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Universit`
a degli Studi di Bologna
Scuola di Ingegneria e Architettura
Corso di Laurea Magistrale in INGEGNERIA MECCANICA
Sede di Forl`ı
MECCANICA E DINAMICA
DELLE MACCHINE LM
– Dispense del Corso –
prof. Alessandro Rivola
[email protected]
http://www.unibo.it/docenti/alessandro.rivola
http://diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola
https://campus.unibo.it
PROGRAMMA del CORSO di
MECCANICA E DINAMICA DELLE MACCHINE LM
Anno Accademico 2014-15
Parte I
Richiami
Macchina e meccanismo. Membri e coppie cinematiche. Catena cinematica. Gradi di libert`a di un
meccanismo. Sistemi articolati. Teorema di Rivals. Centro di istantanea rotazione. Teorema di
Kennedy-Aronhold. Centro di curvatura. Analisi cinematica di sistemi articolati piani.
1. Sistemi articolati.
I sistemi articolati piani. Analisi cinematica con approccio modulare. Gruppi di Assur. Sintesi
cinematica. Il quadrilatero articolato. Regola di Grashof. Sintesi di un quadrilatero manovellabilanciere. Sintesi di un quadrilatero bilanciere-bilanciere. Generazione di movimenti. Sintesi
grafica: segmento di biella per due e tre posizioni. Tracciamento delle traiettorie: formula di
Eulero-Savary; circonferenza dei flessi; centro di curvatura della traiettoria; teorema di Roberts;
esempi e applicazioni. Sintesi grafica di un quadrilatero per la generazione di traiettorie. Sintesi
cinematica con metodi analitici: la diade; il quadrilatero articolato (generazione di movimenti,
traiettorie e funzioni); esempi; tecnica del loop chiuso; order synthesis.
2. Meccanismi con camme.
Classificazione. Legge di moto. Angolo di pressione. Tracciamento del profilo con metodo grafico.
Tracciamento del profilo per via analitica con il metodo dell’inviluppo. Analisi cinematica: sistemi
articolati equivalenti. Camma con punteria a coltello. Camma con punteria a rotella. Camma con
punteria a piattello. Camma con bilanciere a rotella. Problema del sottotaglio.
3. Ruote dentate.
Tracciamento di profili coniugati. Ruote dentate ad evolvente. Dentiera di riferimento, interasse
di riferimento, interasse di lavoro, angolo di pressione di lavoro. Proporzionamento ruote normali.
Ruote corrette. Segmento di azione; arco di azione; condizione di continuit`a; fattore di ricoprimento.
Rigidezza di ingranamento. Condizione di non interferenza. Cenni sul taglio delle ruote dentate.
Misura Wildhaber. Correzione di ruote dentate. Ruote dentate a denti elicoidali. Ruote dentate
coniche. Trasmissione del moto tra assi sghembi con ruote dentate.
Parte II
4. Richiami di Dinamica e Fondamenti di Meccanica delle Vibrazioni.
Richiami di dinamica: azioni di inerzia; energia cinetica; principio di D’Alembert; principio dei
lavori virtuali; equazione energetica; teorema di conservazione dell’energia meccanica; gradi di libert`a; equazioni di Lagrange; riduzione di inerzie e azioni. Fondamenti di meccanica delle vibrazioni:
sistemi continui e discreti; elementi elastici; elementi dissipativi (smorzatore viscoso; attrito coulombiano; smorzamento strutturale); il moto armonico (rappresentazione vettoriale; rappresentazione
con numeri complessi; lavoro compiuto in moti armonici).
5. Sistemi ad un grado di libert`
a.
Vibrazioni libere: il sistema molla-smorzatore; il sistema massa-smorzatore; il sistema massa-molla;
il sistema massa-molla-smorzatore; piano delle fasi; metodo del decremento logaritmico; attrito coulombiano; smorzamento isteretico. Metodi energetici: introduzione al metodo di Rayleigh. Vibrazioni forzate: risposta all’eccitazione armonica (risonanza di ampiezza e di fase); funzione risposta
in frequenza (FRF); metodo della banda di mezza potenza; eccitazione proporzionale al quadrato
della frequenza; eccitazione armonica in risonanza; vibrazioni forzate con smorzamento strutturale;
risposta all’impulso; risposta all’eccitazione generica.
6. Sistemi a due gradi di libert`
a.
Equazioni del moto: scelta coordinate; accoppiamento statico e dinamico. Vibrazioni libere: equazione caratteristica; calcolo pulsazioni naturali; modi di vibrare; condizioni iniziali; moto rigido.
Vibrazioni forzate: matrice impedenza; esempio; progetto di uno smorzatore dinamico.
7. Sistemi a molti gradi di libert`
a.
