‫ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ‪ :‬ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬
‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ :‬ﺍﻷ ﻭﻟﻰ ﻋﻠﻭﻡ ﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ‬
‫ﺩﺭﺱ ‪ :‬ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل‬
‫ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ‪ :‬ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺸﺭﻴﻑ‬
‫ﺜﺎ‪.‬ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﺴﻭﺴﻲ‪.‬ﻨﻴﺎﺒﺔ ﺍﻟﺨﻤﻴﺴﺎﺕ‬
‫‪www.madariss.fr‬‬
‫‪ ( I‬أﻧﺸﻄﺔ ﺗﺬآﻴﺮﻳﺔ ‪:‬‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ ‪ ) : 1‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ داﻟﺔ (‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ ‪ ) : 2‬زوﺟﻴﺔ داﻟﺔ (‬
‫ﺗﺬآﻴﺮ ‪:‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ داﻟﺔ ‪ f‬هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷ ﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﻣﻦ أ ﺟﻠﻬﺎ )‪ f(x‬ﻣﻮﺟﻮدة ‪.‬‬
‫و ﻧﻜﺘﺐ ‪D f = {x ∈ IR / f(x) ∈ IR} :‬‬
‫‪⎧∀ x ∈ D f : - x ∈ D f‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩ f(-x) = f(x) ∀ x ∈ D f‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬زوﺟﻴﺔ إ ذوﻓﻘﻂ إ ذا آﺎن ‪:‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﺮدﻳﺔ إ ذوﻓﻘﻂ إ ذا آﺎن ‪:‬‬
‫‪f‬‬
‫‪⎧∀ x ∈ D f : - x ∈ D f‬‬
‫⎨‬
‫‪∀ x ∈ D‬‬
‫)‪⎩ f(-x) = − f(x‬‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ ‪ ) : 3‬اﻟﺸﻠﺠﻢ و اﻟﻬﺪﻟﻮل (‬
‫ﺗﺬآﻴﺮ ‪:‬‬
‫ﺗﻐﻴﺮات داﻟﺔ ‪:‬‬
‫‪ 1‬ﻧﻘﻮل أن‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ) ﻗﻄﻌﺎ( ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬إ ذ ا آﺎن ﻟﻜﻞ ‪ a‬ﻣﻦ ‪ I‬و ﻟﻜﻞ‪ b‬ﻣﻦ ‪: I‬‬
‫))‪( f ( a ) 〈 f (b‬‬
‫)‪a ≤ b ⇒ f ( a ) ≤ f (b‬‬
‫‪ 2‬ﻧﻘﻮل أن‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ) ﻗﻄﻌﺎ( ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬إ ذ ا آﺎن ﻟﻜﻞ ‪ a‬ﻣﻦ ‪ I‬و ﻟﻜﻞ‪ b‬ﻣﻦ ‪a ≤ b ⇒ f ( a ) ≥ f ( b ) ( f ( a )〉 f ( b ) ) : I‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ‬
‫اﻟﺸﻠﺠﻢ ‪:‬‬
‫ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f ( x ) = ax‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a〉0‬‬
‫اﻟﻬﺬﻟﻮل‪:‬‬
‫ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫‪a‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a〈0‬‬
‫‪:‬‬
‫‪a〈0‬‬
‫‪a〉0‬‬
‫‪1‬‬
‫ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ‪ :‬ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬
‫ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ‪ :‬ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺸﺭﻴﻑ‬
‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ :‬ﺍﻷ ﻭﻟﻰ ﻋﻠﻭﻡ ﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ‬
‫ﺩﺭﺱ ‪ :‬ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل‬
‫ﺜﺎ‪.‬ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﺴﻭﺴﻲ‪.‬ﻨﻴﺎﺒﺔ ﺍﻟﺨﻤﻴﺴﺎﺕ‬
‫‪www.madariss.fr‬‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ ‪ ) : 4‬اﻟﺘﻐﻴﺮات و زوﺟﻴﺔ داﻟﺔ (‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ ‪ ) : 5‬ﻣﻄﺎرف داﻟﺔ (‬
‫ﺗﺬآﻴﺮ ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ و ‪ D f‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ‬
‫‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺼﻮى ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ α‬إ ذا وﺟﺪ ﺿﻤﻦ ‪ D f‬ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ‪ I‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ α ∈ I :‬و ) ‪ f ( x ) ≤ f(α‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. I‬‬
‫‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ دﻧﻴﺎ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ β‬إ ذا وﺟﺪ ﺿﻤﻦ ‪ D f‬ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ‪ J‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ β ∈ J :‬و )‪ f (β) ≤ f(x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. J‬‬
‫‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺼﻮى ﻣﻄﻠﻘﺔ ) ﻗﻴﻤﺔ دﻧﻴﺎ ﻣﻄﻠﻘﺔ( ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ α‬إ ذا آﺎن ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪( f ( x ) ≥ f(α ) ) f ( x ) ≤ f(α ) D f‬‬
