬‬ ‫) ‪b ∈ I S(a,a‬‬ ‫ ‪ a a0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‬ ‫=‬ ‫‪aa0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫הוכחה ־ לפי ההגדרות ־‬ ‫‪ √ FL‬‬ ‫‪m‬‬ ‫= ‪aa0‬‬ ‫‪aa0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫√‬ ‫‪m‬‬ ‫‬ ‫‪aa0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫)‪ √ FL/K (b‬‬ ‫)‪FL0 /K (b‬‬ ‫‪√ FL/K (b) m‬‬ ‫‪aa0‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫)‪( a‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫=‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m 0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪aa0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫√‬ ‫‪m‬‬ ‫‬ ‫=‬ ‫‪aa0‬‬ ‫‬ ‫‪b‬‬ ‫הזיהוי של הפרובניוס במעבר בין השדות ‪ L0 , L‬נעשה לפי הטענה בספר בפרק ‪.3.2‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫טענה ־ ‪ bba0 = ab ba0‬אם )‪b, b0 ∈ I S(a‬‬ ‫√ ‬ ‫) ‪√ F (b)FL/K (b0‬‬ ‫)‪√ F (b‬‬ ‫‪( m a) L/K‬‬ ‫נתחיל מההגדרה‪ ,( m a) L/K = ab m a ,‬נפעיל על זה את ) ‪ FL/K (b0‬ונקבל =‬ ‫) ‪ √ F (b0‬‬ ‫‪. ab ( m a) L/K‬‬ ‫√ ‬ ‫√ ‬ ‫) ‪√ F (b)FL/K (b0‬‬ ‫) ‪√ F (b0‬‬ ‫‪.( m a) L/K‬‬ ‫‪ ,( m a) L/K‬ולכן נקבל כי )‪= ab ba0 ( m a‬‬ ‫כעת לפי ההגדרה‪= ba0 ( m a) ,‬‬ ‫מצד שני‪ ,‬בגלל ש־ ‪ FL/K‬הוא אוטומורפיזם נקבל כי ) ‪ ,FL/K (b) FL/K (b0 ) = FL/K (bb0‬בנוסף לפי ההגדרה‬ ‫נקבל‬ ‫) ‪√ FL/K (bb0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ √ ‪ a‬‬ ‫‪m‬‬ ‫= ‪a‬‬ ‫‪bb0‬‬ ‫ולכן ע"י השוואת הצדדים נקבל את הדרוש‪ .‬‬ ‫‪ Q‬‬ ‫‬ ‫‪P‬‬ ‫‪a nv‬‬ ‫תוצאה ־‬ ‫)‪ ab = v∈S(a‬כאשר ‪.b = nv v‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪v‬‬ ‫∈ ‪ v‬ראשוני‪ ,‬אזי )‪ m | (N v − 1‬כאשר |‪ ,N v = |OK /v‬כמו כן‬ ‫טענה )קריטריון אוילר מוכלל( אם )‪/ S (a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪N v−1‬‬ ‫‪= a m mod pv‬‬ ‫‪v‬‬ ‫הוכחה ־ נראה כי ‪ m‬מחלק את ‪.N v − 1‬‬ ‫יהי ‪ ω‬שורש פרימיטיבי מסדר ‪ ,m‬הוא כמובן ‪K‬־שלם כי הוא שורש של ‪− 1‬‬ ‫‪,xm‬‬ ‫ולכן נקבל כי ‪= 1‬‬ ‫‪ωm‬‬ ‫וכן‬ ‫‪ ω i 6= 1‬עבור ‪.0 < i < m‬‬ ‫כעת ניקח רדוקציה למשוואה מודולו )‪ K (v‬ונקבל )‪.