Sistemi senza smorzamento: matrice massa e matrice rigidezza; autovalori e autovettori; ortogonalit`a dei modi; matrice modale; disaccoppiamento; moti rigidi. Sistemi smorzati: smorzamento
proporzionale. Vibrazioni forzate: metodo modale e pseudo-modale.
8. Sistemi continui.
Corda vibrante. Vibrazioni assiali di un’asta rettilinea. Condizione di ortogonalit`a delle forme
modali. Vibrazioni torsionali delle travi. Vibrazioni flessionali delle travi. Metodi approssimati:
Rayleigh e Rayleigh-Ritz. Vibrazioni forzate (cenni).
9. Misure di vibrazione e analisi modale.
Componenti della catena di misura. Analisi nel dominio della frequenza. Il campionamento: teorema di Shannon; aliasing. Trasformata discreta di Fourier. Introduzione all’analisi modale sperimentale: funzione di trasferimento e Funzione Risposta in Frequenza (FRF); rilievo sperimentale della
FRF; fondamenti analitici dell’analisi modale; estrazione delle forme modali (metodo ad un gdl);
schema del procedimento. Prove sperimentali: misura di frequenze naturali; scelta dei parametri di
acquisizione; eccitazione di una struttura con shaker elettrodinamico e con martello strumentato;
rilievo sperimentale di FRF; osservazioni sulla funzione coerenza; estrazione dei parametri modali;
visualizzazione dei modi di vibrare.
10. Modellazione
Modelli a parametri concentrati. Modellazione a parametri concentrati di meccanismi: principi
generali; la validazione; impiego del modello; esempi (meccanismo per moto rettilineo alterno; distribuzione desmodromica; meccanismo per moto rotatorio alterno). Cenni al metodo degli elementi
finiti.
Testi consigliati
– Parte I:
(a) Funaioli E., Maggiore A., Meneghetti U., Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, (I, II
e III parte), ed. P`
atron, Bologna.
(b) Erdman A.G., Sandor G.N., Kota S., Mechanism Design: Analysis and Synthesis, Prentice
Hall, 4th edition. ISBN: 0130408727.
(c) Norton R.L., Cam Design and Manufacturing Handbook, Industrial Press. ISBN: 0831131225.
(d) Litvin F.L., Fuentes A., Gear Geometry and Applied Theory, Cambridge University Press, 2nd
edition. ISBN: 0521815177.
– Parte II:
(e) Rao S.S., Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995.
(f) D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice Hall, 1994.
– Dispense redatte dal docente.
– Materiale relativo alle Esercitazioni svolte durante il corso.
Modalit`
a di esame
La prova d’esame `e orale e verte sugli argomenti svolti durante le lezioni e le esercitazioni. Al momento di
sostenere l’esame, il candidato `e tenuto a consegnare alla commissione esaminatrice alcuni esercizi svolti
su un quaderno secondo le modalit`
a specificate nel programma.
Modalit`
a di iscrizione all’esame
Per ciascun appello d’esame i candidati devono iscriversi utilizzando esclusivamente
https://almaesami.unibo.it.
Universit`
a degli Studi di Bologna
Scuola di Ingegneria e Architettura
Corso di Laurea Magistrale in INGEGNERIA MECCANICA
Sede di Forl`ı
MECCANICA E DINAMICA
DELLE MACCHINE LM
– ESERCITAZIONI –
prof. Alessandro Rivola
[email protected]
http://www.unibo.it/docenti/alessandro.rivola
http://diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola
https://campus.unibo.it
ESERCITAZIONI del CORSO di
MECCANICA E DINAMICA DELLE MACCHINE LM
Anno Accademico 2014-15
1
2
3
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5
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8
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15
Meccanismo per macchina cucitrice
Sintesi cinematica di un quadrilatero articolato
Proporzionamento di un meccanismo a camma
Esercizi su ruote dentate
Riduttore a due stadi
Equivalenza dinamica: riduzione
Calcolo di costanti elastiche
Applicazione del metodo di Rayleigh ad un continuo
Frequenza propria di una colonna con serbatoio elevato
Risposta di un sistema ad un grado di libert`a
Sistema a due gradi di libert`a
Vibrazioni torsionali di un motore marino
Modifiche strutturali
Definizione dei parametri di acquisizione
Vibrazioni flessionali con FEM
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
(*)
Modalit`
a di esame
Le esercitazioni riguardano complementi ed applicazioni degli argomenti del corso.
Tra le esercitazioni elencate, quelle svolte completamente o parzialmente in aula costituiscono
materia di esame.
Alcune esercitazioni sono contraddistinte da un asterisco (*). Al momento di sostenere l’esame,
lo studente `e tenuto a consegnare alla commissione esaminatrice tali esercizi, secondo le seguenti
modalit`a:
1. Gli esercizi vanno redatti su fogli formato A4 o su un quaderno dello stesso formato.
2. In testa a ciascun esercizio devono essere chiaramente indicati cognome, nome e numero
di matricola dello studenteallievo.
