Inlämningsuppgift 2, SF1680 Namn: Personnummer: Email: Allmänt och Regler: Det nns två uppgifter. Den första nns där mest för att tvinga dig att läsa lite i häftet och tänka lite på modulen. Den andra uppgiften är valfri och lite mer intressant (och mer abstrakt och svårare). Även om du inte gör den andrauppgiften så läs igenom den och försök förstå ungefär vad du skulle förväntas göra i den. Den introducerar en väldigt viktig topologisk invariant: den fundamentala gruppen π(M ). Invarianter är den viktigaste metoden i algebraisk topologi och om du fortsätter att plugga matte så kommer du att stöta på invarianter, såsom π(M ), igen. Uppgiften kommer att bedömmas med G (godkänd) eller U (underkänd). För att få gå upp på den muntliga tentamen så får maximalt en av kursens inlämningsuppgifter vara underkänd. Med två eller era underkända uppgifter så kan, om substantiellt arbete och/eller en god matematisk utveckling har påvisats, möjlighet till muntlig tentamen fortfarande ges, eventuellt efter en komplimenterade uppgift. Uppgiften är individuell. Du får dock diskutera uppgifterna med andra studenter. Du måste dock skriva din egen lösning helt själv. Avskrifter eller direkta plagiat är, naturligtvis, helt förbjudna. Som tumregel så skall du sitta helt ensam när du skriver uppgiften och endast använda dig av minnet av diskussioner du har haft med andra personer. Sista inlämningsdag är: Torsdagen den 30e Mars, på föreläsningen eller via email (pdf l) till [email protected] före midnatt. Uppgift 1: (obligatorisk) I den här uppgiften betraktar vi R med den vanliga metriken d(x, y) = |x − y|. 1. Skriv ner en naturlig denition av en 1-dimensionell euklidisk mångfald. 2. Bevisa att varje isometri på R och om för alla T x = Sx T : R 7→ R karakteriseras av två punkter. D.v.s. om T och S är isometrier T y = Sy för två punkter x, y ∈ R så att x 6= y då kommer T z = Sz samt z ∈ R. Iso(R) vara gruppen av alla isometrier på R och H ⊂ Iso(R) vara en delgrupp. Bevisa att H är xpunktsfri (d.v.s. om T ∈ H och T 6= I så kommer T x 6= x för alla x ∈ R) och diskontinuerlig (d.v.s. ingen bana B(x) = {T x; T ∈ H} har någon ackumulationspunkt) då 3. Låt om kommer kvotmångfalden R/H = {[x]; där [x] = {T x; T ∈ H}} med metriken dH ([x], [y]) = inf |x̂ − ŷ| x̂∈[x],ŷ∈[y] att utgöra en 1-dimensionell euklidisk mångfald (se till att din denition från föregående uppgift stämmer med detta). 4. Bevisa att om H ⊂ Iso(R) är en xpunktsfri och diskontinuerlig delgrupp då kommer H att genereras av ett element, d.v.s. H = {T k ; k ∈ Z} där för något T ∈ H, T 0 =identiteten. 5. Bevisa att det endast nns två typer av 1-dimensionella euklidiska mångfalder Iso(R))1 1 Precis R/H (där H ∈ so i kurshäftet så kommer alla fullständiga och bågvis sammanhängande 1-dimensionella mångfalder att vara på den formen. • hela • cirklar med omktets R eller Uppgift 2: (valfri) r > 0. I den här uppgiften så låter vi mångfalden som ges av en cirkel med omkrets 1, d.v.s. M = R/H vara den 1-dimensionella euklidiska H = {Tn ; n ∈ Z} där Tn z = z + n. Syftet