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MPSI-El´
Matrices de familles de vecteurs et d’applications lin´eaires
20 mars 2015
Matrices de familles de vecteurs et
d’applications lin´
eaires
R´edaction incompl`ete. Version beta
Plan
I. Matrices d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. Matrices d’une application lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. Matrices d’une famille de formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
3
5
Index
1
– matrice d’une forme lin´eaire, 5
– matrice de passage, 2
– trace d’un endomorphisme, 4
– formule du changement de base, 2, 4
– matrice d’un vecteur dans une base, 1
– matrice d’une application lin´eaire dans des
bases, 3
– matrice d’une famille de vecteurs dans une base,
I.
Matrices d’une famille de vecteurs
D´
efinition (Matrice d’un vecteur dans une base). Soit E un K-espace vectoriel de dimension p, B = (e1 , · · · , ep )
une base de E et u ∈ E. La matrice de u dans B est la matrice colonne des coordonn´ees de u dans B. Elle est
not´ee MatB (u).
 
λ1
 .. 
Mat(u) =  .  ⇔ u = λ1 e1 + · · · + λp ep
B
λp
Exemples.
1. (e1 , e2 , e3 )
2. Polynˆ
omes d’interpolation.
3. Matrices d’une matrice. En particulier matrice d’une matrice colonne ou ligne dans la base canonique.
Comme un vecteur est caract´eris´e par ses coordonn´ees dans une base donn´ee et que les fonctions coordonn´ees
dans une base sont lin´eaires, la proposition suivante est v´erifi´ee.
Proposition. Soit B une base d’un K-espace vectoriel E de dimension p. L’application
(
E → Mp,1 (K)
x 7→ Mat(x)
B
est un isomorphisme.
Remarque. La lin´earit´e de cette application se traduit par :
Mat(λ1 x1 + λ1 x1 + · · · λq xq ) = λ1 Mat(x1 ) + λ2 Mat(x2 ) + · · · + λq Mat(xq )
B
B
B
B
D´
efinition (Matrice d’une famille de vecteurs dans une base). Soit E un K-espace vectoriel de dimension p,
B = (e1 , · · · , ep ) une base de E et U = (u1 , · · · , uq ) une famille de vecteurs de E. La matrice de U dans B est la
matrice dont la colonne j (quelconque entre 1 et q) est MatB (uj ). Elle est not´ee
Mat(U) = Mat(u1 , · · · , uq )
B
et v´erifie
B
∀j ∈ {1, · · · , q} : Cj Mat(U) = Mat(uj )
B
B
Remarque. Dans les conditions de la d´efinition pr´ec´edente, MatB (U) est une matrice `a p lignes et q colonnes.
1
Cette cr´
eation est mise `
a disposition selon le Contrat
Paternit´
e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `
a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
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Matrices de familles de vecteurs et d’applications lin´eaires
20 mars 2015
Proposition. Soit B une base d’un K-espace vectoriel E, (u1 , · · · , uq ) une famille de vecteurs de E et (λ1 , · · · , λq )
une famille d’´el´ements de K.
 
λ1
 .. 
Mat(u1 , · · · , uq )  .  = Mat(λ1 u1 + · · · + λq uq )
B
B
λq
Preuve. D’apr`es une des propri´et´es du produit matriciel,
 
λ1
 .. 
Mat(u1 , · · · , uq )  .  = C1 (Mat(u1 , · · · , uq ))λ1 + C2 (Mat(u1 , · · · , uq ))λ2 + · · · + Cq (Mat(u1 , · · · , uq ))λq
B
B
B
B
λq
= λ1 Mat(u1 ) + λ2 Mat(u2 ) + · · · + λq Mat(uq ) = Mat(λ1 u1 + · · · + λq uq )
B
B
B
B
en utilisant une remarque pr´ec´edente.
D´
efinition (Matrice de passage). Soit B et B 0 deux bases d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. La matrice
de passage de B vers B 0 est la matrice de la famille B 0 dans la base B. Elle est not´ee PBB0 .
PBB0 = Mat(B 0 )
B
Exemples.
1. Un exemple num´erique `
a r´ediger.
2. Par d´efinition : PBB = MatB (B) = Ip .
Proposition (Formules de changement de base). Soit B et B 0 deux bases d’un K-espace vectoriel E de dimension
finie, soit u un vecteur de E et (u1 , · · · , uq ) une famille de E :
Mat(u) = PBB0 Mat
(u)
0
B
B
Mat(u1 , · · · , uq ) = PBB0 Mat
(u1 , · · · , uq )
0
B
B
0
Preuve. Notons p la dimension de E avec B =
(e01 , · · ·
, e0p )
et