3. Lo svolgimento di ciascun esercizio deve contenere:
(a)
(b)
(c)
(d)
il testo;
l’elenco dei simboli con il relativo significato;
i dati;
la traccia dello svolgimento (le formule impiegate, scritte in forma simbolica e poi con
i valori numerici);
(e) i risultati, con l’indicazione delle unit`a di misura;
(f) i grafici qualora richiesto.
4. Il sistema di unit`a di misura adottato `e il Sistema Internazionale (SI).
5. Non `e ammesso scrivere a matita.
TABELLA di RIEPILOGO dei RISULTATI
MECCANISMO PER MACCHINA CUCITRICE
Ultima cifra del numero di matricola
u=
Lx [mm]
Ly [mm]
SINTESI CINEMATICA DI UN QUADRILATERO ARTICOLATO
Resto1
Coordinate
punto A0
[mm]
Coordinate
punto B0
[mm]
Lunghezza
asta A0 A
[mm]
Lunghezza
biella AB
[mm]
Lunghezza
asta B0 B
[mm]
Angolo iniziale
manovella
[deg]
PROPORZIONAMENTO DI UN MECCANISMO A CAMMA
Resto1
Raggio base
[mm]
Diametro bicchierino
[mm]
Precarico
[N ]
RIDUTTORE A DUE STADI
Resto1
Angolo di pressione
di lavoro α3,4 [deg]
Somma coefficienti
di spostamento x3 + x4
Somma spostamenti
di profilo v3 + v4 [mm]
FREQUENZA DI UNA COLONNA CON SERBATOIO ELEVATO
Ultime due cifre del
numero di matricola
u=
v=
Prima frequenza propria
[Hz]
VIBRAZIONI TORSIONALI DI UN MOTORE MARINO
Ultima cifra del
numero di matricola
u=
Prima frequenza
propria [Hz]
Seconda frequenza
propria [Hz]
Rapporto
r1 = [Φ2 /Θ1 ]1
Rapporto
r2 = [Φ2 /Θ1 ]2
MODIFICHE STRUTTURALI
Ultima cifra del
numero di
matricola
u=
Prima frequenza
propria [rad/s]
Seconda frequenza
propria [rad/s]
Terza frequenza
propria [rad/s]
Seconda frequenza
propria dopo le
modifiche [rad/s]
DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI ACQUISIZIONE
Ultima cifra del
numero di
matricola
u=
1
Frequenza di taglio
del filtro passa-basso
(anti-aliasing) [Hz]
Frequenza di
campionamento
minima [Hz]
Numero di punti da elaborare
(tenendo conto che si desidera
utilizzare l’algoritmo FFT)
Resto `e il resto della divisione per 4 del numero di matricola
Meccanismo per macchina cucitrice
In Fig. 1 `e rappresentato lo schema del meccanismo di una macchina cucitrice il cui movente
`e la manovella O1 A, mentre gli aghi sono montati sui due cedenti O5 H e O6 L.
Fissato un sistema di riferimento con origine nel punto O6 , asse x passante per O1 (positivo da
O6 a O1 ) ed asse y verso l’alto, determinare le coordinate del punto L quando la manovella O1 A
si trova nella posizione assegnata (si esprima il risultato utilizzando almeno 4 cifre decimali).
Figura 1: Meccanismo per macchina cucitrice.
DATI
1
Posizione delle coppie rotoidali
ad asse fisso [mm]
O6 (0, 0)
O1 (500, 0)
O2 (385, 15)
O3 (120, –78)
O4 (80, 115)
O5 (–15, 50)
Lunghezze aste [mm]
AB = 100
O2 B = 75 − 2 × u
BC = 100
CD = 125
O3 D = 150
O3 E = 150
EF = 50
Angoli
(misurati in senso antiorario)
b3 E = 60◦
DO
b4 G = 195◦
FO
b4 I = 265◦
FO
b = 180◦
ABC
b1 O6 = 30◦
AO
O1 A = 42
O4 F = 75
O4G = 85
O4 I = 115
GH = 75
O5 H = 72
IL = 50
O6 L = 42
Tabella 1: Dati dell’esercizio.
1
u ultima cifra del numero di matricola (matricola = ######u)
Sintesi cinematica di un quadrilatero articolato
Un punto P di biella di un quadrilatero articolato deve assumere tre posizioni assegnate da
occuparsi in tre istanti prefissati. In particolare, a partire dall’istante t1 = 0 in cui il punto di
biella `e nella posizione P1 , i punti P2 e P3 devono essere raggiunti rispettivamente negli istanti
t2 e t3 . Il movente del quadrilatero (la prima asta A0 A della diade di sinistra) ruota con velocit`
a
angolare pari a n.
