1. No category

‫ﻣﺠﻠﺔ ﻓﻴﺰﻳﻚ زﻣﻴﻦ و ﻓﻀﺎ‪ ،‬دوره ‪ ،37‬ﺷﻤﺎره ‪ ،1390 ،3‬ﺻﻔﺤﺔ ‪125 -115‬‬
‫ﻣﻬﺎﺟﺮت در ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺎ وﺟﻮد ﺗﻐﻴﻴﺮات ﻗﺎﺋﻢ ﺳﺮﻋﺖ‬
‫‪*2‬‬
‫ﻣﺮﻳﻢ ﺧﺎﻛﻲﻓﻴﺮوز‪ 1‬و ﺣﻤﻴﺪرﺿﺎ ﺳﻴﺎﻫﻜﻮﻫﻲ‬
‫‪ 1‬ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ ﭘﺮدازش دادهﻫﺎي ﻟﺮزهاي‪ ،‬ﺷﺮﻛﺖ ﻛﺪﻛﻢ‪ ،‬اﻳﺮان‬
‫‪ 2‬داﻧﺸﻴﺎر‪ ،‬ﮔﺮوه ﻓﻴﺰﻳﻚ زﻣﻴﻦ‪ ،‬ﻣﺆﺳﺴﺔ ژﺋﻮﻓﻴﺰﻳﻚ داﻧﺸﮕﺎه ﺗﻬﺮان‪ ،‬اﻳﺮان‬
‫)درﻳﺎﻓﺖ‪ ، 87/8/28 :‬ﭘﺬﻳﺮش ﻧﻬﺎﻳﻲ‪(89/11/19 :‬‬
‫ﭼﻜﻴﺪه‬
‫ﻣﻬﺎﺟﺮت )‪ (f-k‬ﻳﻚ روش ﻣﻬﺎﺟﺮت در ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ اﺳﺖ )اﺳﺘﺎﻟﺖ‪ (1978 ،‬ﻛﻪ ﺑﺮاﺳﺎس ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑﺴﺎﻣﺪ زﻣﺎﻧﻲ ﺑﻪ ﺑﺴﺎﻣﺪ ﻣﻜﺎﻧﻲ )ﻳﺎ ﺑـﻪ ﺑﻴـﺎن‬
‫دﻳﮕﺮ ﺗﺼﻮﻳﺮﺳﺎزي( ﺑﻨﺎ ﻧﻬﺎده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻃﻴﻒ ﻣﻬﺎﺟﺮتﻧﻴﺎﻓﺘﻪ را در ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎً ﺑـﻪ ﻃﻴـﻒ ﻣﻬـﺎﺟﺮتﻳﺎﻓﺘـﻪ ﺗﺒـﺪﻳﻞ‬
‫ﻣﻲﻛﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ روش ﺳﺎده و ﻛﺎرا اﺳﺖ اﻣﺎ ﺑﻪ ﻣﺤﻴﻂﻫﺎي ﺳﺮﻋﺖ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﺤﺪود ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬روش ﻣﻬﺎﺟﺮت )‪ v(z)(f-k‬ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻣﻌﺮﻓـﻲ‬
‫ﻣﻲﺷﻮد‪ ،‬ﻗﺎدر اﺳﺖ ﻣﻬﺎﺟﺮت را ﺑﺮاي ﻣﺤﻴﻂﻫﺎﻳﻲ ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮات ﻗﺎﺋﻢ ﺳﺮﻋﺖ ﺗﻮﺳﻌﻪ دﻫﺪ‪ .‬ازآﻧﺠﺎﻛﻪ روش ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺷﺪه ﺑﻪﺻﻮرت ﻓﻴﻠﺘـﺮ ﻧﺎﭘﺎﻳـﺎ‬
‫ﻓﺮﻣﻮلﺑﻨﺪي ﻣﻲﺷﻮد‪ ،‬دﻳﮕﺮ ﻧﻴﺎزي ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻧﺪارد‪ .‬اﻳﻦ روش در ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎً ﺑﻪازاي ﻫﺮ ﻋﺪد ﻣﻮج‪ ،‬ﻳﻚ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﻬﺎﺟﺮت ﻧﺎﭘﺎﻳﺎ‬
‫را ﺑﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎي ﺑﺴﺎﻣﺪ ورودي ا‪‬ﻋﻤﺎل ﻣﻲﻛﻨﺪ ﺗﺎ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎي ﺑﺴﺎﻣﺪ ﻣﻬﺎﺟﺮتﻳﺎﻓﺘﻪ را اﻳﺠﺎد ﻛﻨﺪ‪ .‬اﻳﻦ روش در ﻋﻤـﻞ ﻛﻨـﺪﺗﺮ از روش )‪(f-k‬‬
‫ﻋﻤﻞ ﻣﻲﻛﻨﺪ اﻣﺎ ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎي اﺿﺎﻓﻲ را ﻛﻪ روش )‪ (f-k‬ﺑﻪﺧﺎﻃﺮ درونﻳﺎﺑﻲ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ در ﺣﻮزه ﺑﺴﺎﻣﺪ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﻲﻛﺮد‪ ،‬اﻳﺠﺎد ﻧﻤﻲﻛﻨـﺪ‪.‬‬
‫ﺗﻐﻴﻴﺮات ﻗﺎﺋﻢ ﺳﺮﻋﺖ در اﻳﻦ روش ﻳﺎ ﺑﻪﺻﻮرت ‪ rms‬وﻳﺎ ﺑﺎ دﻗﺖ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﻪ روش ‪ WKBJ‬ا‪‬ﻋﻤﺎل ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬در اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴـﻖ روش ‪v(z)(f-‬‬
‫)‪ k‬روي ﻣﺪل ﻣﺼﻨﻮﻋﻲ ا‪‬ﻋﻤﺎل وﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﺎ روش ﻣﻬﺎﺟﺮت )‪ (f-k‬ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻛﺎراﻳﻲ روش روي ﻳﻚ ﻣﻘﻄـﻊ ﻟـﺮزهاي واﻗﻌـﻲ‬
‫ﻧﻴﺰ ﻧﺸﺎن داده ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫واژهﻫﺎي ﻛﻠﻴﺪي‪ :‬ﻣﻬﺎﺟﺮت‪ ،‬ﻣﻬﺎﺟﺮت ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ‪ ،‬ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻧﺎﭘﺎﻳﺎ‪ ،‬ﺗﻐﻴﻴﺮات ﻗﺎﺋﻢ ﺳﺮﻋﺖ‬
‫‪Fourier migration for vertical velocity variations‬‬
‫‪Khakifirooz, M.1 and Siahkoohi, H. R.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Geophysicists in Center for seismic data processing, Cadcam Iran P.J.S. Co.‬‬
‫‪Associate Professor, Earth Physics Department, Institute of Geophysics, University of Tehran, Iran‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(Received: 18 Nov 2008 , Accepted: 8 Feb 2011‬‬
‫‪Abstract‬‬
‫‪The Stolt (f-k) migration algorithm is a direct (i.e. non-recursive) Fourier-domain‬‬
‫‪technique based on a change of variables (or equivalently, a mapping) that converts the‬‬
‫‪input spectrum to the output spectrum. The algorithm is simple and efficient but limited‬‬
‫‪to constant velocity. A v(z)(f-k) migration method, capable of very high accuracy for‬‬
‫‪vertical variations of velocity, can be formulated as a non-stationary combination filter‬‬
‫‪that avoids the change of variables.‬‬
‫‪In this article, we compare the efficiency of Stolt (f-k) migration (eq. 1) with two non‬‬‫‪stationary filters based on v(z)(f-k) migration methods.‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪Φ (k x , z , ω ) = ∫ ∫ Ψ (x , z , t ) exp(−i [ωt − k x x ])dxdt‬‬