‫‪ ( II‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻜﺒﻮرة – اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺼﻐﻮرة – اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺤﺪودة‪:‬‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ ‪ ) : 1‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻜﺒﻮرة – اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺼﻐﻮرة (‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﻣﻦ ‪ .IR‬ﻧﻘﻮل أ ن ‪:‬‬
‫‪ f‬ﻣﻜﺒﻮرة ﻋﻠﻰ ‪ I‬إ ذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ M‬ﺑﺤﻴﺚ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪f ( x ) ≤ M : I‬‬
‫‪ f‬ﻣﺼﻐﻮرة ﻋﻠﻰ ‪ I‬إ ذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ m‬ﺑﺤﻴﺚ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. f ( x ) ≥ m : I‬‬
‫‪ f‬ﻣﺤﺪودة ﻋﻠﻰ ‪ I‬إ ذا آﺎﻧﺖ ﻣﺼﻐﻮرة و ﻣﻜﺒﻮرة ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 1‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﻣﻦ ‪.IR‬‬
‫ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺤﺪودة ﻋﻠﻰ ‪ I‬إ ذا وﻓﻘﻂ إ ذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻮﺟﺐ ‪ k‬ﺑﺤﻴﺚ ‪:‬‬
‫‪f ( x) ≤ k‬‬
‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. I‬‬
‫‪ ( II‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺪورﻳﺔ ‪:‬‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ ‪ ) : 2‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺪورﻳﺔ (‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ و ‪ D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ‪.‬‬
‫ﻧﻘﻮل إ ن ‪ f‬داﻟﺔ دورﻳﺔ إ ذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ T‬ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ ﺑﺤﻴﺚ ‪:‬‬
‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ ( x + T ) ∈ D : D‬و ) ‪ f ( x + T ) = f ( x‬اﻟﻌﺪد ‪ T‬ﻳﺴﻤﻰ دورا ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ‪:‬‬
‫ﻹﻧﺸﺎء ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ دورﻳﺔ ﻳﻜﻔﻲ إﻧﺸﺎء ﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻋﻠﻰ أي ﻣﺠﺎل ﻃﻮﻟﻪ ‪ ) T‬ﺣﻴﺚ ‪ T‬ﻳﺴﻤﻰ دورا ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ ( f‬ﺛﻢ ﺁﺳﺘﻨﺘﺎج اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬
‫ﺑﺂﺳﺘﻌﻤﺎل إزاﺟﺎت ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪.‬‬
‫ﻣﺜﺎل ‪:‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺘﺎن ) ‪ sin( x‬و )‪ cos( x‬دورﻳﺘﺎن و ‪ 2π‬دور ﻟﻬﻤﺎ ‪.‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﺪوال ‪ f‬و ‪ g‬و ‪ h‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫)‪h ( x ) = 2cos(3x) , g ( x ) = sin(2π x) , f ( x ) = cos 2 ( x‬‬
‫‪2π‬‬
‫ﺑﻴﻦ أ ن ‪ f‬و ‪ g‬و ‪ h‬دوال دورﻳﺔ أ دوارهﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ‪;1 ; π :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ‪ :‬ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬
‫ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ‪ :‬ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺸﺭﻴﻑ‬
‫ﺩﺭﺱ ‪ :‬ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل‬
‫‪www.madariss.fr‬‬
‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ :‬ﺍﻷ ﻭﻟﻰ ﻋﻠﻭﻡ ﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ‬
‫ﺜﺎ‪.‬ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﺴﻭﺴﻲ‪.‬ﻨﻴﺎﺒﺔ ﺍﻟﺨﻤﻴﺴﺎﺕ‬
‫‪ (IV‬اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪:‬‬
‫‪ ( 1‬ﻣﻘﺎرﻧﺔ داﻟﺘﻴﻦ – اﻟﺘﺄ وﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ‪:‬‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ ‪ ) : 3‬ﻣﻘﺎرﻧﺔ داﻟﺘﻴﻦ (‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ و ‪ D f‬و ‪ Dg‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﻤﺎ ‪.‬‬
‫* ﻧﻘﻮل إ ن ‪ f‬ﺗﺴﺎوي ‪ g‬و ﻧﻜﺘﺐ ‪ f = g‬إ ذا وﻓﻘﻂ إ ذا آﺎن ‪ D f = Dg * :‬و * ) ‪∀x ∈ D f : f ( x ) = g ( x‬‬
‫* ﻧﻘﻮل أ ن ‪ f‬أ آﺒﺮ ﻣﻦ أ و ﺗﺴﺎوي ‪ g‬ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬إ ذا آﺎن ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ f ( x ) ≥ g(x) : I‬و ﻧﻜﺘﺐ ‪f ≥ g :‬‬
‫اﻟﺘﺄوﻳﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ‪:‬‬
‫‪ f ≤ g‬ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﻳﻌﻨﻲ هﻨﺪﺳﻴﺎ أ ن ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻳﻮﺟﺪ ﺗﺤﺖ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬
‫‪ ( 2‬ﻣﺠﻤﻮع و ﺟﺪاء و ﺧﺎرج داﻟﺘﻴﻦ ‪:‬‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ ‪ ) : 4‬اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﺪوال (‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬
‫‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪. D‬‬
‫* ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬هﻮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ D‬ب ‪ f + g‬و ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ) ‪( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x‬‬
‫* ﺟﺪاء اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ D‬ب ‪ f × g‬و ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ) ‪( f × g )( x ) = f ( x ) × g ( x‬‬
‫* ﺟﺪاء اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ λ‬هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ D‬ب ‪ λ f‬و ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ) ‪( λ f )( x ) = λ. f ( x‬‬
‫* ﻣﺠﻤﻮع اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬و اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ λ‬هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ D‬ب ‪ f + λ‬و ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪( f + λ )( x ) = f ( x ) + λ‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫⎞ ‪⎛ f‬‬
‫‪f‬‬
‫و ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ‬
‫* ﺧﺎرج اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬هﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ D‬ب‬
‫= )‪⎜ ⎟( x‬‬
‫‪g‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫⎠‪⎝g‬‬
‫" ﺷﺮﻳﻄﺔ أ ن ﻻ ﺗﻨﻌﺪم اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻓﻲ ‪" D‬‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ ‪: 1‬‬
‫* ﻣﺠﻤﻮع داﻟﺘﻴﻦ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺘﻴﻦ ) ﻗﻄﻌﺎ ( هﻮ داﻟﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ) ﻗﻄﻌﺎ ( ‪.‬‬
‫* ﻣﺠﻤﻮع داﻟﺘﻴﻦ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺘﻴﻦ ) ﻗﻄﻌﺎ ( هﻮ داﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ) ﻗﻄﻌﺎ ( ‪.‬‬
‫☺ ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ ‪:‬‬
‫هﻞ ﻳﻤﻜﻦ ﺁﺳﺘﻨﺘﺎج رﺗﺎﺑﺔ اﻟﺪوال اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪ ( 1‬ﻣﺠﻤﻮع داﻟﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و داﻟﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ‪ ( 2 ,‬ﻣﺠﻤﻮع داﻟﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و داﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ و ‪ ( 3‬ﺟﺪاء داﻟﺘﻴﻦ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺘﻴﻦ ‪.‬‬
‫‪ ( 4‬ﺟﺪاء داﻟﺘﻴﻦ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺘﻴﻦ ‪ ( 5 ,‬ﺟﺪاء داﻟﺔ ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و داﻟﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ‪.‬‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ ‪: 1‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ و ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ‪.‬‬
‫* اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ f + λ‬ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﻣﻨﺤﻰ اﻟﺘﻐﻴﺮات ‪.‬‬
‫* إ ذا آﺎن ‪ , λ 〉 0‬اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ λ f‬ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ ﻣﻨﺤﻰ اﻟﺘﻐﻴﺮات ‪.‬‬
‫* إ ذا آﺎن ‪ , λ 〈 0‬اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ λ f‬ﻣﻨﺤﻰ ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﻤﺎ ﻣﺘﻌﺎآﺴﺎن ‪.‬‬
‫☯ ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫* اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f + λ‬ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺑﺈزاﺣﺔ ﻣﺘﺠﻬﺘﻬﺎ ) ‪. u ( 0; λ‬‬
‫‪3‬‬
‫ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ‪ :‬ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬
‫ﺩﺭﺱ ‪ :‬ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل‬
‫ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ‪ :‬ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺸﺭﻴﻑ‬
‫‪www.madariss.fr‬‬
‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ :‬ﺍﻷ ﻭﻟﻰ ﻋﻠﻭﻡ ﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ‬
‫ﺜﺎ‪.‬ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﺴﻭﺴﻲ‪.‬ﻨﻴﺎﺒﺔ ﺍﻟﺨﻤﻴﺴﺎﺕ‬
‫‪ ( 2‬ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ‪:‬‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ ‪ ): 5‬ﺻﻮرة ﻣﺠﺎل ﺑﺪاﻟﺔ (‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ‪ ,‬و ‪ D f‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ‪.‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ I‬ﻣﺠﺎﻻ ﻣﻦ ‪ IR‬ﺻﻤﻦ ‪. D f‬‬