Mediante sintesi cinematica, individuare il quadrilatero. In particolare, con riferimento alla
Fig. 1, occorre determinare:
1.
2.
3.
4.
le coordinate degli assi delle coppie rotoidali fisse (A0 e B0 )
le lunghezze delle aste accoppiate a telaio (A0 A e B0 B)
la distanza tra gli assi delle coppie rotoidali di biella (AB)
l’angolo che l’asta A0 A forma con la congiungente gli assi delle coppie fisse quando il punto
P `e nella prima posizione
Si chiede inoltre di disegnare il quadrilatero ottenuto in opportuna scala.
Figura 1: Schema per la sintesi cinematica del quadrilatero articolato.
Affinch´e con i dati forniti il problema abbia una soluzione unica (in modo da consentire il controllo dei risultati da parte del docente), si assuma che quando il punto P occupa rispettivamente
le posizioni P2 e P3 :
1. la prima asta (B0 B) della diade di destra abbia compiuto, a partire dalla posizione iniziale,
rotazioni assegnate ψ2 e ψ3 ;
2. un segmento di biella abbia compiuto, a partire dalla posizione iniziale, rotazioni assegnate
γ2 e γ3 .
Oltre alla soluzione cos`ı ottenuta, si chiede di riportare anche altre soluzioni
(almeno due) scegliendo arbitrariamente gli angoli ψj e γj . I quadrilateri corrispondenti a tali ulteriori soluzioni vanno disegnati in scala opportuna e comparati con
quello ottenuto dalla prima soluzione.
DATI
(u `e il resto della divisione per 4 del numero di matricola)
(200, −75)
mm
P2
25 × u + (60, −151)
mm
P3
25 × u + (100, −305)
mm
t2
1.05
s
t3
2.1
s
n
20
rpm
ψ2
33
deg
ψ3
37
deg
γ2
–10
deg
γ3
45
deg
P1
Proporzionamento di un meccanismo a camma
freddo (gioco nominale g), ma non pu`o essere
controllato e mantenuto rigorosamente costante durante il funzionamento. Per tale motivo
il profilo attivo della camma inizia e termina
con rampe di recupero gioco aventi la funzione
di controllare l’entit`a degli inevitabili urti tra
camma e bicchierino (inizio della fase di apertura valvola) e tra valvola e sede (termine della fase di chiusura valvola) in corrispondenza
di un determinato campo di possibili valori del
gioco di funzionamento.
e
8
S
7
θ
2
6
y(θ) [mm]
Si consideri il cinematismo di azionamento
delle valvole di aspirazione di un motore per
autoveicolo rappresentato in Fig. 1: la camma
(1), ruotando con velocit`a angolare pari alla
met`a della velocit`a angolare dell’albero motore,
comanda il bicchierino (2), che pu`o supporsi
solidale con la valvola (3).
Durante la fase di azionamento della valvola
il contatto tra camma e bicchierino `e assicurato
dall’azione della molla (4). La stessa molla garantisce, a valvola chiusa, la tenuta sulla sede
(5).
Mentre a valvola aperta la posizione istantanea dell’equipaggio traslante `e controllata dal
contatto con la camma (1), a valvola chiusa la
posizione dello stesso equipaggio `e definita dal
contatto con la sede (5). Nel passaggio dalle
configurazioni di apertura alla configurazione
di chiusura (e viceversa) il contatto con l’equipaggio traslante si deve pertanto spostare dalla
camma (1) alla sede (5).
θ1
5
4
R
3
Q
2
1
0
P
−20
O
e
0
20
40
60
80
θ [deg]
100
120
140
Figura 2: Legge di alzata.
Detto θ l’angolo di rotazione della camma, si
richiede di:
1. determinare la legge del moto y = y(θ)
della valvola tenendo presente i seguenti
vincoli progettuali:
Figura 1: Cinematismo di azionamento delle valvole di aspirazione di un motore per
autoveicolo.
Per assicurare un funzionamento corretto e
quindi necessario garantire, a valvola chiusa,
un seppur minimo gioco tra camma e bicchierino. Tale gioco pu`o essere impostato a motore
(a) legge di moto simmetrica rispetto alla
configurazione di massima apertura;
(b) alzata della valvola pari ad h (al netto
delle rampe di ripresa del gioco);
(c) durata di azionamento valvola corrispondente ad α gradi di rotazione dell’albero motore (al netto delle rampe
di ripresa del gioco);
(d) altezza rampe di ripresa gioco = h1 ;
(e) massima velocit`a d’urto = u;
(f) massimo regime di rotazione del
motore = n;
(g) rampe di recupero gioco a velocit`a di
impatto costante al variare del gioco
di funzionamento;
(h) tratto utile della legge di moto composto da tre archi polinomiali di ordine 5, 4 e 5, raccordati tra loro a
distanza θ1 dalla configurazione di
massima apertura;
000
(i) continuit`a di y (θ) (ossia di d3 y/dθ3 )
in corrispondenza dei suddetti raccordi;
00
(j) continuit`a di y (θ) in corrispondenza
dei raccordi tra gli archi polinomiali di ordine 5 e le rampe di recupero
gioco;
(k) accelerazione valvola nulla a distanza θ2 dalla configurazione di massima
apertura.