‫)‪(1‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪The result of applying v(z)(f-k) migration is a direct Fourier-domain process that for‬‬
‫*ﻧﮕﺎرﻧﺪه راﺑﻂ‪:‬‬
‫ﺗﻠﻔﻦ‪021-61118277 :‬‬
‫دورﻧﮕﺎر‪021-88630548 :‬‬
‫‪E-mail: [email protected]‬‬
‫ﻣﺠﻠﺔ ﻓﻴﺰﻳﻚ زﻣﻴﻦ و ﻓﻀﺎ‪ ،‬دوره ‪ ،37‬ﺷﻤﺎره ‪1390 ،3‬‬
‫‪116‬‬
‫‪each wavenumber applies a non-stationary migration filter to a vector of input frequency‬‬
‫‪samples to create a vector of output frequency samples (eq. 2).‬‬
‫‪,0, ω )m(k x , T , ω )dω‬‬
‫)‪(2‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∫ Φ(k‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪Ψ (k x , T ,0‬‬
‫‪2π‬‬
‫) ‪m (k x ,T , ω ) = exp(i ηT ) = exp(iT ω 2 − v 2 k x 2 ) = exp(i ωT 1 − p 2v 2‬‬
‫‪The filter matrix is analytically specified in the mixed domain of input frequency and‬‬
‫‪migrated time. It can be moved to the full Fourier domain of input frequency and output‬‬
‫)‪frequency by a fast Fourier transform. When applied for seismic traces the v(z)(f-k‬‬
‫‪algorithm is slower than the Stolt method but without the usual artifacts related to‬‬
‫‪complex-valued frequency domain interpolation.‬‬
‫‪We used two different schemes to consider the variations of velocity with depth.‬‬
‫‪Vertical variations through an rms velocity (straight-ray) assumption are handled by‬‬
‫‪v(z)(f-k) method with no additional cost. Greater accuracy at slight additional expense is‬‬
‫‪obtained by extending the method to a WKBJ phase shift integral. We tested the‬‬
‫‪efficiency of these methods on synthetic seismic records. Finally v(z)(f-k) method is‬‬
‫‪applied to a real seismic section and the result are presented.‬‬
‫‪Key words: Migration, Fourier domain migration, Non-stationary filter, Vertical‬‬
‫‪variation of velocity.‬‬
‫‪ 1‬ﻣﻘﺪﻣﻪ‬
‫ازآﻧﺠﺎﻛﻪ روال ﺗﻬﻴـﻪ ﻣﻘـﺎﻃﻊ ﻟـﺮزهاي اﻳﺠـﺎب ﻣـﻲﻛﻨـﺪ ﻛـﻪ‬
‫ﻛﻴﺮﺷﻬﻮف )اﺷﻨﺎﻳﺪر‪ (1978 ،‬ﻛﻪ ازﺣﻞ اﻧﺘﮕﺮاﻟﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫ردﻟــﺮزهﻫــﺎي ﺣﺎﺻــﻞ از ﺑﺮاﻧﺒــﺎرش در ﻣﺤــﻞ ﻫــﺮ ‪ CMP‬در‬
‫ﻣﻮج اﺳﻜﺎﻟﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲﻛﻨﺪ و ﻣﻬﺎﺟﺮت ﺑﻪ روش ﺗﻔﺎﺿﻞ‬
‫راﺳﺘﺎي ﻗﺎﺋﻢ ﻛﻨﺎر ﻫﻢ ﭼﻴﺪه ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬اﻳﻦ اﻣﺮ ﺑﺎﻋـﺚ ﻣـﻲﺷـﻮد‬
‫ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ)ﻛﻠﺮﺑﺖ‪ (1985 ،‬ﻛﻪ ﺣﻞ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻠﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﻮج‬
‫ﺳــﺎﺧﺘﺎرﻫﺎي ﻣــﺸﺎﻫﺪه ﺷــﺪه روي ﻣﻘــﺎﻃﻊ ﻟــﺮزهاي‪ ،‬ﻧﻤﺎﻳﻨــﺪه‬
‫اﺳﻜﺎﻟﺮ را ﺑﻪﻛﺎر ﻣﻲﺑﺮد‪.‬‬
‫درﺳــﺘﻲ از ﺳــﺎﺧﺘﺎرﻫﺎي زﻣــﻴﻦﺷﻨﺎﺳــﻲ ﻧﺒﺎﺷــﻨﺪ‪ .‬ازاﻳــﻦرو‬
‫‪ -2‬روشﻫﺎي ﻣﻬﺎﺟﺮﺗﻲ ﻛـﻪ در ﺣـﻮزه ﻓﻮرﻳـﻪ ﺻـﻮرت‬
‫ﺿﺮورت دارد ﻛﻪ روي ﻣﻘﺎﻃﻊ ﻟﺮزهاي ﺣﺎﺻﻞ از ﺑﺮاﻧﺒـﺎرش‪،‬‬
‫ﻣﻲﮔﻴﺮﻧﺪ‪ .‬دو ﺷﻴﻮه اﺻﻠﻲ ﺑﺮاي ﻣﻬﺎﺟﺮت در ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ و‬
‫روشﻫﺎﻳﻲ ا‪‬ﻋﻤﺎل ﺷـﻮد ﺗـﺎ ﺑـﺎ ﺟﺎﺑـﻪﺟـﺎﻳﻲ زﻣـﺎﻧﻲ و ﻣﻜـﺎﻧﻲ‬
‫ﺗﻌــﺪادي زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋــﻪ از آﻧﻬــﺎ وﺟــﻮد دارد‪ .‬از ﻣﻴــﺎن اﻳــﻦ‬
‫روﻳﺪادﻫﺎي ﻟﺮزهاي‪ ،‬ﻣﻘﺎﻃﻊ درﺳـﺖﺗـﺮي اﻳﺠـﺎد ﺷـﻮد‪ .‬اﻳـﻦ‬
‫روشﻫﺎ ﻣـﻲﺗـﻮان ﺑـﻪ روش ﻣﻬـﺎﺟﺮت )‪ ،(f-k‬ﻣﻬـﺎﺟﺮت ﺑـﻪ‬
‫روشﻫﺎ درﻣﺠﻤﻮع ﺑﺎ ﻋﻨـﻮان روشﻫـﺎي ﻣﻬـﺎﺟﺮت ﺷـﻨﺎﺧﺘﻪ‬
‫روش ﺟﺎﺑﻪﺟﺎﻳﻲ ﻓﺎز‪ ،‬ﻣﻬﺎﺟﺮت ﻓﻮرﻳﻪاي ﮔﺎمﻫـﺎي ﮔﺴـﺴﺘﻪ‬
‫ﻣﻲﺷـﻮﻧﺪ )اﻳﻠﻤـﺎز‪ .(2001 ،‬اﻟﺒﺘـﻪ روشﻫـﺎي ﻣﻬـﺎﺟﺮﺗﻲ ﻫـﻢ‬
‫)اﺳﺘﻮﻓﺎ‪ (1990 ،‬وﻣﻬﺎﺟﺮت ﻓﻮرﻳﻪاي ﮔﺎم ﻫﺎي ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑـﺴﻂ‬
‫وﺟﻮد دارﻧﺪ ﻛﻪ روي ﺛﺒـﺖﻫـﺎي ﻟـﺮزهاي ﻗﺒـﻞ از ﺑﺮاﻧﺒـﺎرش‬
‫داده ﺷﺪه )ﺑﻴﻮﻧﺪي‪ (2005 ،‬اﺷﺎره ﻛﺮد‪.‬‬
‫ا‪‬ﻋﻤﺎل ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ ﻛﻪ ﻣﻮﺿﻮع ﺑﺤﺚ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺑﻪﻃـﻮرﻛﻠﻲ روشﻫـﺎي ﻣﻬـﺎﺟﺮت ﺑﻌـﺪ از ﺑﺮاﻧﺒـﺎرش ﺑـﻪ‬
‫دوﮔﺮوه ﻋﻤﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪:‬‬
‫‪ -1‬روشﻫﺎي ﻣﻬﺎﺟﺮﺗﻲ ﻛﻪ درﺣﻮزهاي ﻏﻴﺮ از ﺣﻮزه‬
‫ﻓﻮرﻳﻪ ﺻﻮرت ﻣﻲﭘﺬﻳﺮﻧﺪ‪ .‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﻬﺎﺟﺮت ﺑﻪ روش‬
‫اﺳــﺘﺎﻟﺖ در ‪ 1978‬روﺷــﻲ را ﻛــﻪ ﻣﻬــﺎﺟﺮت ﺑــﻪ روش‬
‫)‪ (f-k‬ﻧﺎﻣﻴﺪ‪ ،‬ﻣﻌﺮﻓﻲ ﻛﺮد‪ .‬اﻳـﻦ روش ﻓﻘـﻂ ﺑـﺮاي ﺣـﺎﻟﺘﻲ ﺑـﻪ‬
‫ﻛﺎر ﻣﻲرود ﻛـﻪ ﺳـﺮﻋﺖ ﺛﺎﺑـﺖ اﺳـﺖ‪ .‬اﻟﺒﺘـﻪ اﺳـﺘﺎﻟﺖ روش‬
‫ﺧﻮد را ﺑﺮاي ﺣﺎﻟﺖﻫﺎي ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻫـﻢ ﺑـﺴﻂ داد ﻛـﻪ‬
‫دﻗﺖ زﻳﺎدي ﻧﺪاﺷﺖ )اﺳﺘﺎﻟﺖ ‪ 1978،‬و اﻳﻠﻤﺎز‪.(2001 ،‬‬
‫ﻣﻬﺎﺟﺮت در ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺎ وﺟﻮد ﺗﻐﻴﻴﺮات ﻗﺎﺋﻢ ﺳﺮﻋﺖ‬