λ1
 .. 
 .  = Mat(u)

B0
λp
les coordonn´ees de u. On peut alors ´ecrire


λ1
 
PBB0 Mat
(u) = Mat(e01 , · · · , e0q )  ...  = Mat(λ1 e01 + · · · + λq e0q ) = Mat(u)
0
B
B
B
B
λp
Pour la famille de vecteurs, il suffit d’appliquer le premier r´esultat colonne par colonne.
Proposition. Soit B et B 0 deux bases d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. La matrice de passage PBB0
est inversible d’inverse PB0 B
Preuve. On utilise la formule de changement de base en prenant B dans le rˆole de la famille (u1 , u2 , · · · , up ). On
en d´eduit
PBB0 PB0 B = PBB0 Mat
(B) = Mat(B) = Ip
0
B
B
On obtient l’autre produit en ´echangeant les rˆ
oles de B et B 0 .
Remarque. Si on connait les coordonn´ees d’un vecteur u dans une base B et les coordonn´ees des vecteurs de B dans
une base B 0 (c’est `
a dire PB0 B ), il est facile (en rempla¸cant, d´eveloppant, regroupant) d’obtenir les coordonn´ees de
u dans B 0 . Cela se traduit par la relation matricielle
Mat
(u) = PB0 B Mat(u)
0
B
B
En revanche si on connait seulement la matrice de passage PBB0 , un calcul suppl´ementaire est n´ecessaire.
2
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Remarques. On peut traduire matriciellement le caract`ere libre ou li´e d’une famille de vecteurs. Soit E un K-espace
vectoriel de dimension p, soit B une base de E.
1. Soit u1 , · · · , up une famille de p vecteurs de E.
(u1 , · · · , up ) base de E ⇔ (u1 , · · · , up ) libre ⇔ Mat(u1 , · · · , uq ) inversible
B
2. Soit u1 , · · · , uq une famille de q vecteurs de E.
 
 
0
0
 
 
(u1 , · · · , up ) li´ee ⇔ ∃X ∈ Mq,1 , X 6=  ...  tel que Mat(u1 , · · · , uq )X =  ... 
B
0
0
II.
1.
Matrices d’une application lin´
eaire
D´
efinition. Image d’un vecteur.
D´
efinition (matrice d’une application lin´eaire dans des bases). Soit E et F deux K-espaces vectoriels, soit
U = (u1 , · · · , uq ) une base de E et V = (v1 , · · · , vp ) une base de F , soit f une application lin´eaire de E dans F .
La matrice de f dans les bases U et V est la matrice `a p lignes et q colonnes d´efinie par
Mat f = Mat(f (U)) = Mat(f (u1 ), · · · , f (uq ))
UV
V
V
Dans le cas d’un endomorphisme f ∈ L(E), lorsque la base est la mˆeme au d´epart et `a l’arriv´ee, on note
Mat f = Mat f
U
UU
Remarque. Soit U et V des bases d’un K-espace vectoriel E
Mat IdE = Ip
U
Mat IdE = PU V matrice de passage
VU
Proposition. Soit E et F deux K-espaces vectoriels, soit U = (u1 , · · · , uq ) une base de E et V = (v1 , · · · , vp ) une
base de F , soit f une application lin´eaire de E dans F et u un vecteur de E :
Mat(f (u)) = Mat f Mat u
V
UV
U
Preuve. `
a r´ediger
Proposition. Soit E et F deux K-espaces vectoriels, soit U = (u1 , · · · , uq ) une base de E et V = (v1 , · · · , vp ) une
base de F . L’application ”MatU V ” de L(E, F ) dans Mpq (K) qui, `
a une application lin´eaire, associe sa matrice
dans les bases consid´er´ees est un isomorphisme de K-espace vectoriel.
Preuve. `
a r´ediger
Proposition. Soit E, F , G trois K-espaces vectoriels, soit U une base de E et V une base de F et W une base
de G, soit f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G) :
Mat g ◦ f = Mat g Mat f
UW
VW
UV
Preuve. `
a r´ediger
Proposition. Soit U une base d’un K-espace vectoriel E. L’application
L(E) → Mp (K)
f → Mat f
U
est un isomorphisme d’alg`ebre.
Preuve. `
a r´ediger
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Matrices de familles de vecteurs et d’applications lin´eaires
2.
Application lin´
eaire canoniquement associ´
ee `
a une matrice
3.
Des bases pour une matrice simple
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Proposition. Soit E de dimension q et F de dimension p deux K-espaces vectoriels. Soit f ∈ L(E, F ) une
application lin´eaire de rang r. Alors r ≤ min(p, q) et il existe des bases U de E et V de F telles que :


