‫اجلوهىرية العربية السىرية‬
‫وزارة التعلين العايل‬
‫جاهعة تشرين‬
‫كلّية العلىم – قسن الرياضيات‬
‫رسالة مقدمة لكلية العلوم في جامعة تشرين للحصول على درجة‬
‫الماجستير في المعلوماتية‬
‫إعداد الطالب ‪:‬‬
‫مازن سليمان مصطفى‬
‫إشراف‪:‬‬
‫الدكتور سهيل محفوض‬
‫املدرس يف قسم الرياضيات‬
‫الدكتور رامي شاهين‬
‫االستاذ املساعد يف قسم الرياضيات‬
‫‪ 3102-3102‬م‬
‫امللخص‬
‫تعالج ىذه الرسالة مشكمة ىامة في نظرية البيان‪ ,‬أال وىي مشكمة السيطرة في البيان‬
‫الموجو وايجاد عدد السيطرة لمجداء الديكارتي لبيانين موجيين وباألخص الجداء الديكارتي‬
‫لحمقتين موجيتين‪ .‬وتكمن أىمية السيطرة في البيان الموجو كونو الجانب األكثر تطبيقاً في الحياة‬
‫العممية‪.‬‬
‫كما قدمنا في ىذه الرسالة عدة خوارزميات تعطي كل من مجموعة السيطرة وعدد السيطرة لمجداء‬
‫الديكارتي لحمقتين موجيتين في بعض الحاالت الخاصة‪.‬‬
‫ليكن البيان )‪ D(V, A‬بيان موجو من المرتبة ‪ n‬مع مجموعة الرؤوس )‪ V(D‬ومجموعة األقواس‬
‫)‪ .A(D‬ولتكن ‪ S‬مجموعة جزئية من مجموعة رؤوس البيان )‪ ,V(D‬نسمي ‪ S‬مجموعة سيطرة‬
‫لمبيان الموجو ‪ D‬إذا كان من أجل كل رأس ‪ vD – S‬يوجد رأس ‪ u‬من رؤوس المجموعة ‪S‬‬
‫بحيث أن )‪ .(u , v)  A(D‬يرمز لعدد السيطرة في البيان ‪ D‬بـ )‪ (D‬والذي ىو عدد عناصر‬
‫أصغر مجموعة سيطرة لذلك البيان‪.‬‬
‫الحمقة الموجية من المرتبة ‪ n‬ىي بيان موجو لو ‪ n‬رأس و‪ n‬قوس حيث أن كل رأس يتصل مع‬
‫الرأس الذي يميو و الرأس األخير يتصل بالرأس األول‪.‬‬
‫ليكن البيانين الموجيين )‪ D1(V1,A1), D2(V2 ,A2‬نعرف الجداء الديكارتي لمبيانين الموجيين‬
‫‪ D1×D2‬بأنو بيان موجو )‪ D(V,A‬مجموعة رؤوسو )‪ V(D)=V(D1) × V(D2‬ومجموعة أقواسو‬
‫)‪ A(D)=A(D1× D2‬حيث )‪ (u1,u2)(v1,v2)  A(D)=A(D1× D2‬أي أنو يوجد قوس موجو‬
‫من الرأس )‪ (u1,u2‬إلى الرأس )‪ (v1,v2‬إذا وفقط إذا كان ‪ u1=v1‬و )‪ (u2,v2)A(D2‬أو‬
‫‪ u2=v2‬و )‪.(u1,v1)  A(D1‬‬
‫تشتمل ىذه الرسالة عمى أربعة فصول‪:‬‬
‫الفصل األول‪ :‬يحتوي عمى المفاىيم األساسية والتعاريف في البيان بشكل عام والبيان الموجو‬
‫بشكل خاص‪ ,‬وباألخص التعاريف والعمميات التي تتعمق بنظرية السيطرة في البيان‪.‬‬
‫الفصل الثاني‪ :‬في ىذا الفصل أوردنا دراسة لمشكمة السيطرة في البيان‪ ,‬تتضمن ىذه الدراسة‬
‫المراحل والتطورات التي مرت بيا مشكمة السيطرة من مرحمة البدايات مرو اًر بتخمين فيزينج حتى‬
‫دراسة السيطرة في البيان الموجو‪ ,‬وأىم النتائج التي تم التوصل إلييا في تمك المراحل وركزنا عمى‬
‫السيطرة في البيان الموجو‪ ,‬وخاصة الجداء الديكارتي لممسارات والحمقات الموجية‪.‬‬
‫الفصل الثالث‪ :‬أوجدنا في ىذا الفصل عدد السيطرة لمجداء الديكارتي لحمقتين موجيتين ‪ Cm‬و‪Cn‬‬
‫في حالة ‪ m=9,10‬و ‪ n‬كيفي‪ .‬والنتائج في ىذا الفصل تم نشرىا في ]‪ .[25‬كما توصمنا إلى‬
‫كتابة الخوارزميات الموافقة لكل حالة‪.‬‬
‫الفصل الرابع‪ :‬أوجدنا في ىذا الفصل عدد السيطرة لمجداء الديكارتي لحمقتين موجيتين ‪ Cm‬و‬
‫‪ Cn‬في حالة )‪ .m  0( mod 3‬باإلضافة إلى عدد السيطرة لمجداء الديكارتي لحمقتين‬
‫موجيتين ‪ Cm‬و ‪ Cn‬في حالة )‪ .m,n  1( mod 3‬كما أننا توصمنا إلى كتابة الخوارزميات‬
‫الموافقة لكل حالة‪.‬‬