‫ﮔﺰداگ )‪ (1987‬ﺷﻜﻞ دوم ازﻣﻬﺎﺟﺮت درﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ‬
‫) ‪Ψ ( x, z , t‬‬
‫‪117‬‬
‫ﻓﻘﻂ ﺷـﺎﻣﻞ اﻣـﻮاج ﺑـﺎﻻ روﻧـﺪه و ﺳـﺮﻋﺖ ‪V‬‬
‫را ﻣﻄــﺮح ﻛــﺮد‪ ،‬ﻛــﻪ ﺑــﻪ روش ﺟﺎﺑــﻪﺟــﺎﻳﻲ ﻓــﺎز ﻳــﺎ روش‬
‫ﺛﺎﺑــﺖ اﺳــﺖ‪ .‬روش اﺳــﺘﺎﻟﺖ ﺟﺒﻬــﻪ ﻣــﻮج را از )‪ (x-t‬ﺑــﻪ‬
‫ﺑﺎزﮔــﺸﺘﻲ ﻣﻌــﺮوف اﺳ ـﺖ‪ .‬اﻳــﻦ روش را ﺑــﺮﺧﻼف روش‬
‫)‪(kx‬‬
‫اﺳﺘﺎﻟﺖ ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺮاي ﺣﺎﻟﺘﻲ ﻛﻪ ﺳﺮﻋﺖ ﺑﺎ ﻋﻤﻖ ﻣﺘﻐﻴﺮ اﺳـﺖ‬
‫ﺑﻪﻛﺎرﺑﺮد‪.‬‬
‫در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ازآﻧﺠﺎﻛﻪ ﺳﻌﻲ ﺑﺮ ﺑﺮﻃﺮف ﻛﺮدن ﻛﺎﺳﺘﻲ‬
‫روش )‪ (f-k‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻟﺬا اﺑﺘﺪا ﻣﺮوري ﺑﺮ روش )‪ (f-k‬اﺳﺘﺎﻟﺖ‬
‫ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﺳﭙﺲ روش )‪ v(z)(f-k‬را ﺑﻪﺻﻮرت ﻋﻤﻠﮕﺮ ﻓﻴﻠﺘﺮ‬
‫ﻧﺎﭘﺎﻳﺎ ﻛﻪ روي ﺑﺮدار ﺑﺴﺎﻣﺪﻫﺎ ﺑﺎ ﻋﺪد ﻣﻮج ﺛﺎﺑﺖ ا‪‬ﻋﻤﺎل‬
‫ﻣﻲﺷﻮد‪ ،‬ﻓﺮﻣﻮلﺑﻨﺪي ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬در اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﻣﺮﺣﻠﻪ‬
‫اﻧﺘﻘﺎل ﻣﻲدﻫﺪ‪.‬‬
‫‪Ψ ( x , z , t ) exp( −i [ωt − k x x ])dxdt‬‬
‫∞‪+‬‬
‫∫∫‬
‫∞‪−‬‬
‫= ) ‪Φ (k x , z , ω‬‬
‫)‪(1‬‬
‫ﻛﻪ در آن ) ‪ Φ(k x , z, ω‬ﻃﻴﻒ ﻓﻮرﻳﻪ دوﺑ‪‬ﻌﺪي ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ‬
‫) ‪ Ψ ( x, z, t‬اﺳﺖ و ‪ kz‬ﺑﻪﺻﻮرت )‪ (2‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫‪−kx2‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪ω2‬‬
‫‪v2‬‬
‫= ‪kz2‬‬
‫ﺗﺼﻮﻳﺮﺳﺎزي ﻃﻴﻔﻲ روش )‪ (f-k‬اﺳﺘﺎﻟﺖ ﺑﺎ ﻋﻤﻠﮕﺮ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻧﺎﭘﺎﻳﺎ‬
‫در اﻳﻨﺠﺎ ﻓﺮض ﺷﺪه ﻛﻪ ‪ z‬ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﭘﺎﻳﻴﻦ اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ‪.‬‬
‫ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﻣﻲﺷﻮد و دو ﻧﺴﻞ ﻣﺘﻔﺎوت از اﻳﻦ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻧﺎﭘﺎﻳﺎ ﻛﻪ‬
‫ﺑﺎ اﻳﻦ ﻓﺮض‪ ،‬ﺣﻞ ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﻠﻤﻬﻮﻟﺘﺰ ﺑﻪﺻﻮرت راﺑﻄﻪ‬
‫ﻳﻜﻲ ﺑﺎ ﻓﺮض ﺳﺮﻋﺖ ‪ rms‬و دﻳﮕﺮي ﺑﺎ ﺗﻘﺮﻳﺐ ‪WKBJ‬‬
‫)‪ (3‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪:‬‬
‫درﺟﻪ اول اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻌﺮﻓﻲ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪ .‬درﻧﻬﺎﻳﺖ ﻧﺮماﻓﺰارﻫﺎي‬
‫ﻫﺮدو روش )‪ (f-k‬و )‪ v(z)(f-k‬ﻛﻪ ﻧﮕﺎرﻧﺪﮔﺎن در ﻣﺤﻴﻂ‬
‫ﻣﻄﻠﺐ )‪ (MATLAB‬آﻧﻬﺎ را ﻧﻮﺷﺘﻪاﻧﺪ‪ ،‬روي روﻳﺪادﻫﺎي‬
‫ﻟﺮزهاي ﻫﺬﻟﻮﻟﻲ و ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻣﺼﻨﻮﻋﻲ و ﻣﻘﻄﻊ ﻟﺮزهاي‬
‫واﻗﻌﻲ ا‪‬ﻋﻤﺎل وﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻣﺒﺎﻧﻲ ﻧﻈﺮي روشﻫﺎي )‪ (f-k‬و )‪v(z)(f-k‬‬
‫ﻧﻈﺮﻳــﺔ ﻣﻄــﺮح ﺷــﺪه ازﺳــﻮي اﺳــﺘﺎﻟﺖ )‪ (1978‬از ﻣﻘﻄــﻊ‬
‫دوراُﻓﺖ ﺻﻔﺮ دوﺑ‪‬ﻌﺪي اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲﻛﻨـﺪ‪ .‬در ﻣـﺪل ﺑﺎزﺗﺎﺑﻨـﺪه‬
‫)‪( 3‬‬
‫ﭘﺎﻳﻴﻦروﻧﺪه ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ﭼﻮن ﺟﺒﻬﻪ ﻣﻮج ﻓﻘﻂ ﺷﺎﻣﻞ اﻣـﻮاج ﺑـﺎﻻ روﻧـﺪه اﺳـﺖ ﭘـﺲ‬
‫‪ B=0‬ﻓﺮض ﻣﻲﺷﻮد و ‪ ω A(kx),‬ﺑﺎ ) ‪) Φ(k x ,0, ω‬ﻃﻴـﻒ‬
‫داﻣﻨــﻪ ﻣﺮﺑــﻮط ﺑــﻪ دادهﻫــﺎي ﺛﺒــﺖ ﺷــﺪه(‪ ،‬ﺑﺮاﺑــﺮ اﺳــﺖ‪ .‬در‬
‫ﻣﻬﺎﺟﺮت ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﺗﻌﻴﻴﻦ )‪ Ψ ( x, z,0‬ﻫﺴﺘﻴﻢ‪.‬‬
‫∞‪+‬‬
‫) ‪, 0, ω ) exp(ik z z‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∫ ∫ Φ(k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪ ،‬ﺑﻪﺻﻮرت ﻣﻘﺪار ﻣﺮزي ﺟﺒﻬـﻪ ﻣـﻮج‪ Ψ ( x, z, t ) ،‬ﻛـﻪ در‬
‫) ‪ Ψ ( x, z, t‬از ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﻮج اﺳﻜﺎﻟﺮ دوﺑ‪‬ﻌﺪي ﺑـﻪدﺳـﺖ‬
‫) ‪B ( k x , ω ) exp( −ik z z‬‬
‫ﻛﻪ در آن ‪ B , A‬ﻃﻴﻒ داﻣﻨﻪ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ اﻣﻮاج ﺑـﺎﻻروﻧـﺪه و‬
‫اﻧﻔﺠﺎري )اﻳﻠﻤﺎز‪ (2001 ،‬ﻣﻘﻄﻊ دوراُﻓﺖ ﺻﻔﺮ‪Ψ( x,0, t ) ،‬‬
‫‪ z=0‬اﻧـــﺪازهﮔﻴـــﺮي ﺷـــﻮد‪ ،‬در ﻧﻈـــﺮ ﮔﺮﻓﺘـــﻪ ﻣـ ـﻲﺷـــﻮد ‪.‬‬
‫‪Φ ( k x , z , ω ) = A ( k x , ω ) exp(ik z z ) +‬‬
‫‪4π‬‬
‫= )‪Ψ ( x , z , 0‬‬
‫‪exp( −ik x x )dk x dw‬‬
‫)‪(4‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (4‬ﻣﻘﻄﻊ ﻋﻤﻘﻲ ﻣﻬﺎﺟﺮتﻳﺎﻓﺘﻪ را ﻣﻲدﻫﺪ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ ﻣﻘﻄﻊ‬
‫ﻣﻲ آﻳـﺪ )آﻛـﻲ ورﻳﭽـﺎرد‪ .(2002 ،‬در ﭘـﺮدازش داده ﻫـﺎي‬
‫زﻣــﺎﻧﻲ ﻣﻬــﺎﺟﺮتﻳﺎﻓﺘــﻪ را ﺑــﺎ اﺳــﺘﻔﺎده از ‪ Z=VT‬و ﺗﻌﺮﻳــﻒ‬
‫ﻟﺮزهاي ﺑﺎزﺗﺎﺑﻲ ﺑﺎ ا‪‬ﻋﻤﺎل ﻣﻬﺎﺟﺮت ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﺑـﻪدﺳـﺖ آوردن‬
‫‪ η = vk z‬ﻣﻲﺗﻮان از راﺑﻄﻪ )‪ (4‬ﺑﻪدﺳﺖ آورد‪.‬‬