‫اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻤﻜﻮﻧﺔ ﻣﻦ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ) ‪ f ( x‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺘﻐﻴﺮ ‪ x‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪ , I‬ﺗﺴﻤﻰ ﺻﻮرة اﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ ‪ , f‬و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) ‪f ( I‬‬
‫أ ي ‪f ( I ) = { f ( x) / x ∈ I} * :‬‬
‫‪y ∈ f ( I ) ⇔ ( ∃x ∈ I ) : y = f ( x ) * ,‬‬
‫☯ ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪:‬‬
‫* ‪ f‬داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ‪ ,‬و ‪ D f‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ‪ I .‬و ‪ J‬ﻣﺠﺎﻻن ﻣﻦ ‪ IR‬ﺑﺤﻴﺚ ‪I ⊂ D f :‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪f ( I ) ⊂ J ⇔ ( ∀x ∈ I ) ; f ( x ) ∈ J :‬‬
‫‪ (3‬ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ ‪:‬‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ ‪ ) : 6‬ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ (‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬داﻟﺘﻴﻦ ﻋﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻋﻠﻰ ‪ D f‬و‬
‫ﻧﻀﻊ ‪ f ( x ) ∈ Dg } :‬و ‪D = { x ∈ IR / x ∈ D f‬‬
‫‪. Dg‬‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ h‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ D‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ , h ( x ) = g ( f ( x ) ) :‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺮآﺐ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬ﻓﻲ هﺬا اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‬
‫و ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪:‬‬
‫☯ ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪:‬‬
‫* } ‪ f ( x ) ∈ Dg‬و‬
‫أ ﻣﺜﻠﺔ ‪:‬‬
‫‪. gof‬‬
‫‪. Dgof = { x ∈ IR / x ∈ D f‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ f ( x ) = x 2‬و اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪g ( x ) = 2 x + 1 :‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪. f ( g ( x ) ) = fog = f ( 2 x + 1) = ( 2 x + 1‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ]‪ ]−∞;5‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ f ( x ) = − x + 5 :‬و اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ [ 0; +‬ب ‪g ( x ) = x :‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪. g ( f ( x ) ) = gof ( x ) = g ( x ) = − x + 5 :‬‬
‫☯ ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬داﻟﺘﻴﻦ ﻣﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ‪ . IR‬ﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣﺔ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ ) uov ≠ vou‬ﻧﻘﻮل أن ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻏﻴﺮ ﺗﻴﺎدﻟﻴﺔ(‬
‫‪ ( 4‬رﺗﺎﺑﺔ ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ ‪:‬‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ ‪ ) 7‬رﺗﺎﺑﺔ ﻣﺮآﺐ داﻟﺘﻴﻦ (‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪:‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬و‪ g‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪ J‬ﺑﺤﻴﺚ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪ I‬ﻟﺪﻳﻨﺎ )‪ f(x‬ﺗﻨﺘﻤﻲ إ ﻟﻰ ‪. J‬‬
‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬و‪ g‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ‪ I‬و ‪ J‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﺈ ن ‪ gof‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬
‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬و‪ g‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ‪ I‬و ‪ J‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﺈ ن ‪ gof‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬
‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬و‪ g‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪J‬‬
‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬و‪ g‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ ‪J‬‬
‫ﻓﺈ ن ‪ gof‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬
‫ﻓﺈ ن ‪ gof‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬
‫‪4‬‬
‫ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ‪ :‬ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬
‫ﺩﺭﺱ ‪ :‬ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل‬