‫الكممات المفتاحية‪ :‬حمقة موجيو ‪ ,‬الجداء الديكارتي‪ ,‬مجموعة السيطرة ‪ ,‬عدد السيطرة‪.‬‬
Syrian Arab Republic
Tishreen University
Faculty of Science
Dept. of Mathematics
Lattakia – Syria
Treatise has been adduce for Faculty of Science in
Tishreen University For getting of the master degree
in informatics
Offering of student
Mazen Soleman Mostafa
Surveillance
Dr. Souhail Mahfud
Dr. Ramy Shaheen
Postgraduate Student ,Department
Postgraduate Student ,Department
of Mathematics
of Mathematics
‫ م‬3102-3102
Abstract
This thesis deals with an important problem in graph theory, namely
the domination problem in directed graph and finding domination
number of Cartesian products of directed graph, especially Cartesian
products of directed cycle.
We proved in this thesis some algorithms give dominating set and
domination number of Cartesian products of two directed cycles in some
especially cases.
Let D(V, A) be a digraph of order n. V(D) and A(D) refer to the vertex
and arc sets, respectively.
A subset S of vertex set V(D) is a dominating set of D if for each vertex
v  D – S there exists a vertex u  S such that (u, v) is an arc of D.
The domination number of D, (D), is the order of a smallest dominating
set of D. Directed cycle of order n is a directed graph has n vertex
(u0 ,u1 ,., un-1 ) and n arc: A (Cn)=( i,i+1 ): 0 ≤ i ≤ n-2 }  { ( n-1,0 ) }.
The Cartesian product D1D2 of two digraphs D1 and D2 is the digraph
with vertex set V(D1D2)= V(D1)V(D2) and ((u1,u2), (v1,v2))A(D1D2) if
and only if either u1= v1 and (u2,v2)A(D2) or u2=v2 and (u1,v1) A(D1).
This thesis consists of four chapters:
The first chapter, consists of principal concepts and some definitions of
graph in general and directed graph in especially. Also the most
particularly definitions and operations which appertain to domination
theory in graph.
The second chapter, consists of the definitions and review for problem of
the domination
in graph. And important stages, beginning are the
domination in the graph, also Vizing's conjecture until the domination of
the directed graph. Here, we review the results about the domination
number of the Cartesian product of two directed paths and two directed
cycles.
In the third chapter, we finding the domination number of Cartesian
products of directed cycle Cm × Cn :m =9, 10 and arbitrary n. the results
In this chapter were published in [25]. And proved two algorithms
agreeing with every case.
In the fourth chapter, we calculate the domination number of Cartesian
products of directed cycle Cm × Cn : m  0( mod 3) and arbitrary n.
Also, we finding the domination number of Cartesian products of
directed cycle Cm × Cn : m, n  1 ( mod 3) and proved two algorithms
agreeing with every case.
Keywords: directed cycle, Cartesian product , domination Set ,
domination number.