‫ﺟﺒﻬﻪ ﻣﻮج در ﻣﺤﻞ ﺑﺎزﺗﺎﺑﻨﺪه )ﻳﻌﻨﻲ )‪ ( Ψ ( x, z,0‬ﻫﺴﺘﻴﻢ و‬
‫) ‪Φ ( k x , 0, ω ) exp(i ηT‬‬
‫ﺗﻨﻬﺎ اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ ﻛﻪ در اﺧﺘﻴﺎر ﻣﺎ ﻫﺴﺖ‪ ،‬ﺟﺒﻬﻪ ﻣﻮج ﺛﺒﺖ ﺷـﺪه‬
‫در ﺳﻄﺢ ﻳﺎ ) ‪ Ψ( x,0, t‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫دو ﻓـــﺮض اﺳﺎﺳـــﻲ روش اﺳـــﺘﺎﻟﺖ اﻳـــﻦ اﺳـــﺖ ﻛـــﻪ‬
‫‪exp( −ik x x )dk x d ω‬‬
‫)‪(5‬‬
‫∫∫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π‬‬
‫= )‪Ψ ( x ,T , 0‬‬
‫ﻣﺠﻠﺔ ﻓﻴﺰﻳﻚ زﻣﻴﻦ و ﻓﻀﺎ‪ ،‬دوره ‪ ،37‬ﺷﻤﺎره ‪1390 ،3‬‬
‫‪118‬‬
‫ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ در آﻧﻬﺎ ﺑﺴﺎﻣﺪ ﻣﻬﺎﺟﺮتﻳﺎﻓﺘﻪ ‪ η‬از ﺣﻘﻴﻘـﻲ ﺑـﻪ ﻣﺨـﺘﻠﻂ‬
‫ﺣﻞ ﻋﺪدي ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (5‬ﺑﺎ اﺷﻜﺎل روﺑﻪرو ﻣﻲﺷﻮد‪ ،‬ﭼﻮن‬
‫ﺗﻐﻴﻴــﺮ ﻳﺎﻓﺘــﻪ اﺳــﺖ‪ .‬ﺗــﺼﻮﻳﺮﺳﺎزي ﻃﻴﻔــﻲ در روش)‪ (f-k‬ﻣﻨﻄﻘــﻪ‬
‫‪ ω d‬ﺑﺎ ) ‪ exp(iηT‬ﻫﻤﺨﻮاﻧﻲ ﻧﺪارد‪ .‬اﺳﺘﺎﻟﺖ اﻳﻦ ﻣﺸﻜﻞ‬
‫ﻧﻴﻢداﻳﺮه رااز ﻣﺜﻠﺚ ﺑﻪوﺟﻮد آورده اﺳﺖ‪ .‬ﻧﻘﻄـﻪ ‪ p2‬ﺑـﻪ ﻣﺨﺘـﺼﺎت‬
‫را ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﺘﻐﻴﺮ ‪ ω‬ﺑﻪ ‪ η‬ﺣﻞ ﻛﺮد‪:‬‬
‫) ‪ (η , k x‬از ﻧﻘﻄﻪ ‪ p1‬ﺑﻪ ﻣﺨﺘﺼﺎت) ( ‪ ,kx ω‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآﻳـﺪ‬
‫‪ω (η , k x ) = sign (η ) η 2 + v 2 k x 2‬‬
‫)ﻣﺎرﮔﺮﻳﻮ‪.(2001 ،‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪η (ω , k x ) = sign (w ) ω 2 −v 2 k x 2‬‬
‫ﺑﺎ ﺟﺎيﮔﺬاري راﺑﻄﻪ )‪ (6‬در )‪ (5‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫) ‪Φ ( k x , 0, η + v k x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻣﻘﺎﻟــــﻪ را ﻣــــﺎرﮔﺮﻳﻮ در ‪ 2001‬ﭘﻴــــﺸﻨﻬﺎد ﻛــــﺮد‪ .‬اﻳــــﻦ‬
‫روش ﻗـــﺎدر اﺳـــﺖ ﺑـــﺎ دﻗـــﺖ زﻳـــﺎد ﺑـــﺮاي ﻣـــﻮاﻗﻌﻲ ﻛـــﻪ‬
‫‪η‬‬
‫‪η +v k x‬‬
‫‪2‬‬
‫اﻳـــﺪه اوﻟﻴـــﻪ روش )‪ v(z)(f-k‬ﺑــﻪﻛﺎررﻓﺘـــﻪ در اﻳـــﻦ‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪θ (k x ,η‬‬
‫ﺳــﺮﻋﺖ اﻧﺘــﺸﺎر ﻣــﻮج ﺑــﺎ ﻋﻤــﻖ ﺗﻐﻴﻴــﺮ ﻣــﻲﻛﻨــﺪ‪ ،‬ﺑــﺎ ﻃﺮاﺣــﻲ‬
‫ﻓﻴﻠﺘــﺮي واﺑــﺴﺘﻪ ﺑــﻪ زﻣــﺎن‪ ،‬ﻣﻘﻄــﻊ ﻣﻬــﺎﺟﺮتﻳﺎﻓﺘــﻪ را در‬
‫ﺣـــﻮزه ﻓﻮرﻳـــﻪ ﺑـــﻪدﺳـــﺖ آورد‪ .‬روش ﭘـــﻴﺶﮔﻔﺘـــﻪ در‬
‫)‪(7‬‬
‫∞‪+‬‬
‫) ‪, η ) exp(i ηT‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∫ ∫ θ (k‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4π 2‬‬
‫= )‪Ψ ( x ,T , 0‬‬
‫‪exp(−ik x x )dk x d η‬‬
‫)‪(8‬‬
‫ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ دوﺑ‪‬ﻌﺪي‪ ،‬ﻃﻴﻒ ﻣﻘﻄﻊ ﻣﻬﺎﺟﺮتﻳﺎﻓﺘﻪ را ﺑـﻪﻃـﻮر‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ از ﻃﻴﻒ ﻣﻘﻄﻊ ﻟﺮزهاي ﻣﻬﺎﺟﺮتﻧﻴﺎﻓﺘﻪ ﺑـﺮاي ﺳـﺮﻋﺖ‬
‫)‪ v(z‬ﻣــﺸﺨﺺ ﺑﺎزﺳــﺎزي ﻣــﻲﻛﻨــﺪ‪ .‬ﻓﻴﻠﺘﺮﻧﺎﭘﺎﻳــﺎ )ﻣــﺎرﮔﺮﻳﻮ‪،‬‬
‫‪ (1998‬در ﺣـــﻮزه ﻣﺨـــﺘﻠﻂ را ﻣـــﻲﺗـــﻮان ﺑـــﻪﺻـــﻮرت‬
‫در اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﻣﻌﺎدﻻت )‪ (7‬و )‪ (8‬اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‬
‫زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺖ‪:‬‬
‫ﻛﺎﻣﻞ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دوﺑ‪‬ﻌﺪي اﺳﺘﺎﻟﺖ ﺑﺮاي ﻣﻘﻄﻊ دوراُﻓﺖ‬
‫∞‪+‬‬
‫‪∫ Φ(ω )α (ω ,T ) exp(i ωT )d ω‬‬
‫ﺻﻔﺮ ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ﺛﺎﺑﺖ ﺗﺪوﻳﻦ ﺷﺪ‪ .‬آﻧﭽﻪ در ﻋﻤﻞ ﺑﻪﻫﻨﮕﺎم‬
‫∞‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ) ‪Ψ (T‬‬
‫ﻣﻬﺎﺟﺮت ﺑﻪروش اﺳﺘﺎﻟﺖ روي ﻣﻲدﻫﺪ در واﻗﻊ ﻣﻨﻄﻘﻪ‬
‫)‪(9‬‬
‫ﭘﺎﻳﺪار )‪ (nonevanescent‬ﻣﺜﻠﺜﻲﺷﻜﻞ در ﺣﻮزه )‪ (f-kx‬ﺑﻪ‬
‫ﻛﻪ در آن ‪ (T) Ψ‬ﺳﺮي زﻣﺎﻧﻲ ﺧﺮوﺟـﻲ‪ ω ( Φ ) ،‬ﺗﺒـﺪﻳﻞ‬
‫ﻃﻴﻒ ﻣﻬﺎﺟﺮتﻳﺎﻓﺘﻪ داﻳﺮهاي ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲﺷﻮد )ﺷﻜﻞ‪ .(1‬ﻫﺮ‬
‫ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﺮي زﻣﺎﻧﻲ ورودي و )‪ ω (t, α‬ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻧﺎﭘﺎﻳﺎ درﺣـﻮزه‬
‫ﻧﻤﻮﻧﻪ از ﻃﻴﻒ ﻣﻘﻄﻊ ﻟﺮزهاي ﻣﻬﺎﺟﺮتﻳﺎﻓﺘﻪ در‬
‫ﻓﻮرﻳﻪ اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ واﺑﺴﺘﮕﻲ ‪ T‬در ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )‪ (9‬وﺟـﻮد ﻧﺪاﺷـﺘﻪ‬
‫ﺣﻮزه ) ‪ (k x ,η‬از ﻃﻴﻒ ﻣﻘﻄﻊ ﻣﻬﺎﺟﺮتﻧﻴﺎﻓﺘﻪ در ﺣﻮزه‬
‫)‪ ω ,(kx‬ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ ﻛﻪ در آن ‪ ω‬درﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪(6‬‬
‫آورده ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﺎﺷــﺪ‪ ،‬اﻳــﻦ ﻣﻌﺎدﻟــﻪ ﺑــﻪ ﻓﻴﻠﺘــﺮ ﭘﺎﻳــﺎ در ﺣــﻮزه ﻓﻮرﻳــﻪ ﺗﺒــﺪﻳﻞ‬
‫ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫ا‪‬ﻋﻤﺎل اﻳﺪه ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻧﺎﭘﺎﻳﺎ ﺑﻪ روش ﻣﻬﺎﺟﺮت اﺳﺘﺎﻟﺖ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫)‪ (5‬آﻏﺎز ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬اوﻟﻴﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ در اﻳﻦ راﺳﺘﺎ‪ ،‬ﺣﺬف‬