‫ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ‪ :‬ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺸﺭﻴﻑ‬
‫‪www.madariss.fr‬‬
‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ :‬ﺍﻷ ﻭﻟﻰ ﻋﻠﻭﻡ ﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ‬
‫ﺜﺎ‪.‬ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﺴﻭﺴﻲ‪.‬ﻨﻴﺎﺒﺔ ﺍﻟﺨﻤﻴﺴﺎﺕ‬
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ‪:11‬‬
‫‪ ( 3‬ﻣﻨﺤﻰ ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f + λ‬و ‪: λ . f‬‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ ‪: 8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ (V‬اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ x → x + a‬و ‪: x → a.x‬‬
‫‪ ( 1‬دراﺳﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f ( x ) = x + a‬ﺣﻴﺚ ‪a‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪:‬‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ‪:9‬‬
‫☯ ﺧﻼﺻﺔ ‪:‬‬
‫* ﻣﺤﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f ( x ) = x + a‬هﻲ [∞‪. D f = [ −a; +‬‬
‫* رﺗﺎﺑﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ : f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. [ −a; +‬‬
‫* ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪: f‬‬
‫* اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪: f‬‬
‫ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ ﺟﺎﻧﺒﻪ أﻧﺸﺌﻨﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﻣﻦ أ ﺟﻞ ‪ a = 0‬و ‪ a = −1‬و ‪. a = 1‬‬
‫☯ ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → x + a‬ﻳﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → x‬ﺑﺎﻹزاﺣﺔ ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪. −a.i‬‬
‫‪ ( 2‬دراﺳﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ x → a.x 3‬ﺣﻴﺚ ‪a‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم ‪:‬‬
‫☺ ﻧﺸﺎط رﻗﻢ‪:10‬‬
‫‪rr‬‬
‫‪ ( I‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ g ( x ) = 2 x3 :‬و ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( C g‬ﻣﻨﺤﻨﺎهﺎ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪. O; i; j‬‬
‫)‬
‫‪ ( 1‬أ درس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. [ 0, +‬‬
‫‪ ( 2‬ﺑﻴﻦ أ ن اﻟﺪاﻟﺔ ‪g‬ﻓﺮدﻳﺔ ﺛﻢ ﺿﻊ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ ‪.‬‬
‫‪ ( 3‬ﺁﻧﻘﻞ اﻟﺠﺪول اﻵﺗﻲ ﻓﻲ دﻓﺘﺮك ﺛﻢ ﺁﻣﻸﻩ ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ( 4‬ﻣﺴﺘﻌﻴﻨﺎ ﺑﺎﻟﺠﺪول ‪ ,‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬
‫) ‪(C‬‬
‫‪g‬‬
‫(‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ( II‬ﻣﺜﻞ ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. x → −2 x 3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ‪ :‬ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬
‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ :‬ﺍﻷ ﻭﻟﻰ ﻋﻠﻭﻡ ﺘﺠﺭﻴﺒﻴﺔ‬
‫ﺩﺭﺱ ‪ :‬ﻋﻤﻭﻤﻴﺎﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل‬
‫ﺍﻷﺴﺘﺎﺫ ‪ :‬ﻋﻠﻲ ﺍﻟﺸﺭﻴﻑ‬
‫ﺜﺎ‪.‬ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﺴﻭﺴﻲ‪.‬ﻨﻴﺎﺒﺔ ﺍﻟﺨﻤﻴﺴﺎﺕ‬
‫‪www.madariss.fr‬‬
‫☯ ﺧﻼﺻﺔ ‪:‬‬
‫• إ ذا آﺎن ‪ a〉 0‬ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g ( x ) = ax‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪. IR‬‬
‫‪3‬‬
‫• إ ذا آﺎن ‪ a 〈 0‬ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g ( x ) = ax3‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪. IR‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺗﻄﺒﻴﻘﻲ رﻗﻢ‪:12‬‬
‫‪rr‬‬
‫أﻧﺸﺊ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪ O; i; j‬ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ آﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬
‫)‬
‫‪f ( x ) = 2 x3 ( 1‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪(2 ,‬‬
‫‪8‬‬
‫(‬
‫‪f ( x) = −‬‬
‫‪f ( x) = x +1 ( 3 ,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪f ( x) = x − 3 ( 4‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫اﻟﻤﺮاﺟﻊ ‪:‬‬
‫‪ ( 1‬آﺘﺎب اﻟﺠﻴﺪ ﻓﻲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ‪ .‬اﻟﺴﻨﺔ اﻷوﻟﻰ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬
‫‪ ( 2‬آﺘﺎب ﻓﻲ رﺣﺎب اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ‪ . .‬اﻟﺴﻨﺔ اﻷوﻟﻰ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ ‪.‬‬
‫‪ ( 3‬ﻣﻮاﻗﻊ إﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﺔ ‪.‬‬
‫‪6‬‬