1 0
0



0 . . . 0



0 1 0
0


Mat f =  .
..
..  (not´ee Jr (p, q))
UV

 ..
.
0
0
.




.
..


0 ··· 0
··· 0
Preuve. On rappelle que le rang de f est la dimension de f (E) qui est un sous-espace vetoriel de F . On en
d´eduit r ≤ p = dim F . D’autre part, d’apr`es le th´eor`eme du rang, dim E = dim(ker f ) + rg f . On en d´eduit que
rg f ≤ q = dim E.
Consid´erons une base (v1 , · · · , vr ) de f (E). Comme chacun de ses vecteur est une image, il existe une famille
(u1 , · · · , ur ) de vecteurs de E tels que f (ui ) = vi pour i entre 1 et r. D’apr`es le th´eor`eme du rang ker f est de
dimension q − r, consid´erons une base (ur+1 , · · · , uq ) de ker f et formons la famille
U = (u1 , · · · , ur , ur+1 , · · · , uq )
Montrons que c’est une base de E.
Comme elle est form´ee de q = dim E vecteurs, il suffit de prouver qu’elle est libre. Consid´erons des scalaires
λ1 , · · · , λq tels que
λ1 u1 + · · · + λq uq = 0E
En composant par f , on ´elimine les vecteurs du noyau d’o`
u
λ1 v1 + · · · + λr vq = 0F
Comme la famille (v1 , · · · , vr ) est libre car c’est une base de f (E), les λi sont nuls pour i entre 1 et r. Pour les
autres, on exploite le fait que (ur+1 , · · · , uq ) est libre car c’est une base du noyau. La famille est donc bien libre,
c’est une base.
On compl`ete la famille libre (v1 , · · · , vr ) en une base V = (v1 , · · · , vp ).
On aura alors f (ui ) = vi pour i entre 1 et r et f (ui ) = 0F pour les autres i. La matrice de f dans les base U et V
est bien celle annonc´ee.
4.
Changements de bases
Proposition (formule du changement de base). Soit E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ), soit U et
U 0 deux bases de E, soit V et V 0 deux bases de F :
−1
Mat
f = PV 0 V Mat f PU U 0 = PVV
0 Mat f PU U 0
0 0
U V
UV
UV
Preuve. `
a r´ediger
Proposition (formule du changement de base pour un endomorphisme). Soit E un K-espace vectoriel, soit U, V
deux bases de E, soit f ∈ L(E). La formule du changement de base pour les matrices de f obtenues avec la mˆeme
base au d´epart et `
a l’arriv´ee s’´ecrit :
Mat f = PVU Mat(f )PU V = PU−1
V Mat(f )PU V
V
U
U
Preuve. `
a r´ediger
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III.
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Matrices d’une famille de formes lin´
eaires
D´
efinition. Soit U = (u1 , · · · , up ) une base d’un K-espace vectoriel E et ϕ ∈ E ∗ une forme lin´eaire sur E. La
matrice de ϕ dans la base U est d´efinie par
Mat ϕ = Mat ϕ = ϕ(u1 ) ϕ(u2 ) · · · ϕ(up )
U
U (1)
o`
u (1) d´esigne la base canonique de K consid´er´e comme K-espace vectoriel.
Remarque. Attention `
a ne pas confondre la matrice ligne MatU ϕ avec la matrice colonne MatU ∗ ϕ o`
u U ∗ d´esigne
∗
la base de E .