‫ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ‪ ، kx‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪, 0, ω ) m ( k x ,T , ω )d ω‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∫ Φ(k‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫= )‪Ψ ( k x ,T , 0‬‬
‫)‪(10‬‬
‫ﺷﻜﻞ‪ .1‬ﺗﺼﻮﻳﺮﺳﺎزي ﻣﻬﺎﺟﺮت )‪ (f-k‬ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ)‪ (8‬ﺑﻴـﺎن ﺷـﺪه اﺳـﺖ‪.‬‬
‫ﻃﻴﻒ )‪ (f-k‬دادهﻫـﺎي دوراُﻓـﺖ ﺻـﻔﺮ ﻣﻬـﺎﺟﺮتﻧﻴﺎﻓﺘـﻪ در ﻣﺜﻠـﺚ‬
‫‪ ABC‬واﻗﻊ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬اﺿﻼع ‪ AC‬و‪ AB‬ﻣﺮزﻫﺎي ﻣﻨﻄﻘﻪ ﭘﺎﻳﺪار‬
‫ﻛـﻪ در آن ﻓﻴﻠﺘـﺮ ﻣﻬـﺎﺟﺮت ‪ ω m(kx,T),‬ﺑـﻪﺻـﻮرت زﻳــﺮ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﺷﻮد ‪:‬‬
‫ﻣﻬﺎﺟﺮت در ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺎ وﺟﻮد ﺗﻐﻴﻴﺮات ﻗﺎﺋﻢ ﺳﺮﻋﺖ‬
‫= ) ‪ω −v k x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m ( k x ,T , ω ) = exp(i ηT ) = exp(iT‬‬
‫) ‪1− p v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪exp(i ωT‬‬
‫)‪(11‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (11‬ﭼﻨﺪﻳﻦ ﺻﻮرت از ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﻬﺎﺟﺮت را ﺑﻴﺎن‬
‫ﻣﻲﻛﻨﺪ ‪ .‬در آﺧﺮﻳﻦ ﺟﻤﻠﻪ از ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﭘﺮﺗﻮ )ﻳﺎ ﻛﻨﺪي‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (16‬ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫـﺪ‪M (k x , ζ , ω ) ،‬‬
‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ )از ‪ T‬ﺑﻪ ‪ ) ω m(kx,T, ( ζ‬اﺳـﺖ‪ .‬ﻻزم ﺑـﻪ‬
‫اﺷﺎره اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻘﻄﻊ ﻣﻬﺎﺟﺮتﻳﺎﻓﺘﻪ ﻧﻬﺎﻳﻲ ﺑﺎ ﻋﻜـﺲ ﺗﺒـﺪﻳﻞ‬
‫ﻓﻮرﻳﻪ دوﺑ‪‬ﻌﺪي ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪:‬‬
‫∞‪+‬‬
‫ﻇﺎﻫﺮي( ‪ ω p=kx/‬اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪(10‬را‬
‫) ‪, ζ ) exp(i ζ T‬‬
‫) ‪, 0, ω )α ( k x ,T , ω‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∫ Φ (k‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∫ ∫ θ (k‬‬
‫∞‪−‬‬
‫ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (9‬ﻫﻢ ﻧﻮﺷﺖ‪.‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪119‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4π 2‬‬
‫= )‪Ψ ( x ,T , 0‬‬
‫‪exp( −ik x x )dk x d ζ‬‬
‫= )‪Ψ ( k x ,T , 0‬‬
‫‪exp(i ωT )d ω‬‬
‫)‪(17‬‬
‫در اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴـﻖ دو ﺷـﻴﻮه ﻣﺘﻔـﺎوت ﺑـﺮاي ﻣﻨﻈـﻮر ﻛـﺮدن‬
‫)‪(12‬‬
‫ﺗﻐﻴﻴﺮات ﻗﺎﺋﻢ ﺳﺮﻋﺖ در ﻓﺮﻣﻮلﺑﻨﺪي ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻧﺎﭘﺎﻳﺎ ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑـﺮده‬
‫از ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪﻫﺎي )‪ (12‬و )‪ (10‬ﻛﻤﻴ‪‬ﺖ ‪ω α(kx ,T),‬‬
‫ﺷﺪ‪ .‬در اوﻟﻴﻦ روش ﻳﺎ روش ‪ v(z)(f-k)rms‬ردﻳﺎﺑﻲ ﭘﺮﺗﻮ ﺑـﺎ‬
‫ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪.‬‬
‫‪ Vrms‬و در دوﻣـــــﻴﻦ روش ﻳـــــﺎ روش ‪v(z)(f-k)WKBJ‬‬
‫) ‪α (k x ,T , ω ) = m (k x ,T , ω ) exp(−i ωT‬‬
‫ردﻳﺎﺑﻲ ﭘﺮﺗـﻮ اﻧﺤﻨـﺎدار ﺑـﺎ اﺳـﺘﻔﺎده ازﺗﻘﺮﻳـﺐ ‪ WKBJ‬ﺑـﺮاي‬
‫)‪(13‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟــﻪ ﻣــﻮج اﺳــﻜﺎﻟﺮ در ﻣﺤــﻴﻂ ﻻﻳــﻪﺑﻨــﺪي ﺷــﺪه ﺻــﻮرت‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (10‬ﻳـﺎ ﻣﺘﻨـﺎﻇﺮ آن ﻣﻌﺎدﻟـﻪ )‪ (12‬ﺑﻴـﺎن ﻓﻴﻠﺘـﺮ‬
‫ﮔﺮﻓــﺖ‪ .‬روش اول )ردﻳــﺎﺑﻲ ﭘﺮﺗــﻮ ﺑــﺎ ‪ (Vrms‬ﻣﺰﻳــﺖﻫــﺎي‬
‫ﻧﺎﭘﺎﻳﺎ در ﺣﻮزه ﻣﺨﺘﻠﻂ )‪ ،( ω T‬اﺳﺖ‪ .‬درواﻗـﻊ ﺣـﻞ ﻋـﺪدي‬
‫ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻲ دارد درﺣﺎﻟﻲﻛﻪ روش دوم دﻗـﺖ ﺑﻴـﺸﺘﺮي دارد‬
‫ﻣﻌﺎدﻟـــﻪ )‪ (10‬ﭘﺎﻳـــﻪ و اﺳـــﺎس روش )‪ v(z)(f-k‬ﻣﺤـــﺴﻮب‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﺑﺎاﻳﻦﺣﺎل ﺑـﺮاي دﺳـﺘﻴﺎﺑﻲ ﺑـﻪ ﻣﺘﻨـﺎﻇﺮ اﻳـﻦ روش ﺑـﺎ‬
‫اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺼﻮﻳﺮﺳﺎزي ﻃﻴﻔﻲ اﺳﺘﺎﻟﺖ‪ ،‬ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ روي )‪ Ψ(k x , T ,0‬ﻫﺴﺘﻴﻢ‪.‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪,T , 0) exp( −i ζ T )dT‬‬
‫‪∫ Ψ (k‬‬
‫= ) ‪θ (k x , ζ‬‬
‫∞‪−‬‬
‫ﺑﺎ ﺟﺎيﮔﺬاري ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (10‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ ،(14‬ﻓﺮﻣﻮل ﻓﻴﻠﺘﺮ‬