ω m = 1 mod K (v‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬גם כאן הסדר ‪ ω‬הוא ‪ ,m‬אחרת יש ‪ i‬כך ש־‪ ω i = 1 + p‬עבור ‪ p ∈ v‬כלשהו‪ ,‬בפרט אם נעלה את זה‬ ‫בחזקת ‪ m‬נקבל ‪ 1 = (1 + p)m‬בשדה‪ ,‬דבר שלא יתכן‪ ,‬מאחר שאז יהיו קיימים בחוג מחלקי אפס‪.‬‬ ‫מצד שני‪ ,‬השדה )‪ K (v‬הוא מסדר ‪ ,N v‬ולכן ע"פ משפט אוילר לחבורה הכפלית שלו )‪,ω N v−1 = 1 mod K (v‬‬ ‫והרי מטענת החילוק הסדרים הידועה‪ ,‬והגדרת הסדר כמינימלי‪ ,‬נקבל כי ‪.m | N v − 1‬‬ ‫כעת להוכחת הנוסחא‪.‬‬ ‫‪ m‬‬ ‫√‬ ‫)‪√ FL/K (v‬‬ ‫‪m‬‬ ‫)‪( a) = ( a‬‬ ‫לפי ההגדרה ־‬ ‫‪a‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נתבונן בשדה ‪ ,L‬ובהרחבת השדות הסופיים ־‬ ‫‪/v 0‬‬ ‫‪ OL‬מעל ‪ OK /v‬כאשר‬ ‫‪v0‬‬ ‫ראשוני היושב מעל ‪.v‬‬ ‫נבצע רדוקציה למשוואה הזאת מודולו ‪ v 0‬ומהגדרת פעולת הפרובניוס בשדה השאריות )‬ ‫‬ ‫‪√ N v−1‬‬ ‫)‪. av = ( m a‬‬ ‫‪mod pv0‬‬ ‫‬ ‫‪f‬‬ ‫כעת מאחר ש־)‪ m | (N v − 1‬נקבל כי ‪ ,m | N v − 1‬ולכן בסה"כ אפשר להוציא ‪ m‬ולחלק ב־‪ m‬ולקבל כי‬ ‫‬ ‫‪N v−1‬‬ ‫‪. av = a m mod pv0‬‬ ‫‬ ‫‪N v−1‬‬ ‫בפרט נקבל ברדוקציה מודולו ‪ pv‬כי ‪ . av = a m mod pv‬‬ ‫‪3.2‬‬ ‫טענה )הדדיות גבוהה( ־ התנאים הבאים שקולים‪:‬‬ ‫‪= 1 .1‬‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪ .2‬יש פתרון למשוואה ‪ xm = a mod pv‬עבור ‪.x ∈ Ov‬‬ ‫‪ .3‬יש פתרון למשוואה ‪ xm = a‬עבור ‪.x ∈ Kv‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (Prop.‬נקבל‬ ‫הוכחה ־ נראה כי )‪ (2‬גורר )‪.(1‬‬ ‫‬ ‫‪N v−1‬‬ ‫במקרה זה‪ , av = a m ,‬אם‬ ‫‪xm‬‬ ‫= ‪ a‬נקבל ‪= 1 mod pv‬‬ ‫‪xN v−1‬‬ ‫=‬ ‫‪N v−1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫×‬ ‫)‪ ,k (v‬נסמן‬ ‫נראה כי )‪ (1‬גורר )‪ ,(2‬נניח כי ‪ g‬יוצר של החבורה הציקלית‬ ‫‪.a‬‬ ‫‪gr‬‬ ‫= ‪ ,a‬וכן‬ ‫‪gy‬‬ ‫= ‪ ,x‬אז הפתרון‬ ‫המבוקש שקול ל־ ‪ ,g r = g my mod pv‬כלומר )‪ ,my = r mod (N v − 1‬למשוואה הזאת יש פתרון אמ"מ‬ ‫‪ ,m | r‬כי ‪ m | N v − 1‬ממשפט אוילר הקודם‪.