tra camma e bicchierino sia pari a Fmin ; `e
nota la rigidezza k della molla e la massa
m dell’equipaggio mobile della valvola.
y
dy/dθ
d2y/dθ2
−20
0
20
40
60
θ [deg]
80
100
0
120
00
Figura 4: Curve y(θ), y (θ), y (θ).
Figura 3: Dimensionamento bicchierino.
0
00
2. tracciare gli andamenti di y, y e y in
funzione di θ;
3. determinare il raggio base della camma
in modo tale che il minimo raggio di
curvatura del profilo sia pari δmin ;
4. disegnare la forma della camma (se ne
esegua il disegno in scala 2:1);
5. determinare la massima distanza dall’asse valvola del contatto camma-bicchierino
(l’asse dell’albero a camme e del bicchierino sono ortogonali ed incidenti);
6. determinare il diametro minimo d del bicchierino, essendo pari a d/2 lo spessore
della camma;
7. determinare l’entit`a del precarico della
molla a valvola chiusa e in condizioni di
gioco nominale g = h1 affinch´e, in corrispondenza del massimo regime di rotazione del motore, la forza minima di contatto
Figura 5: Schema cinematico.
30
20
10
0
−10
−20
−30
−30
−20
−10
0
10
20
30
Figura 6: Profilo della camma.
140
DATI
Resto della divisione per 4 del numero di matricola
h [mm]
α [◦ ]
h1 [mm]
u [mm/s]
n [rpm]
θ1 [◦ ]
θ1 [◦ ]
δmin [mm]
Fmin [N]
k [N/mm]
m [kg]
0
8
240
0.3
270
6000
38
42
5
140
8.8
0.19
1
8
240
0.3
270
6000
38
42
6
120
8.3
0.21
2
10
252
0.3
270
5400
37
42
5
150
10
0.22
3
10
252
0.3
270
5400
37
42
6
130
9.5
0.20
Esercizi su ruote dentate
Esercizio A
Una ruota cilindrica a denti dritti con Z = 23 denti, viene tagliata con una dentiera avente
angolo di pressione α=20◦ e modulo m = 1.5. Determinare il diametro della circonferenza di
testa nel caso in cui il taglio avvenga con una correzione negativa x = −0.25.
Soluzione: Diametro della circonferenza di testa = 36.75 mm
Esercizio B
Determinare l’interasse con il quale montare un ingranaggio costituito da due ruote cilindriche
a denti diritti non corrette, in modo che sulle primitive di lavoro le dentature presentino un
assegnato gioco laterale necessario per una adeguata lubrificazione.
Dati
Modulo della dentiera generatrice m0
Angolo di pressione della dentiera generatrice α0
Numero di denti della prima ruota z1
Numero di denti della seconda ruota z2
Gioco laterale sulla primitiva di lavoro δ
=
=
=
=
=
2 mm
20◦
40
110
0.3 mm
Soluzione: Interasse di montaggio = 150.407 mm
Traccia:
Lo spessore SM del dente su una circonferenza di raggio generico rM vale (essendo R il raggio
della primitiva di taglio ed S lo spessore del dente su tale primitiva):
S
SM = rM
− 2(inv αM − inv α0 )
R
S
0
0
0
Sulla primitiva di lavoro `e quindi: S = R
− 2(inv α − inv α0 )
R
cos α0
e, ricordando che: R0 = R
= R ∆, risulta: S 0 = S ∆ − 2R0 (inv α0 − inv α0 ).
cos α0
πm0
p
Poich´e per ruote non corrette lo spessore sulla primitiva di taglio `e: S =
= , la somma
2
2
degli spessori dei denti sulle primitive di lavoro `e pari a:
S10 +S20 = 2 S ∆−2(R10 +R20 )(inv α0 −inv α0 ) = p ∆−2a0 (inv α0 −inv α0 ) = p0 −2a0 (inv α0 −inv α0 )
Dato che sulla primitiva di lavoro deve risultare: p0 = δ + S10 + S20 , si ha infine:
δ = 2a0 (inv α0 − inv α0 ), che fornisce il legame tra gioco laterale δ e l’interasse di lavoro a0 .
