1. No category

Linköpings universitet
Matematiska institutionen
Matematik och tillämpad matematik
Kurskod: TATA72
Provkod: TEN1
Tentamen i TATA72 Matematisk Fördjupning
2015-04-10 kl 14.00–18.00
Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade och ordentligt skrivna.
Varje uppgift ger maximalt 3 poäng och 8/11/13 poäng räcker för betyg 3/4/5.
1
→ 0 då x → ∞
(1p)
ln x
(b) Låt a ∈ R vara en punkt. Bevisa att lim f (x)g(x) = 0 om lim f (x) = 0 och g(x)
1. (a) Använd gränsvärdesdefinitionen för att visa att
x→a
x→a
är begränsad.
(2p)
2. (a) Definiera vad som menas med att f är kontinerlig i en punkt a.
(b) Ange f (0) så att f (x) = x sin x1 + x1 sin x, x 6= 0, blir kontinuerlig i x = 0.
(1p)
(1p)
(c) Definiera vad som menas med att f är likformigt kontinerlig på ett intervall I. (1p)
√
(1p)
3. (a) Härled f 0 (x) från derivatans definition då f (x) = x.
d
1
(b) Bevisa att
arcsin x = √
. Derivata av invers funktion och av sin x får antas
dx
1 − x2
kända.
(2p)
4. (a) Låt f (x) = (1/x)1/x . Visa att f är strängt växande för x > e.
1/x
(b) Bestäm antalet lösningar till ekvationen (1/x)
ter a.
= a , x > 0, för alla reella konstan(2p)
5. (a) Formulera och bevisa Rolles sats.
(b) Låt f (x) = x4 + xex−1 + cos(πx). Visa att det finns c ∈ ]0, 1[ där f 0 (c) = 0.
LYCKA TILL!
(1p)
(2p)
(1p)