‬‬ ‫כעת ‪ ,a = g r‬אז תנאי ‪ 1‬שקול לכך ש־‪= 1‬‬ ‫)‪r(N v−1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ ,g‬אך מכך ש־‪ ,ord (g) = N v − 1‬נקבל כי | ‪N v − 1‬‬ ‫)‪v−1‬‬ ‫‪ , r(Nm‬ולכן ‪.m | r‬‬ ‫‪ m‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫עבור ‪ x, y ∈ Ov‬זרים‪ ,‬מאחר שניתן להניח כי ‪ ,v (a) = 0‬נקבל כי‬ ‫כעת )‪ (3‬גורר )‪ ,(2‬נקבל כי ‪= a‬‬ ‫ ‬ ‫‪ ,v xy = 0‬ולכן )‪ ,v (x) = v (y‬מאחר שהנחנו זרות‪ ,‬נקבל ‪ .v (x) = v (y) = 0‬ולכן ניתן לקחת רדוקציה‬ ‫של המשוואה מודולו ‪ pv‬ולקבל את הדרוש‪.‬‬ ‫עבור )‪ (2‬גורר )‪ ,(3‬נשתמש בלמה של הנזל‪.‬‬ ‫נזכור כי ‪ Kv‬הוא ההשלמה של השדה הגלובלי ‪ K‬ביחס לאידיאל ‪.pv‬‬ ‫למת הנזל ־ יהי ‪ K‬שדה שלם ביחס להערכה |·| וכן ]‪ .f ∈ OK [x‬יהי ‪ α0 ∈ OK‬כך ש־‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫) ‪|f (α0 )| < f 0 (α0‬‬ ‫אזי יש ‪ α ∈ OK‬כך ש־‪ f (α) = 0‬וכן‬ ‫|)‪|f (α‬‬ ‫|)‪|f 0 (α‬‬ ‫≤ | ‪.|α − α0‬‬ ‫הוכחה של הטענה בעזרת הלמה ־ נגדיר ]‪− a ∈ OKv [x‬‬ ‫לפי )‪ ,(2‬יש ‪ α0 ∈ Ov‬כך ש־ ‪ ,α0m = a mod pv‬כלומר‬ ‫‪xm‬‬ ‫‪p−1‬‬ ‫= )‪.f (x‬‬ ‫≤ ‪.|f (α0 )|v‬‬ ‫‪.|f 0 (α0 )|v = |m|v · |α0 |m−1‬‬ ‫מצד שני‪ ,f 0 (x) = mxm−1 ,‬ולכן‬ ‫‪v‬‬ ‫ניתן להניח כי ‪ ,a 6= 0 mod pv‬ולכן ‪ ,|α0 |v = 1‬מאחר ש־‪ a‬הפיך‪ .‬בנוסף הנחנו כי ‪ p‬הוא כזה כך ש־‪,p - m‬‬ ‫ולכן ‪ |m|v = 1‬גם כן‪.‬‬ ‫וסה"כ נקבל את הדרוש מהלמה של הנזל‪.‬‬ ‫טענה ־ אם ‪ a‬ו־ )‪ b ∈ I S(a‬שלם‪ ,‬כך ש־ ‪ a0 ≡ a mod b‬אזי‬ ‫הוכחה ־ נשתמש בטענה ‪3.2‬‬ ‫מהספר‪ √ .‬‬ ‫ √‬ ‫√‬ ‫‪m 0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪=K‬‬ ‫‪ L = K ( m a) ,K = K 0‬וכן ‪a, a‬‬ ‫‪G0‬‬ ‫‪L0‬‬ ‫כעת נניח כי )‪ (b‬מתפרק ב־‪ L‬ל־ ‪(pi )e‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ונקבל את הדיאגרמה המתחלפת הבאה‪.‬‬ ‫‪FL0 /K 0‬‬ ‫→‪−−−−‬‬ ‫↓‪θ‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪IS‬‬ ‫↓ ‪NK 0 /K‬‬ ‫‪FL/K‬‬ ‫→‪−−−‬‬ ‫‪IS‬‬ ‫= )‪ ,(b‬כעת בשדה ‪ ,L0‬הפירוק נשאר‪ ,‬מאחר ש־‪,a0 ≡ a mod b‬‬ ‫ולכן עבור גורם ‪ p0i‬בפירוק של ‪ pi‬בשדה ‪ L0‬נקבל כי ‪ ,NK 0 /K p0i = 1 · pi‬ולכן )‪.FL0 /K 0 (b) = FL/K (b‬‬ ‫ √ √‬ ‫ √‬ ‫משיקול סימטרי עבור ‪ K = K 0‬וכן ‪ L = K m a0‬ו־ ‪ L0 = K m a, m a0‬נקבל את הדרוש‪ .