1. No category

‫‪ Les équations différentielles‬ذ؛ﻣﺤﻤﺪ اﻟﺮﻗﺒﺔ‬
‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬
‫‪ -1‬ﺗﻤﻬﻴﺪ ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ‪.‬‬
‫‪ (a‬ﺣﺪد ‪ f‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ‪f ' = f :‬‬
‫‪ (b‬ﺣﺪد ‪ f‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ‪f ' = af :‬‬
‫‪ (c‬ﺣﺪد ‪ f‬إذا ﻋﻠﻤﺖ أن ‪f ' ( x ) = x + 1 :‬‬
‫هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪:‬‬
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻳﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ اﻟﻤﺠﻬﻮل هﻮ داﻟﺔ و ﺗﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ أو ﻣﺸﺘﻘﺎت هﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ ‪.‬‬
‫‪. ay '+ b = 0 (3‬‬
‫‪y ''+ 2 y '+ y + 1 = 0 (2‬‬
‫أﻣﺜﻠﺔ ‪y '− y = 0 (1 :‬‬
‫‪ -2‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪y '+ ay = 0‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪:‬‬
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪ y '+ ay = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﻠﻮل و هﻲ اﻟﺪوال اﻟﺘﻰ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬
‫∈‪λ‬‬
‫اﻟﺸﻜﻞ ‪ x λ e − ax‬ﺣﻴﺚ‬
‫ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ‬
‫∈‪a‬‬
‫ﺣﻴﺚ‬
‫‪ -3‬اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع‬
‫و اﻟﺘﻲ‬
‫‪y ''+ ay '+ by = 0‬‬
‫‪ -1‬ﺗﻨﺎﺳﺐ داﻟﺘﻴﻦ ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬
‫ﻧﻘﻮل أن ‪ f‬و ‪ g‬ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺘﻴﻦ إذا و ﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪g ( x ) = kf ( x ) : k‬‬
‫‪ -2‬ﻟﺘﻜﻦ ‪y1‬‬
‫و ‪y2‬‬
‫‪∀x ∈ I‬‬
‫ﺣﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪( E‬‬
‫ﺣﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪( E‬‬
‫ﺑﻴﻦ أن ‪ α y1 + β y2‬هﻲ أﻳﻀﺎ ﺣﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
‫)‪(E‬‬
‫‪ -3‬ﻧﺘﻴﺠﺔ ‪:‬‬
‫آﻞ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ‪ ( E‬هﻮ ﺗﺄﻟﻔﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻟﺤﻠﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) ‪( E‬‬
‫‪ -4‬ﻟﻨﺒﺤﺚ ﻋﻠﻰ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( E‬ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ‬
‫‪ r 2 + ar + b = 0‬ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﻴﺰة ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ‪. y ''+ ay '+ by = 0‬‬
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪:‬‬
‫ﺧﻼﺻﺔ وﺧﺎﺻﻴﺔ ‪:‬‬
‫) ‪ y ''+ ay '+ by = 0 ( E‬ﺣﻴﺚ‬
‫وﻟﺘﻜﻦ‬
‫)‪(1‬‬
‫ﺣﻴﺚ‬
‫‪2‬‬
‫∈ ) ‪( a, b‬‬
‫‪ r 2 + ar + b = 0‬ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ اﻟﻤﻤﻴﺰة‬
‫‪ (1‬إذا آﺎن‬
‫‪2‬‬
‫‪y = erx‬‬
‫∈‪r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a 2 − 4b‬‬
‫ﻓﺈن ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪( E‬‬
‫هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال‬
‫‪rx‬‬
‫‪r‬‬
‫‪λe 1 + µe 2 x‬‬
‫∈ ) ‪( λ, µ‬‬
‫ﺣﻴﺚ ‪ r1‬و ‪ r2‬هﻤﺎ ﺣﻠﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
‫)‪(1‬‬
‫‪ (2‬إذا آﺎﻧﺖ ‪ a 2 − 4b = 0‬ﻓﺈن ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( E‬هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال‬
‫‪( λ x + µ ) er0 x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ﺣﻴﺚ‬
‫‪2‬‬
‫∈ ) ‪(λ, µ‬‬
‫ﺣﻴﺚ ‪ r0‬هﻮ ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
‫)‪(1‬‬
‫‪ (3‬إذا آﺎﻧﺖ ‪ a 2 − 4b ≺ 0‬ﻓﺈن ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( E‬هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال‬
‫) ‪e px ( λ cos qx + µ sin qx‬‬
‫ﺣﻴﺚ‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫∈ ) ‪(λ, µ‬‬
‫ﺣﻴﺚ ‪r1 = p + iq‬‬
‫و‬
‫‪ r2 = p − iq‬هﻤﺎ اﻟﺤﻠﻴﻦ اﻟﻌﻘﺪﻳﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
‫ﺗﻄﺒﻴﻖ‪:‬‬
‫ﺣﻞ آﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪y ''+ 2 y − 3 y = 0 (1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪y ''− 4 y = 0‬‬
‫‪(5‬‬
‫‪y ''− w y = 0 (6‬‬
‫‪y ''+ w2 y = 0 (7‬‬
‫‪y ''+ 4 y '+ 4 y = 0 (2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y ''+ 2 y '+ 5 y = 0 (3‬‬
‫‪y ''+ 4 y = 0 (4‬‬
‫‪ -4‬اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع ) ‪ y '+ ay = f ( x‬أو ) ‪y ''+ ay '+ by = f ( x‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪ (1‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ y0‬ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
‫‪y '+ ay = 0‬‬
‫و ‪ z‬اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
‫اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪( E‬‬
‫هﻮ‬
‫‪y = z + y0‬‬
‫‪ (2‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ y0‬ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
‫أﻣﺜﻠﺔ ‪:‬‬
‫) ‪y ''+ ay '+ by = f ( x‬‬
‫‪y ''+ ay '+ by = 0‬‬
‫و ‪ z‬اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
‫اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪( E‬‬
‫) ‪y '+ ay = f ( x‬‬
‫هﻮ‬
‫)‪(E‬‬
‫)' ‪( E‬‬
‫)‪(E‬‬
‫)' ‪( E‬‬
‫‪y = z + y0‬‬
‫)‪⎧⎪ y '+ ay = P ( x )(1‬‬
‫⎨‬
‫) ‪⎪⎩ y ''+ ay '+ by = P ( x )( 2‬‬
‫)‪⎪⎧ y '+ ay = k cos ( wx + ϕ )( 3‬‬
‫⎨ اﻟﺤﻞ اﻟﺨﺎص ﻣﻦ ﻧﻮع ‪y0 = λ cos wx + µ sin wx‬‬
‫) ‪⎪⎩ y ''+ ay '+ by = k cos ( wx + ϕ )( 4‬‬
‫) ‪⎧⎪ y '+ ay = keα x ( 5‬‬
‫‪αx‬‬
‫‪y0 = P ( x ) e‬‬
‫⎨ اﻟﺤﻞ اﻟﺨﺎص ﻣﻦ ﻧﻮع‬
‫‪αx‬‬
‫) ‪⎪⎩ y ''+ ay '+ by = ke ( 6‬‬
‫درﺟﺔ ‪ P‬هﻲ درﺟﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪.‬‬
‫اﻟﺤﻞ اﻟﺨﺎص هﻮ ﺣﺪودﻳﺔ درﺟﺘﻬﺎ هﻲ درﺟﺔ ‪P‬‬
‫مع الباكالوريا‬
‫تم نشر هذا الملف بواسطة قرص تجربتي‬
[email protected]
facebook.com/tajribaty
jijel.tk/bac