Riduttore a due stadi
In Fig. 1 `e rappresentato un riduttore coassiale a due stadi le cui ruote dentate sono cilindriche
a denti dritti.
Volendo garantire la coassialit`a tra albero di ingresso (su cui `e calettata la ruota 1) e quello di
uscita (su cui `e montata la ruota 4), i dati impongono di operare una correzione. Si sceglie di
intervenire sul secondo stadio, per il quale si chiede di determinare:
1. l’angolo di pressione di lavoro α3,4 (espresso in gradi);
2. la somma dei coefficienti di spostamento x3 + x4 ;
3. la somma degli spostamenti di profilo v3 + v4 (espressa in mm).
Figura 1: Riduttore coassiale a due stadi.
DATI
1
Modulo del primo stadio m1,2
Modulo del secondo stadio m3,4
Numero di denti delle ruote:
Z1
Z2
Z3
Z4
Angolo di pressione di taglio α
1
u resto della divisione per 4 del numero di matricola
= 2.5 mm
= 3 mm
=
=
=
=
=
50
160 +u
59 +u
118 −u
20◦
Equivalenza dinamica: riduzione
Esercizio A
Per l’ingranaggio pignone–dentiera di Fig. 1, dati la massa m della dentiera, il raggio primitivo
R del pignone ed il suo momento di inerzia JO (rispetto al suo asse di rotazione O), trovare:
1. la massa equivalente del sistema ridotta alla coordinata x;
2. il momento di inerzia equivalente ridotto all’asse O.
Figura 1: Mechanical vibrations, S.S. Rao.
Esercizio B
Due cilindri, aventi momenti di inerzia J1 e J2 , sono calettati su due alberi paralleli rigidi e di
massa trascurabile, collegati da un ingranaggio le cui due ruote, indicate con 1 e 2 in Fig. 2,
hanno rispettivamente numero di denti pari a n1 e n2 e massa trascurabile. Trovare il momento
di inerzia equivalente risotto alla coordinata θ1 .
1
1
T = mx˙ 2 + Jo θ˙2
2
2
Figura 2: Mechanical vibrations, S.S. Rao.
Esercizio C
Per il meccanismo di Fig. 3, dati la massa m del carrello, la massa m2 del membro rigido 2, il
momento di inerzia J1 del membro rigido 1 rispetto al suo asse di rotazione O, il momento di
inerzia baricentrico JpG della puleggia, la massa mc del cilindro ed il suo momento di inerzia
baricentrico JcG , trovare la massa equivalente del sistema ridotta ad un punto del carrello. Si
noti che il membro rigido 1 ruota solidalmente alla puleggia.
1
1
1
1
1
1
T = mx˙ 2 + JpG θ˙p2 + J1 θ˙12 + m2 x˙ 22 + mc x˙ 22 + JcG θ˙c2
2
2
2
2
2
2
Figura 3: Mechanical vibrations, S.S. Rao.
Esercizio D
Con riferimento alla seguente Fig. 4, trovare la massa equivalente del sistema ridotta alla
coordinata x.
Figura 4: Mechanical vibrations, S.S. Rao.
Esercizio E
Per il meccanismo di distribuzione di Fig. 5 sono note le propriet`a inerziali dei membri dotati di
moto alterno: la massa mp dello spintore, la massa mr del bilanciere, il suo momento di inerzia
baricentrico JrG , la massa mv della valvola. Ritenendo le masse di rotella e molla trascurabili,
trovare la massa alterna equivalente del meccanismo assumendo che tale massa sia collocata:
1. nel punto A;
2. nel punto C.
1
1
1
1
T = mp x˙ 2p + mv x˙ 2v + JrG θ˙r2 + mr x˙ 2r
2
2
2
2
Figura 5: Mechanical vibrations, S.S. Rao.
Calcolo di costanti elastiche
Esercizio A
Con riferimento al propulsore ad elica di Fig. 1, determinare la rigidezza torsionale dell?albero,
noto il modulo di elasticit`a tangenziale del materiale G = 8 × 1010 N/m2 .
Figura 1: Propulsore ad elica.
Esercizio B
Con riferimento all’impianto di sollevamento di Fig. 2, determinare la costante elastica equivalente del sistema quando lunghezza libera della fune `e pari a l.
Figura 2: Macchina di sollevamento.
Esercizio C
Con riferimento al carrello ferroviario mostrato in Fig. 3, determinare la costante elastica equivalente di ciascuna sospensione realizzata con tre molle ad elica in acciaio (modulo di elasticit`
a
10
2
tangenziale G = 8 × 10 N/m ) aventi diametro D = 20 cm e diametro della spira d = 2 cm.
Figura 3: Carrello ferroviario.