‫ﻧﺎﭘﺎﻳﺎ در ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ ﻛﺎﻣﻞ ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪.‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪, 0, ω ) M ( k x , ζ , ω )d ω‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∫ Φ(k‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ) ‪θ (k x , ζ‬‬
‫)‪(15‬‬
‫)‪(18‬‬
‫ﻛﻪ در آن )‪ Vrms(T‬ﺳﺮﻋﺖ ﺟﺬر ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺑﻪﺻﻮرت ﺗﺎﺑﻌﻲ‬
‫از زﻣﺎن ﺳﻴﺮ ﻗﺎﺋﻢ ﻣﻮج در ﻻﻳﻪ اﺳﺖ‪ .‬در اﻳﻨﺠﺎ ﻋﻤﻠﮕﺮ‬
‫‪ ) ω mrms(kx,T,‬ﺑﻪدﺳﺖ آﻣﺪه ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺗﺤﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ‬
‫راﺑﻄﻪ )‪ (16‬ﻗﺮار ﮔﻴﺮد و ﻣﻘﻄﻊ ﻣﻬﺎﺟﺮتﻳﺎﻓﺘﻪ ﻧﻬﺎﻳﻲ را اﻳﺠﺎد‬
‫ﻛﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻫﻤﺎنﻃﻮر ﻛﻪ ذﻛﺮ ﺷﺪ‪ ،‬دوﻣﻴﻦ ﺷﻴﻮه ﺑﺮاي ﻣﻨﻈﻮر ﻛﺮدن‬
‫∞‪+‬‬
‫‪,T , ω ) exp( −i ζ T )dT‬‬
‫ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m rms ( k x ,T , ω ) = exp(i ωT 1 − P 2V rms‬‬
‫)) ‪(T‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫ا‪‬ﻋﻤــﺎل ﺷــﻴﻮه اول در ﻋﻤــﻞ ﺑــﺎ ﺗﻐﻴﻴــﺮ )‪m(kx,T, ω‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∫ m (k‬‬
‫= ) ‪M (k x , ζ , ω‬‬
‫∞‪−‬‬
‫)‪(16‬‬
‫ﻛﻪ در آن ) ‪ M (k x , ζ , ω‬ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﻬﺎﺟﺮت در ﺣـﻮزه ﻓﻮرﻳـﻪ‬
‫ﺗﻐﻴﻴﺮات ﺳﺮﻋﺖ ﺑﺎ ﻋﻤﻖ از ﺣﻞ ‪ WKBJ‬ﺑـﺮاي ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ﻣـﻮج‬
‫اﺳﻜﺎﻟﺮ در ﻣﺤﻴﻂ ﻻﻳﻪﺑﻨﺪي ﺷﺪه اﺳـﺘﻔﺎده ﻣـﻲﻛﻨـﺪ‪ .‬در اﻳـﻦ‬
‫ﺗﻘﺮﻳﺐ ﺟﻮاب ﺑـﻪدﺳـﺖ آﻣـﺪه ﺑـﻪﺻـﻮرت ﺟﻤﻠـﻪاي ﺑـﺎ ﻓـﺎز‬
‫اﻧﺘﮕﺮاﻟﻲ اﺳﺖ )آﻛﻲ و رﻳﭽﺎرد‪.(2002 ،‬‬
‫ﻣﺠﻠﺔ ﻓﻴﺰﻳﻚ زﻣﻴﻦ و ﻓﻀﺎ‪ ،‬دوره ‪ ،37‬ﺷﻤﺎره ‪1390 ،3‬‬
‫‪120‬‬
‫‪T‬‬
‫‪mW KBJ ( k x ,T , ω ) = exp(i ω ∫ 1 − P 2V 2 (u )du‬‬
‫‪0‬‬
‫ﺑﺮ اﺳﺎس ﻧﻈﺮﻳﻪﻫﺎي ﻣﻮﺟﻮد‪ ،‬اﻧﺘﻈﺎر ﻣﻲرود ﻫﺮ اﺳﭙﺎﻳﻚ در‬
‫ﻣﻘﻄﻊ ﻟﺮزهاي‪ ،‬ﭘﺲ از ا‪‬ﻋﻤﺎل ﻣﻬﺎﺟﺮت ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻧﻴﻢداﻳﺮه‬
‫)‪(19‬‬
‫)در ﻣﻘﻄﻊ ﻣﻜﺎن‪ -‬ﻣﻜﺎن ﻳﺎ ﻫﺬﻟﻮﻟﻲ در ﻣﻘﻄﻊ ﻣﻜﺎن‪ -‬زﻣﺎن(‬
‫ﺳﺮﻋﺖ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه در ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ (19‬ﺳﺮﻋﺖ ﻟﺤﻈﻪاي اﺳﺖ‪.‬‬
‫و ﻫﺮ ﭘﺮاﺷﻲ در ﻣﻘﻄﻊ ﻟﺮزهاي‪ ،‬ﭘﺲ از ا‪‬ﻋﻤﺎل ﻣﻬﺎﺟﺮت‬
‫‪3‬‬
‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ ﻳﻚ اﺳﭙﺎﻳﻚ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺮاي ﻧﺸﺎن دادن ﺗﻮاﻧﻤﻨﺪي‬
‫ﻧﺮماﻓﺰارﻫﺎي ﺗﺪوﻳﻦ ﺷﺪه‬
‫ﻧﮕﺎرﻧﺪﮔﺎن ﺑﻪﻣﻨﻈﻮر ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻛﺎراﻳﻲ دو روش ﻣﻬﺎﺟﺮت‬
‫)‪ (f-k‬و )‪ ،v(z)(f-k‬ﻧﺮماﻓﺰارﻫﺎﻳﻲ ﺑﺮاي ﻫﺮ دو روش‬
‫درﻣﺤﻴﻂ ﻣﻄﻠﺐ )‪ (MATLAB‬ﻧﻮﺷﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻧﻤﻮدار ﮔﺮدﺷﻲ‬
‫آﻧﻬﺎ در ﺷﻜﻞ ‪ 2‬دﻳﺪه ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫روش ﻋﺮﺿﻪ ﺷﺪه در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻣﻘﺎﻃﻊ ﻣﺼﻨﻮﻋﻲ ﺣﺎوي‬
‫اﺳﭙﺎﻳﻚ و ﭘﺮاش ﺗﻬﻴﻪ و ﻧﺘﺎﻳﺞ ا‪‬ﻋﻤﺎل روش روي آﻧﻬﺎ در‬
‫ﺷﻜﻞﻫﺎي ‪ 4‬ﺗﺎ ‪ 8‬آورده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮاي ﺳﺎﺧﺖ دادهﻫﺎي‬
‫ﻣﺼﻨﻮﻋﻲ از ﻣﺸﺘﻖ اول ﺗﺎﺑﻊ ﮔﺎوﺳﻲ ﺑﻪﻣﻨﺰﻟﻪ ﻣﻮﺟﻚ ﺑﺎ‬
‫ﺑﺴﺎﻣﺪ ﻏﺎﻟﺐ ‪ 80‬ﻫﺮﺗﺰ وﺑﺎزه ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري ﻳﻚ ﻣﻴﻠﻲﺛﺎﻧﻴﻪ‪،‬‬
‫‪ 4‬ا‪‬ﻋﻤﺎل روش روي ﻣﻘﺎﻃﻊ ﻣﺼﻨﻮﻋﻲ‬
‫) ‪Ψ ( x,0, t‬‬
‫اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬
‫) ‪Ψ ( x , 0, t‬‬
‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دوﺑ‪‬ﻌﺪي‬
‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دوﺑ‪‬ﻌﺪي‬
‫)‪ϕ (k x ,0, ω‬‬
‫) ‪ϕ (k x ,0, ω‬‬
‫ﺗﺒﺪﻳﻞ‬
‫‪ω‬‬
‫ﺑﻪ‬
‫‪kz‬‬
‫اﻋﻤﺎل ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﻬﺎﺟﺮت روي ﺑﺮدار ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎي ﺑﺴﺎﻣﺪ ورودي‬
‫) ‪ϕ ( k x ,0, v k x2 + k z2‬‬
‫) ‪θ (k x , ξ‬‬
‫ا‪‬ﻋﻤﺎل‬
‫ﻓﺎﻛﺘﻮر اﺳﻜﻴﻠﻴﻨﮓ‬
‫ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دوﺑ‪‬ﻌﺪي‬
‫) ‪ϕ (k x ,0, v k x2 + k z2‬‬
‫‪vk z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪k +k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪Ψ ( x ,τ ,0‬‬
‫ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دوﺑ‪‬ﻌﺪي‬
‫)‪Ψ ( x ,τ ,0‬‬
‫)اﻟﻒ(‬
‫)ب(‬
‫ﺷﻜﻞ‪ .2‬اﻟﻒ( ﻧﻤﻮدار ﮔﺮدﺷﻲ ﻣﻬﺎﺟﺮت ﺑﻪ روش)‪ .v(z)(f-k‬ب( ﻧﻤﻮدار ﮔﺮدﺷﻲ ﻣﻬﺎﺟﺮت ﺑﻪ روش )‪.(f-k‬‬
‫‪121‬‬
‫ﻣﻬﺎﺟﺮت در ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺎ وﺟﻮد ﺗﻐﻴﻴﺮات ﻗﺎﺋﻢ ﺳﺮﻋﺖ‬
‫)اﻟﻒ(‬
‫)ب(‬
‫)ج(‬
‫)د(‬
‫ﺷﻜﻞ‪ .3‬اﻟﻒ( ﻣﻘﻄﻊ دوراُﻓﺖ ﺻﻔﺮﻣﺼﻨﻮﻋﻲ ﻛﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﻳﻚ روﻳﺪاد ﻫﺬﻟﻮﻟﻲ )ﭘﺮاش( اﺳﺖ ﻛﻪ از ردﻳﺎﺑﻲ ﭘﺮﺗﻮ ﺑﻪدﺳﺖ آﻣﺪه اﺳﺖ‪ .‬ب (ﻣﻘﻄﻊ ﺷﻜﻞ )اﻟﻒ( ﺑﺎ ﺑﻴﺸﻴﻨﻪ‬