ϕ(u1 )
ϕ(u2 )


Mat ϕ = ϕ(u1 ) ϕ(u2 ) · · · ϕ(up )
Mat
ϕ
=
 .. 
U
U∗
 . 
ϕ(up )
IV.
Matrices ´
equivalentes et rang
D´efinition de l’´equivalence entre deux matrices de mˆeme taille.
Remarque. Deux matrices sont ´equivalentes si et seulement si elles repr´esentent la mˆeme application lin´eaire dans
des bases diff´erentes.
Proposition. La relation d’´equivalence est une relation d’´equivalence.
Preuve. `
a r´ediger
D´
efinition. Le rang(des colonnes) d’une matrice est le rang de la famille de ses colonnes.
Proposition. Si une matrice repr´esente une famille de vecteurs dans une base, le rang de la matrice est ´egal au
rang de la famille de vecteurs.
Si une matrice repr´esente une application lin´eaires dans des bases, le rang de la matrice est ´egal au rang de
l’application lin´eaire.
Preuve. `
a r´ediger
Proposition. Deux matrices ´equivalentes sont de mˆeme rang.
Preuve. En effet elles repr´esentent une mˆeme application lin´eaire dans des bases diff´erentes.
Remarque. Le rang est donc invariant par une multiplication d’un cˆot´e ou de l’autre par une matrice inversible.
C’est un cas particulier d’´equivalence.
Proposition. Une matrice de Mp, q(K) est de rang r ∈ J0, min(p, q)K si et seulement si elle est ´equivalente `
a
Jr (p, q).
Proposition. Le rang d’une matrice est ´egal `
a celui de sa transpos´ee.
Preuve. `
a r´ediger
Remarque. Une matrice et sa transpos´ee ne sont pas de mˆeme taille.
Proposition. Le rang des lignes est ´egal au rang des colonnes.
Matrices extraites
Extraire diminue le rang.
De toute matrice non nulle, on peut extraire des matrices carr´ees inversibles.
Proposition. Soit A une matrice non nulle et I l’ensemble des s tels qu’il existe une matrice carr´ee inversible
s × s extraite de A. Le rang de A est alors le plus grand ´el´ement de I.
Preuve. `
a r´ediger
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V.
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Matrices semblables et trace
D´
efinition. Deux matrices carr´ees de mˆeme taille A et B dans Mp (K) sont semblables si et seulement si il existe
P ∈ GLp (K) telle que
B = P −1 A B
On rappelle que la trace d’une matrice carr´ee est la somme de ses termes diagonaux. La fonction trace not´ee
tr est une forme lin´eaire sur Mp (K). Elle v´erifie
∀(A, B) ∈ Mp (K)2 , tr(AB) = tr(BA)
Proposition. Deux matrices semblables ont la mˆeme trace.
Preuve. `
a r´ediger.
Remarque. On en d´eduit que les traces des matrices repr´esentant un endomorphisme dans une base sont ´egales
entre elles donc ind´ependantes de la base choisie. Si U et V sont deux bases d’un K-espace vectoriel E et f un
endomorphisme de E :
−1
tr Mat f = tr PVU
Mat f PU V = tr Mat f PU V PU−1
V = tr Mat f
V
U
U
U
Cet ´el´ement de K est appel´e trace de f et not´e tr(f ). C’est la trace de l’endomorphisme.
Cette fonction nouvelle fonction trace est une forme lin´eaire sur l’espace des endomorphismes.
Proposition. Si p est un projecteur dans un espace E de dimension finie, sa trace est le dimension de son image.
Si A et B sont deux sous-espaces supplementaires et p la projection sur A parall`element `
a B, alors tr(p) = dim(A).
Preuve. On consid`ere une base E = (a1 , · · · , aα , b1 , · · · , bβ ) de E
de B. Alors

1 0

.
0 1 . .

 ..
..
.
. 0

0
1
Mat(p) = 

E

0
0

.
..
 ..
.
0
··· 0
6
avec (a1 , · · · , aα ) base de A et (b1 , · · · , bβ ) base

0
0



..
.. 
.
.

0
0

..
.. 
.
.



0
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