Esercizio D
Con riferimento alla macchina per sollevamento carichi di Fig. 4, determinare la costante elastica
equivalente del sistema in direzione verticale. Il puntone `e realizzato in acciaio ed ha una sezione
costante pari a 2500 mm2 , il cavo `e anch’esso in acciaio con sezione pari a 100 mm2 .
Si trascuri l’influenza del tratto di cavo CDEB.
Figura 4: Macchina di sollevamento.
Applicazione del metodo di Rayleigh ad un continuo
Utilizzare il metodo di Rayleigh per calcolare la prima frequenza propria del sistema rappresentato in Fig. 1.
La trave ha modulo elastico E, momento di inerzia trasversale di sezione I, sezione S, densit`a ρ
ed alla sua estremit`a si trova una massa concentrata m. Nella sua mezzeria la trave `e collegata
a telaio mediante una molla di rigidezza k. Si suggerisce di impiegare la funzione di forma
seguente:
x 2 x 3
φ(x) = 3
−
L
L
Figura 1: Sistema trave-massa-molla
Traccia
1
V =
2
ZL
x 2 x 3
v(x, t) = φ(x)f (t) = 3
−
f (t)
L
L
∂2v
EI
∂x2
2
1
1
dx + k [v(x, t)]2x=L/2 =
2
2
0
ZL
2
d2 φ
1
EI f (t) 2 dx + k f 2 (t) [φ(x)]2x=L/2 =
dx
2
0
ZL h
x i2
36
25
1 2
12
25
1
1
2
2
= EI f (t) 4
1−
dx + k f (t) = f (t) EI 3 + k
2
L
L
2
64
2
L
64
0
1
T =
2
ZL
∂v
ρS
∂t
2
0
2
ZL h
i2
1
1
∂v
1
dx + m
=
ρS f˙(t)φ(x) dx + m f˙2 (t) [φ(x)]2x=L =
2
∂t x=L 2
2
0
ZL x 2 x 3 2
1
1
1
33
1
2
˙
= ρS f (t)
3
−
dx + m f˙2 (t) 4 = ρS f˙2 (t) L + m f˙2 (t) 4 =
2
L
L
2
2
35
2
0
1 ˙2
33
= f (t) ρS L + 4m
2
35
33
12
25
¨
Equazione del moto: f (t) ρS L + 4m + f (t) EI 3 + k
=0
35
L
64
v
u 12EI
25
u
+
k
u
3
L
64
Stima della prima frequenza propria: ω1 = u
t 33
ρSL + 4 m
35
Frequenza propria di una colonna con serbatoio elevato
Determinare la prima frequenza propria di vibrazione flessionale della colonna con serbatoio
elevato mostrata in Fig. 1, supponendo che la sezione tubolare della colonna sia costante.
Si esprima il risultato in Hz impiegando almeno cinque cifre significative.
Simboli:
D = diametro esterno della colonna
d = diametro interno della colonna
l = lunghezza della colonna
E = modulo di elasticit`a del materiale della colonna
Q = peso del serbatoio
ρ = massa volumica del materiale della colonna
DATI
1
D = 3 + u/10 [m]
ρ = 2400 + v 2 + u [kg/m3 ]
d = 2.45 + v/30 [m]
E = 2.8 × 1010 [N/m2 ]
l = 90 + u2 /5 − v [m]
Q = (2.7 + u2 /100 + u × v/50) × 106 [N ]
Figura 1: Serbatoio elevato.
1
uv ultime due cifre del numero di matricola (matricola = 0000####uv).
Risposta di un sistema sdof ad una eccitazione a gradino con
rampa iniziale
Determinare la risposta del sistema ad un grado di libert`a rappresentato in Fig. 1, per una
eccitazione a gradino di ampiezza F0 preceduta, per 0 < t < t1 , da una rampa. Sono dati
la massa m, la costante elastica della molla k, l’ampiezza del gradino F0 , l’istante finale della
rampa t1 .
Figura 1: Sistema ad un gdl ed andamento dell’eccitazione F (t)
Traccia
Zt
F (τ ) h(t − τ ) dτ
x(t) =
h(t) =
1
sin ωn t
m ωn
0
F0
x1 (t) =
k
t
sin ωn t
−
t1
ωn t1
F0
x1 (t − t1 ) =
k
t − t1 sin ωn (t − t1 )
−
t1
ωn t1
Figura 2: Risposta del sistema sdof di Fig. 1
Sistema a due gradi di libert`a
Per il sistema vibrante di Fig. 1, in cui le masse
sono dotate del solo moto in direzione verticale,
assumendo n = 1 si trovino:
1. le frequenze naturali;
2. le forme modali;
3. le condizioni iniziali affinch´e il sistema vibri
solo nel primo modo o solo nel secondo modo.
Traccia:
!
!
r
k
3k
x1 (t) = X11 cos
t + φ1 +X12 cos
t + φ2
m
m
!