med den här uppgiften är att bevisa ett par viktiga samband från topologin. x∈M 1. Fixera en punkt och deniera Cx ([0, 1], M ) = {φ; φ Bevisa att det, för varje är en kontinuerlig funktion från φ ∈ Cx ([0, 1]), [0, 1] till nns en kontinuerlig kurva M och φ(0) = φ(1) = x}. φ̂ : [0, 1] 7→ R så att P ◦ φ̂(s) = φ(s), där 2. Låt P : R 7→ M är en täckningsisometri så att φ ∈ Cx ([0, 1]) 3. Visa att varje och φ̂ P (0) = x. vara som i föregående deluppgift. Bevisa att φ ∈ Cx ([0, 1]) φ̂(1) = n för något n ∈ Z. denierar en ekvivalensklass enligt följande [φ] = {ϕ ∈ Cx ([0, 1]); ϕ̂(1) = φ̂(1)}. 4. Deniera operationen × på Cx ([0, 1]) enligt φ1 × φ2 (s) = Bevisa att operationen × gör Cx ([0, 1]) φ1 (2s) φ2 (2s − 1) om om till en grupp. 0 ≤ s ≤ 1/2 1/2 < s ≤ 1. På samma sätt så blir mängden av alla ekvivalensklasser π(M ) = {[φ]; φ ∈ Cx ([0, 1])} en grupp med grupp multiplikation [φ1 ] × [φ2 ] = [φ1 × φ2 ] (1) (du behöver inte bevisa detta). π(M ) till H . D.v.s. att det nns en σ([φ1 ] × [φ2 ]) = σ(φ1 ) ◦ σ(φ2 ) för alla [φ1 ], [φ2 ] ∈ π(M ). 5. Bevisa att det nns en gruppisomor från gruppen avbildning σ : π(M ) 7→ H så att bijektiv 6. Man kan på liknande sätt bevisa följande sats: Sats 1. deniera Låt M vara en fullständig och bågvis sammanhängande euklidisk yta och x ∈ M och Cx ([0, 1]) = {{φ; φ är en kontinuerlig funktion från [0, 1] till M och φ(0) = φ(1) = x}}, deniera vidare ekvivalensklasserna [φ] som består av alla funktioner ϕ ∈ Cx ([0, 1]) så att P −1 ◦ ϕ(1) = P −1 ◦ φ(1). Då kommer ekvivalensklassenra [φ] att utgöra en grupp, π(M ), under multiplikationen × denierad såsom i (1). Och om M = R2 /H där H ⊂ Iso(R2 ) då nns det en gruppisomor σ : π(M ) 7→ H . Använd den satsen för att bevisa att det inte nns någon kontinuerlig bijektion från en torus till en cylinder C. Använd gärna följande steg. T T = R2 /H2 H1 till H2 (a) Låt torusen vara somor från och cylindern C = R2 /H1 visa att det inte nns någon gruppi- För att bevisa detta så visa att om σ : H1 7→ H2 är en isomor så bestäms σ av vad σ gör med generatorn till H1 , men H2 har två generatorer och H1 har bara en - kan σ vara surjektiv? Ledtråd: ϕ : T → 7 C är 2 gruppen π(C). (b) Bevisa att om isomorf med Ledtråd: en kontinuerlig bijektion då kommer gruppen π(T ) att vara En naturlig gruppisomor ϕ̂ : π(T ) 7→ π(C) skulle avbilda [φ] ∈ π(T ) till ϕ̂([φ]) = [ϕ ◦ φ] ∈ π(C). (c) Bevisa att det inte nns någon kontinuerlig bijektion ϕ : T 7→ C . Sätt ihop föregående steg och visa att om det nns en kontinuerlig bijektion ϕ : T 7→ C så kommer enligt föregående steg π(T ) att vara isomorf med π(C) och enligt Sats 1 så är π(T ) isomorf med H2 och π(C) isomorf med H1 . Är detta förenligt med det första delsteget i den här uppgiften? Ledtråd: Lycka Till! 2 Eftersom gruppelementen i π(T ) och π(C) är ekvivalensklasser i Cx ([0, 1], T ) och Cy ([0, 1], C) så förefaller vår kon- x och y, i realiteten så är dessa punkter inte viktiga för vårt argument. förklara varför så antar vi att ϕ(x) = y. struktion bero på punkterna Men istället för att
© Copyright 2024