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Stanislas
T.D. 14
Calcul matriciel
Convergence d'une suite de matrices stochastiques
MPSI 1
2014/2015
Exercice 1. (Limite d’une matrice stochastique) Soient a, b ∈]0, 1[ tels que a+b = 1. Soit
 f l'endo
1 0 0
morphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique B = (e1 , e2 , e3 ) est A =  b a 0 .
0 b a
1. Étude de f − Id.
a) Déterminer à quelle condition un vecteur u = (x, y, z) appartient au noyau de f − Id.
Expliciter une base du sous-espace vectoriel Ker(f − Id).
b) Montrer que (e2 , e3 ) est une base de Im(f − Id).
c) Montrer que les sous-espaces vectoriels Ker(f − Id) et Im(f − Id) sont des sous-espaces
vectoriels supplémentaires de R3 .
d) Soit p le projecteur sur Ker(f − Id) parallèlement à Im(f − Id). Soit v = e1 + e2 + e3 .
Déterminer p(v) puis p(e2 ), p(e3 ) et p(e1 ). Expliciter la matrice P associée à p dans la base
canonique.
2. Une limite de matrices.
a) Montrer que B 0 = (v, e2 , e3 ) est une base de R3 .
b) Déterminer, sans utiliser les formules de changement de base, la matrice A0 associée à f
dans la base B 0 .
c) Pour tout entier naturel non nul k , déterminer Mk0 la matrice de f k dans la base B 0 .
d) En déduire la valeur de la matrice Mk de f k dans la base B .
e) Déterminer la limite de la suite (Mk ) lorsque k tend vers +∞ (i.e. la matrice dont les
coecients sont la limite des coecients de Mk ). Comparer cette matrice avec la matrice P .
Exercice 2. Soit R4 l'espace vectoriel muni de la base canonique (e1 , e2 , e3 , e4 ). Étant donné un
nombre réel
l'endomorphisme f de R4 dont la matrice dans la base canonique

 α, on considère
1 1 0 0
2 1 1 1

est A = 
 0 0 0 α .
α α 0 0
1. Noyau et image de f .
a) Déterminer selon les valeurs de α une base de l'image et une base du noyau de f .
b) Pour quelles valeurs de α l'image et le noyau de f sont-ils des sous-espaces supplémentaires
de R4 ?
Dans toute la suite, on suppose que α est diérent de 0. Soit λ ∈ R. On pose ε1 = λe1 + αe4 ,
ε2 = e2 , ε3 = e3 et B = (ε1 , ε2 , ε3 ). On note F = Im f .
2. Déterminer λ pour que B soit une base de F . Dans la suite, on supposera λ ainsi xé.
Soit g la restriction de f à F .
3. Montrer que g est un endomorphisme de F et écrire la matrice B de g dans la base B .
4. Montrer que g est inversible et calculer la matrice de g −1 dans la base B .
5. Soit h l'endomorphisme de R4 vériant h(εi ) = g −1 (εi ), i = 1, 2, 3 et Ker f = Ker h.
a) Montrer que ces deux conditions dénissent bien h et écrire la matrice D de h dans la base
canonique.
b) Déterminer f ◦ h ◦ f .
Stanislas
A. Camanes