‫دوراُﻓﺖ‪ 800‬ﻣﺘﺮ‪ .‬ج( ﻣﻘﻄﻊ دوراُﻓﺖ ﺻﻔﺮﻣﺼﻨﻮﻋﻲ ﺷﻜﻞ اﻟﻒ ﺑﺎ ‪ 5%‬ﻧﻮﻓﻪ ﺗﺼﺎدﻓﻲ ‪ .‬د( ﻣﻘﻄﻊ دوراُﻓﺖ ﺻﻔﺮﻣﺼﻨﻮﻋﻲ ﻛﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﭘﻨﺞ اﺳﭙﺎﻳﻚ اﺳﺖ‪.‬‬
‫)اﻟﻒ(‬
‫)ب(‬
‫ﺷﻜﻞ‪ .4‬اﻟﻒ( و )ب( ﺷﻜﻞﻫﺎي ﺣﺎﺻﻞ از ا‪‬ﻋﻤﺎل ﻣﻬﺎﺟﺮت )‪ (f-k‬ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ‪ rms‬ﺗﺎ ﻻﻳﻪ ﻣﻮردﻧﻈﺮ روي ﻣﻘﺎﻃﻊ ﺷﻜﻞﻫﺎي ‪3‬اﻟﻒ و ‪3‬ج‪.‬‬
‫ﻫﻤﺎنﻃﻮر ﻛﻪ در ﺷﻜﻞﻫﺎي ﺑﺎﻻ ﻣﻲﺑﻴﻨﻴﻢ‪ ،‬ﻧﺘﺎﻳﺞ ِﻋﻤﺎل‬
‫ﻣﻬﺎﺟﺮت ﺑﻪ روش ‪ f-k‬ﻧﺘﻮاﻧﺴﺘﻪ اﺳﺖ ﭘﺮاش را ﺑﻪﺧﻮﺑﻲ‬
‫ﺟﻤﻊ و ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺠﻠﺔ ﻓﻴﺰﻳﻚ زﻣﻴﻦ و ﻓﻀﺎ‪ ،‬دوره ‪ ،37‬ﺷﻤﺎره ‪1390 ،3‬‬
‫‪122‬‬
‫)اﻟﻒ(‬
‫)ب(‬
‫)ج(‬
‫)د(‬
‫)ه(‬
‫ﺷﻜﻞ‪ .5‬اﻟﻒ( ‪) ،‬ب( و )ه( ﺷﻜﻞﻫﺎي ﺣﺎﺻﻞ از ا‪‬ﻋﻤﺎل ﻣﻬﺎﺟﺮت ‪ v(z)(f-k)rms‬روي ﻣﻘﺎﻃﻊ ﺷﻜﻞﻫﺎي ‪3‬اﻟﻒ ‪3 ،‬ب و ‪3‬ج‪ .‬ج( و د( ﺷﻜﻞﻫﺎي ﺣﺎﺻﻞ از ا‪‬ﻋﻤـﺎل‬
‫ﻣﻬﺎﺟﺮت ‪ v(z)(f-k)WKBJ‬روي ﻣﻘﺎﻃﻊ ﺷﻜﻞﻫﺎي‪3‬اﻟﻒ و ‪3‬ج‪.‬‬
‫ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺎ روش ‪ fk‬ﺑﻬﺘﺮ ﻋﻤﻞ ﻛﺮده و ﭘﺮاشﻫﺎ را ﺗﺎ ﺣﺪ‬
‫ﺷﻜﻞ ‪ 5‬ﻧﺘﺎﻳﺞ ا‪‬ﻋﻤﺎل ﻣﻬﺎﺟﺮت ﺑﻪ روش‬
‫‪ v(z)(f-k)rms‬و ‪ v(z)(f-k)WKBJ‬را روي ﭘﺮاشﻫﺎي‬
‫ﻣﻄﻠﻮﺑﻲ ﺟﻤﻊ ﻛﺮده اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺷﻜﻞ ‪ 3‬ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ‪ .‬ﻫﻤﺎنﻃﻮر ﻛﻪ ﻣﻲﺑﻴﻨﻴﻢ اﻳﻦ روش در‬
‫)اﻟﻒ(‬
‫)ب(‬
‫)ج(‬
‫ﺷﻜﻞ‪ .6‬اﻟﻒ ( ﻫﺬﻟﻮﻟﻲﻫﺎي ﺣﺎﺻﻞ از ا‪‬ﻋﻤﺎل روش )‪ (f-k‬روي ﻣﻘﻄﻊ ﺷﻜﻞ ‪3‬د ‪.‬ب( ﻫﺬﻟﻮﻟﻲﻫﺎي ﺣﺎﺻﻞ از ا‪‬ﻋﻤـﺎل روش‪ v(z) (f-k) rms‬روي ﻣﻘﻄـﻊ ﺷـﻜﻞ ‪3‬د‪.‬‬
‫ج( ﻫﺬﻟﻮﻟﻲﻫﺎي ﺣﺎﺻﻞ از ا‪‬ﻋﻤﺎل روش ‪ v(z)(f-k)WKBJ‬روي ﻣﻘﻄﻊ ﺷﻜﻞ ‪3‬د‪.‬‬
‫‪123‬‬
‫ﻣﻬﺎﺟﺮت در ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺎ وﺟﻮد ﺗﻐﻴﻴﺮات ﻗﺎﺋﻢ ﺳﺮﻋﺖ‬
‫ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪدﺳﺖ آﻣﺪه از ا‪‬ﻋﻤﺎل روشﻫﺎي ﻣﻬﺎﺟﺮت‬
‫روش ﻣﻬﺎﺟﺮت ‪ v(z)(f-k)WKBJ‬و ‪v(z)(f- k)rms‬‬
‫)‪ (f-k‬و )‪ v(z)(f-k‬روي ﻣﻘﺎﻃﻊ ﻟﺮزهاي دوراُﻓﺖ‬
‫روي آن ا‪‬ﻋﻤﺎل و ﻧﺘﺎﻳﺞ آن درﺷﻜﻞ ‪ 8‬ﻧﺸﺎن داده ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫ﺻﻔﺮ ﺣﺎوي ﭘﺮاش‪ ،‬ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ روشﻫﺎي )‪v(z)(f-k‬‬
‫ﻣﺪل ﺳﺮﻋﺖ ﺑﻪﻛﺎر رﻓﺘﻪ ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺟﺪول‪ 1‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻬﺘﺮي ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ روش اﺳﺘﺎﻟﺖ اﻳﺠﺎد ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻧﺮماﻓﺰار‬
‫و‬
‫ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺣﺎﺻﻞ از ا‪‬ﻋﻤﺎل روشﻫﺎي )‪ (f-k‬و ‪v(z)(f-‬‬
‫ﺑﺮونﻳﺎﺑﻲ ﺑﻴﻦ ﺳﺮﻋﺖﻫﺎي ﺑﻪدﺳﺖ آﻣﺪه از ﺗﺤﻠﻴﻞ‬
‫)‪k‬روي ﻣﻘﻄﻊ ﻟﺮزهاي ﺣﺎوي اﺳﭙﺎﻳﻚ‪ ،‬ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ‬
‫ﺳﺮﻋﺖ ‪ ،‬ﻣﺪلﻫﺎي ﺳﺮﻋﺖ ‪ rms‬و ‪ WKBJ‬را‬
‫اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ )‪ v(z)(f-k‬ﻧﺘﺎﻳﺠﻲ ﺷﺒﻴﻪ ﺑﻪ )‪ (f-k‬دارد‬
‫ﺑﺮاي ﻫﻤﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎي زﻣﺎﻧﻲ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ و ﻣﻬﺎﺟﺮت را‬
‫اﻣﺎ ﺑﺪون ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎي اﺿﺎﻓﻲ ﻣﻌﻤﻮل ﻛﻪ ﺑﻪﺧﺎﻃﺮ درونﻳﺎﺑﻲ‬
‫روي داده ورودي ا‪‬ﻋﻤﺎل ﻣﻲﻛﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﺎنﻃﻮر ﻛﻪ‬
‫ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ درﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ در روش )‪ (f-k‬اﻳﺠﺎد‬
‫ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲﺷﻮد‪ ،‬ا‪‬ﻋﻤﺎل ﻣﻬﺎﺟﺮت ‪ v(z)(f-k)WKBJ‬و‬
‫ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫‪ v(z)(f-k)rms‬روي ﻣﻘﻄﻊ ﻟﺮزهاي واﻗﻌﻲ ﺷﺒﻴﻪ ﺑﻪ‬
‫ﺗﺪوﻳﻦ‬
‫ﺷﺪه‬
‫ﺑﺎ‬
‫درونﻳﺎﺑﻲ‬
‫ﻫﻢ ﻋﻤﻞ ﻛﺮده اﺳﺖ وﻟﻲ روش ‪ v(z)(f-k)WKBJ‬ﻧﺴﺒﺖ‬
‫‪5‬‬
‫ا‪‬ﻋﻤﺎل روش روي ﻣﻘﻄﻊ واﻗﻌﻲ‬
‫ﺑﻪ روش ‪ v(z)(f-k)rms‬ﺑﻬﺘﺮ ﺗﻮاﻧﺴﺘﻪ اﺳﺖ اﺛﺮات ﭘﺎﭘﻴﻮﻧﻲ‬
‫ﺷﻜﻞ‪ 7‬ﻳﻚ ﻣﻘﻄﻊ ﻟﺮزهاي واﻗﻌﻲ را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ )اﻳﻦ‬
‫)‪ (bowtie effect‬را در زﻣﺎنﻫﺎي ﺑﻌﺪ از ‪ 1/6‬ﺛﺎﻧﻴﻪ ﺗﺼﺤﻴﺢ‬
‫ﻣﻘﻄﻊ ﻗﺴﻤﺘﻲ از ﻳﻚ ﻣﻘﻄﻊ ﻟﺮزهاي ﺑﺰرگﺗﺮ اﺳﺖ‪ (.‬ﻛﻪ‬
‫ﻛﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺷﻜﻞ‪ .7‬اﻟﻒ( ﺑﺨﺸﻲ از ﻳﻚ ﻣﻘﻄﻊ ﻟﺮزهاي دوراُﻓﺖ ﺻﻔﺮ ﺑﺎ روﻳﺪادﻫﺎي ﻟﺮزهاي ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ‪ Bowtie‬ﺑﺮاي ﻣﻬﺎﺟﺮت‪.‬‬
‫‪124‬‬
‫ﻣﺠﻠﺔ ﻓﻴﺰﻳﻚ زﻣﻴﻦ و ﻓﻀﺎ‪ ،‬دوره ‪ ،37‬ﺷﻤﺎره ‪1390 ،3‬‬
‫)اﻟﻒ(‬
‫)ب(‬
‫ﺷﻜﻞ‪ .8‬اﻟﻒ( ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺣﺎﺻﻞ از ا‪‬ﻋﻤﺎل ﻣﻬـﺎﺟﺮت ﺑـﻪ روش ‪ v(z)(f-k)WKBJ‬روي ﻣﻘﻄـﻊ ﻟـﺮزهاي ﺷـﻜﻞ‪. 7‬ب( ﻧﺘﻴﺠـﻪ ﺣﺎﺻـﻞ از ا‪‬ﻋﻤـﺎل ﻣﻬـﺎﺟﺮت ﺑـﻪ روش‬