‬‬ ‫‪m‬‬ ‫טענה ־ נניח כי )‪ b, b0 ∈ I S(a‬וכן )‪ b0 b−1 = (c‬עבור × ‪ c ∈ K‬כך ש־ ) ×‪ c ∈ (Kv‬לכל )‪ ,v ∈ S (a‬אזי‬ ‫‪ a a‬‬ ‫=‬ ‫‪b0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫הוכחה ־ ניזכר בכלל ארטין )הגס( ‪ ,3.3‬נקבל כי עבור ‪ c‬מתקיים כי ‪ ,F (c)S = 1‬ולכן נקבל שמתקיים ־‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪.F (b)S = F (b0 )S‬‬ ‫מכאן שהפרובניוס פועל על ‪ a‬באותה הצורה‪ .‬‬ ‫טענה ־ יהי ‪ K = Q‬וכן ‪ ,m = 2‬יהיו‪ a, b ∈ Q‬וכן ‪ P, Q‬מספרים חיוביים שלמים אי־זוגיים‪.‬‬ ‫‬ ‫עבור ‪ (a, P ) = 1‬הסמל ‪ Pa = (Pa ) = ±1‬מוגדר‪ ,‬כפלי בכל ארגומנט בנפרד ומקיים‬ ‫‬ ‫‪if a = b mod P‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪P‬‬ ‫כעת נטען כי אם ‪ P = Q mod 8a0‬כאשר ‪ a = 2τ a0‬עם ‪ ,(2, a0 ) = 1‬אז מתקיים כי‬ ‫ ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫הוכחה ־ נשתמש בטענה הקודמת‪ ,‬צריך להראות כי )‪−1 = (c‬‬ ‫×‪ c ∈ (Q‬לכל‬ ‫‪ P Q‬עבור ‪ c ∈ Q‬כך ש־ ) ‪v‬‬ ‫}‪ v ∈ {2, ∞, p‬כאשר ‪.p | a0‬‬ ‫עבור ∞ = ‪ ,v‬הדבר ברור‪ ,‬כי ‪.P, Q > 0‬‬ ‫עבור ‪ ,v = 2‬ניקח רדוקציה של המשוואה מודולו ‪ 8‬ונקבל ‪ .P = Q mod 8‬כעת הנחנו כי ‪ Q‬איזוגי‪ ,‬ולכן הפיך‬ ‫מודולו ‪ ,8‬ולכן ‪.P Q−1 = 1 mod 8‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫×‪∈ Q‬‬ ‫כעת מספרים השקולים ל־‪ 1‬מודולו ‪ 8‬הם ריבועים ‪2‬־אדיים‪ ,‬ולכן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.P Q−1‬‬ ‫עבור ‪ v = p‬כאשר ‪ ,p | a0‬ניקח רדוקציה מודולו ‪ ,p‬והנחנו כי ‪ ,(a, P ) = 1‬ולכן ‪ Q‬הפיך מודולו ‪ ,p‬ולכן נקבל‬ ‫‪.P Q−1 = 1 mod p‬‬ ‫כעת החבורה הכפלית מודולו ‪) p‬עבור ‪ (p 6= 2‬היא ציקלית‪ ,‬עם נניח שורש פרימטיבי‬ ‫‪p−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫×‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪pZ‬‬ ‫‬ ‫∈ ‪ .g‬אז ניקח‬ ‫‪ ,h = g‬בתור שורש ריבועי של היחידה‪.‬‬ ‫מהלמה של הנזל עבור הפולינום ‪ x2 − 1‬ב־]‪ ,Zp [x‬נקבל הרמה ‪p‬־אדית של אותו שורש למספר ב־ ‪ Zp‬ולכן‬ ‫‪2‬‬ ‫×‪. P Q−1 ∈ Q‬‬ ‫נקבל כי‬ ‫‪p‬‬ ‫‪5‬‬