!
r
r
k
3k
x2 (t) = X11 cos
t + φ1 −X12 cos
t + φ2
m
m
r
dove le costanti X11 , X12 , φ1 e φ2 sono determinate
dalle condizioni iniziali.
Figura 1: Sistema a due gradi di libert`
a.
Figura 2: Primo (sinistra) e secondo (destra) modo del sistema di Fig. 1.
Vibrazioni torsionali di un motore marino
In Fig. ??(a) `e rappresentato lo schema di un motore marino connesso all’elica mediante un
riduttore ad ingranaggi ad uno stadio. Noti i momenti di inerzia del volano, del motore, delle
ruote dentate, dell’elica e le dimensioni degli alberi, trovare le frequenza naturali e i modi di
vibrare torsionali del sistema.
(a)
(b)
Figura 1: a)Motore marino; b)Modello.
Si trascuri l’inerzia degli alberi e si esprima il risultato utilizzando almeno cinque cifre
significative. Inoltre:
1. si esprimano le frequenze naturali in Hz;
2. indicata con θ la rotazione dell’asse motore e con ϕ la rotazione dell’asse dell’elica, esprimere i modi di vibrare nella seguente forma:
r1 =
DATI
Φ2
Θ1
1
Φ2
Θ1
2
1
Jv momento di inerzia del volano
Jm momento di inerzia del motore
J1 momento di inerzia della ruota 1
J2 momento di inerzia della ruota 2
Je momento di inerzia dell’elica
G modulo di elasticit`a tangenziale acciaio
1
r2 =
= 35000 [kg · m2 ]
= 1000 − 5 × u2 [kg · m2 ]
= 250 − u [kg · m2 ]
= 150 + 2 × u [kg · m2 ]
= 2000 + 20 × u2 [kg · m2 ]
= 8 × 1010 [N/m2 ]
u ultima cifra del numero di matricola (matricola = 0000#####u).
Modifiche strutturali
In Fig. 1 `e rappresentato un sistema a 3 gdl. Noti i valori delle masse e delle rigidezze,
calcolare:
1. le 3 pulsazioni naturali del sistema (esprimerle in rad/s);
2. le 3 forme modali (eseguire la normalizzazione in modo che la prima componente sia
unitaria).
3. introdotte nel sistema le modifiche strutturali indicate nei dati, calcolare il nuovo valore
della seconda pulsazione propria del sistema impiegando il quoziente di Rayleigh.
DATI
1
m1 = 2 × m
m2 = 3 × m
m3 = 2 × m
k1 = 4 × k
k2 = 3 × k
k3 = 5 × k
m = 1 + u/10 [kg]
k = 1 − u/10 [N/m]
Modifiche strutturali:
∆m3 = 0.4 × m
∆k2 = 0.7 × k
Figura 1: Sistema a 3 gradi di libert`
a.
1
u ultima cifra del numero di matricola (matricola = 0000#####u).
Definizione dei parametri di acquisizione
Si vogliono effettuare rilievi sperimentali di vibrazione sulla struttura rappresentata schematicamente in Fig. 1. La misura va condotta all’interno del campo di frequenze 0 ÷ f ∗ e, ai fini
dell’analisi, occorre ottenere una risoluzione spettrale massima pari a ∆f .
Determinare:
1. La frequenza di taglio del filtro passa basso anti-aliasing
2. La frequenza di campionamento minima
3. Il numero di punti da elaborare tenendo conto che si desidera utilizzare l’algoritmo FFT
(Fast Fourier Transform)
Figura 1: Misura di vibrazioni
DATI
1
f ∗ = 4000 − 200 × u [Hz]
∆f = 10 + 0.5 × u2 [Hz]
1
u ultima cifra del numero di matricola (matricola = 0000#####u).
Vibrazioni flessionali con FEM
In Fig. 1 `e rappresentata una trave incastrata ad entrambi gli estremi avente sezione quadrata
con dimensioni variabili a tratti. Note le dimensioni della trave e le caratteristiche del materiale
(modulo di Young E e densit`a ρ) trovare le prime due frequenze naturali e i rispettivi modi di
vibrare flessionali del sistema. In particolare:
1. modellare la trave con tre elementi di tipo beam;
2. esprimere le frequenze naturali in Hz;
3. normalizzare le forma modali in modo da porre la massima componente al valore unitario.
Figura 1: Trave incastrata
DATI
1
1
l1 = 0.40 − u/200 [m]
a = 0.02 [m]
l2 = 0.32 + u/100 [m]
b = 0.03 [m]
ρ = 7800 [kg/m3 ]
l3 = 0.24 + u/100 [m]
c = 0.01 [m]
E = 2.06 × 1011 [N/m2 ]
u ultima cifra del numero di matricola (matricola = 0000#####u).