‫‪ v(z)(f-k)rms‬روي ﻣﻘﻄﻊ ﻟﺮزهاي ﺷﻜﻞ ‪.7‬‬
‫‪125‬‬
‫ﻣﻬﺎﺟﺮت در ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺎ وﺟﻮد ﺗﻐﻴﻴﺮات ﻗﺎﺋﻢ ﺳﺮﻋﺖ‬
‫ﺟﺪول‪ .1‬ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﺳﺮﻋﺖ ‪ NMO‬ﺑﻪدﺳﺖ آﻣﺪه از ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﺮﻋﺖ در ﻣﺤﻞ ‪CMP‬ﻫﺎي ﺷﻤﺎره ‪ 80،40،180،120‬ﻛﻪ در ﻣﻬﺎﺟﺮت داده واﻗﻌﻲ ﺷﻜﻞ‪ 7‬ﺑﻪ ﻛﺎررﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪CDP=120‬‬
‫‪CDP=180‬‬
‫‪CDP=40‬‬
‫‪CDP=80‬‬
‫)‪V(M/S‬‬
‫)‪T(S‬‬
‫)‪V(M/S‬‬
‫)‪T(S‬‬
‫)‪V(M/S‬‬
‫)‪T(S‬‬
‫)‪V(M/S‬‬
‫)‪T(S‬‬
‫‪3885‬‬
‫‪4250‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1.9‬‬
‫‪3850‬‬
‫‪1.9‬‬
‫‪3800‬‬
‫‪4250‬‬
‫‪1.8‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪3610‬‬
‫‪3750‬‬
‫‪4180‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.8‬‬
‫‪ 6‬ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮي‬
‫ﺑﺎ‬
‫ا‪‬ﻋﻤﺎل‬
‫ﻣﻬﺎﺟﺮت‬
‫‪v(z)(f-k)WKBJ‬‬
‫و‬
‫ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻣﻬﺎﺟﺮت ﺑﻪ روش )‪ (f-k‬را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴـﺮات ﻗـﺎﺋﻢ‬
‫‪ v(z)(f-k)rms‬روي ﻣﻘﻄﻊ ﻟﺮزهاي واﻗﻌﻲ)ﺷﻜﻞ‪(7‬‬
‫ﺳﺮﻋﺖ ﺑﻪﺻـﻮرت ﻓﻴﻠﺘـﺮ ﻧﺎﭘﺎﻳـﺎ ﺑـﺴﻂ داد‪ .‬اﻳـﻦ روش ﻃﻴـﻒ‬
‫روﻳﺪادﻫﺎي ‪ bowtie‬ﺗﺎ ﺣﺪود ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮﻟﻲ ﺗﺼﺤﻴﺢ ﺷﺪهاﻧﺪ‪.‬‬
‫ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻬـﺎﺟﺮتﻳﺎﻓﺘـﻪ را ﻣـﺴﺘﻘﻴﻤﺎً از ﻃﻴـﻒ ﻣﻬـﺎﺟﺮتﻧﻴﺎﻓﺘـﻪ‬
‫اﻳﻦ ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ‪ ،‬ﻛﺎراﻳﻲ و ﻣﺰﻳﺖ روش را ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺳﺎﻳﺮ‬
‫ﺑﺮاي )‪ v(z‬دﻟﺨـﻮاه ﺑﺎزﺳـﺎزي ﻣـﻲﻛﻨـﺪ‪ .‬ﺷـﺒﻴﻪ ﻣﻬـﺎﺟﺮت ﺑـﻪ‬
‫روشﻫﺎ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ‪.‬‬
‫روش )‪ ،(f-k‬اﻟﮕــﻮرﻳﺘﻢ ﻣﻬــﺎﺟﺮت ﺑــﻪ روش )‪ v(z)(f-k‬ﺑــﺎ‬
‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ دوﺑ‪‬ﻌﺪي آﻏﺎز وﺑﺎ ﻋﻜﺲ آن ﭘﺎﻳﺎن ﻣـﻲﭘـﺬﻳﺮد‪.‬‬
‫ﻣﻴﺎن اﻳﻦ ﻋﻤﻠﮕﺮﻫـﺎ‪ ،‬روش ﻣﻬـﺎﺟﺮت )‪ v(z)(f-k‬ﺟـﺎﻳﻲ ﻛـﻪ‬
‫روش ﻣﻬـــﺎﺟﺮت )‪ (f-k‬از ﺗـــﺼﻮﻳﺮﺳﺎزي ﻃﻴﻔـــﻲ اﺳـــﺘﻔﺎده‬
‫ﻣﻲﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﻬﺎﺟﺮت ﻧﺎﭘﺎﻳﺎرا ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻲ ﺑﺮد‪ .‬ﺑﻪﻛـﺎرﮔﻴﺮي‬
‫ﻓﻴﻠﺘــﺮ ﻣﻬــﺎﺟﺮت ﺑــﻪﺻــﻮرت ﺿــﺮب ﺑــﺮدار ﻣﺎﺗﺮﻳــﺴﻲ ﺑــﺮاي‬
‫ﻫﺮﻋﺪد ﻣﻮج اﻓﻘﻲ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻲﺗـﻮان دو ﺑﻴـﺎن ﺟﺒـﺮي ﻣﺘﻔـﺎوت‬
‫ﺑــﺮاي ﻓﻴﻠﺘــﺮ در ﻧﻈــﺮ ﮔﺮﻓــﺖ‪(1 .‬ﺗﻘﺮﻳــﺐ ‪(2 rms‬ﺗﻘﺮﻳــﺐ‬
‫‪ WKBJ‬درﺟﻪ اول‪.‬‬
‫ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪدﺳﺖ آﻣﺪه از ا‪‬ﻋﻤﺎل روشﻫﺎي ﻣﻬﺎﺟﺮت‬
‫)‪ (f-k‬و )‪ v(z)(f-k‬روي ﻣﻘﻄﻊ ﻟﺮزهاي دوراُﻓﺖ ﺻﻔﺮ ﺣﺎوي‬
‫ﻫﺬﻟﻮﻟﻲ‪ ،‬ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ روشﻫﺎي )‪ v(z)(f-k‬ﻧﺘﺎﻳﺞ‬
‫ﺑﻬﺘﺮي را اﻳﺠﺎد ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻣﻘﺎﻳــﺴﻪ ﭘﺎﺳــﺦ ﺿــﺮﺑﻪ ﺣﺎﺻــﻞ از روشﻫــﺎي )‪ (f-k‬و‬
‫)‪ v(z)(f-k‬ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛـﻪ اﻟﮕـﻮرﻳﺘﻢ )‪ v(z)(f-k‬ﻧﺘـﺎﻳﺠﻲ‬
‫ﺷــﺒﻴﻪ ﺑــﻪ )‪ (f-k‬در ﺑــﺮ دارد اﻣــﺎ ﺑــﺪون ﺳــﺎﺧﺘﺎرﻫﺎي اﺿــﺎﻓﻲ‬
‫ﻣﻌﻤﻮل ﻛﻪ در ارﺗﺒﺎط ﺑـﺎ درونﻳـﺎﺑﻲ ﺑـﺎ ﻣﻘـﺎدﻳﺮ ﻣﻮﻫـﻮﻣﻲ در‬
‫ﺣﻮزه ﻓﻮرﻳﻪ در روش )‪ (f-k‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﻨﺎﺑﻊ‬
‫‪Aki, K. and Richards, P. G., 2002, Quantitative‬‬
‫‪seismology, vol.1:W. H. Freeman and Co.‬‬
‫‪Biondi, B., 2005, Adaptive split-step Fourier‬‬
‫‪migration method, Applied Geophysics, 2, 75‬‬‫‪77.‬‬
‫‪Claerbout, J. F., 1985, Imaging the earth's‬‬
‫‪interior, Blackwell Scientific Publications.‬‬
‫‪Gazdag, J., 1987, Wave-equation migration by‬‬
‫‪phase shift, Geophysics, 43, 1342-1351.‬‬
‫‪Margrave, G., 2001, Direct Fourier migration for‬‬
‫‪vertical velocity variations, Geophysics, 66,‬‬
‫‪1504-1514.‬‬
‫‪Margrave, G. F., 1998, Theory of nonstationary‬‬
‫‪filtering in the Fourier domain with‬‬
‫‪application‬‬
‫‪to‬‬
‫‪time-variant‬‬
‫‪filtering,‬‬
‫‪Geophysics, 63, 244-259.‬‬
‫‪Schneider, w., 1978, Integral formulation for‬‬
‫‪migration in two and three dimensions,‬‬
‫‪Geophysics, 43, 49-76.‬‬
‫‪Stoffa, P. L., Fokkema, J. T., Freire, R. M. and‬‬
‫‪Kessinger, W. P., 1990, Split-step Fourier‬‬
‫‪migration, Geophysics, 55, 410-421.‬‬
‫‪Stolt, R. H., 1978, Migration by Fourier‬‬
‫‪transform, Geophysics, 43, 23-48.‬‬
‫‪Yilmaz, O., 2001, Seismic data processing, Soc.‬‬
‫‪Expl. Geophys.‬‬