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Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
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1.3 Erzwungene Schwingung - Resonanz
Experiment: Wir untersuchen die Einwirkung einer periodisch veränderlichen Kraft auf ein
schwingungsfähiges System (Federpendel).
1.3.1 Schwingungs-DGL und Lösung
Außer der rücktreibenden Federkraft -Dx und der viskosen Dämpfungskraft  bx greift an der
Masse m noch eine äußere Kraft Fa an:
z.B. durch sinusförmige Bewegung des Aufhängepunktes mit der Frequenz .
x' (t )  xˆ0 ' cos t
F  Dx' (t )  Dxˆ ' cos t  Fˆ cos t
a
0
0
x’
Achtung: Die Anregungsfrequenz  hat nichts mit 0 zu tun !
D
Bewegungsgleichung (Newton II):
mx(t )   Fang .
mx(t )   Dx  bx (t )  Fa
Dies führt zu
mx(t )  2mx (t )  Dx  Fa
x(t )  2x (t )   0 2 x(t ) 
mit  
b
D
;  02 
2m
m
Fˆ0
cos t
m
Bewegungsgleichung der erzwungenen Schwingung
Lineare, inhomogene DGL 2. Ordnung
m
oder:
mx  2mx  D( x  x' )  0
Hierin bedeutet D(x-x’)
die effektive Federkraft.
Lösung der DGL
Experiment zeigt:
Die allgemeine Schwingungsform ist eine Überlagerung der freien gedämpften Schwingung
(Frequenz 0) und einer erzwungenen Schwingung mit der Anregungsfrequenz .
Die Überlagerung dieser beiden Schwingungen ist während des Einschwingvorgangs
deutlich erkennbar.
Nach Abklingen der freien Schwingung (schnell bei großem ) bleibt nur noch die
erzwungene Schwingung mit der Frequenz  übrig.
x(t ) in hom og .  x(t ) hom .  x(t ) part .
klingt mit e t ab: x(t)hom  0 für t  
Es bleibt nur die partikuläre oder stationäre Lösung übrig.
Das Experiment zeigt weiter, dass Amplitude und Phasenlage relativ zur Anregung von der
Anregungsfrequenz  abhängen. Wir machen daher für die stationäre Lösung x(t)part = x(t)
den Ansatz:
x(t )  xˆ0 ( )e j (t  0 ( ))
x (t )  jxˆ0 e j (t  0 )
x(t )   2 xˆ0 e j (t  0 )
x
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Einschub: Einschwingvorgang
Einschwingvorgang und stationärer Zustand bei erzwungener Schwingung.
1) Beliebige Anregung.
Anregungsbedingung: x(t = 0) = x0; v(t = 0) = v0;  = 0,4 0
Nach zwei bis drei Abklingzeiten bleibt nur noch die stationäre Schwingung übrig
Einschwingvorgang
stationärer Zustand
2) Resonanzanregung
Anregungsbedingung: x(t = 0) = 0; v(t = 0) = 0; . = 0 .
Einschwingvorgang
stationärer Zustand
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Einsetzen in die DGL liefert:
[ 2  2j   0 2 ]xˆ0 ( )e j (t  0 ) 
Fˆ0 jt
e
m
Fˆ0 j 0
e
m
Die beiden komplexen Zahlen links und rechts sind identisch, wenn ihre Beträge und Phasen
gleich sind, bzw. wenn ihre Real- und Imaginärteile gleich sind.
[( 0 2   2 )  j (2 )]xˆ0 ( ) 
a) Betrag links = Betrag rechts
xˆ0 ( 0 2   2 ) 2  (2 ) 2 
xˆ0 ( ) 
Fˆ0
m
Fˆ0 / m
AMPLITUDEN-RESONANZFUNKTION
( 0 2   2 ) 2  (2 ) 2
b) Phase links = Phase rechts
2
links: tan  0 ' 
; rechts:  0   0   0 '
( 0 2   2 )
tan  0 
2
PHASEN-RESONANZFUNKTION
( 0 2   2 )
 klein

Maximum liegt links von 0
 max   0 2  2 2
 groß



 0   / 2 für    0
/2
 groß
 klein


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AMPLITUDEN-RESONANZFUNKTION
x()
Fˆ0 / m
xˆ0 ( ) 
( 0 2   2 ) 2  (2 ) 2
Eigenschaften:
   2
 Maximum bei:
 max   0 2  2 2
 
xstat

1
 :
2 0
   0 :
   0 / 2 :
0

xstat
2
x
xˆ0 ( 0 )  stat
2
xˆ0 (0 ) 
xˆ0 (
0)
2
PHASEN-RESONANZFUNKTION

()
tan  0 
2
( 0 2   2 )
/2
Eigenschaften:

0
 0   / 2 für    0
unabhängig von 

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F(t) , x(t)
Der Schwinger läuft dem Erreger
immer um 0 hinterher.
Ursache: Trägheit!
F(t)
x(t)
t
1.3.2 Diskussion der erzwungenen Schwingung



unterkritisch

Resonanzbereich
Quasistationäre
Anregung
überkritisch
hochfrequente
Anregung
Der unterkritische Bereich
 Die Kraft ändert sich sehr langsam (=quasistatisch).
 Der Schwinger kann folgen.
 keine Phasenverschiebung zwischen Anregung und Antwort  = 0
Fˆ
 BWGL: x  2x   0 2 x  0 cos t
m
ˆ
Fˆ
F
Fˆ
0  0   0 2 x  0 cos t

x(t )  0 2 cos t  0 cos t
m
D
m 0
Zeigen Sie durch Entwicklung der Resonanzfunktion, dass für kleine Frequenzen gilt:
Fˆ
2
2 2
xˆ0 ( )    0 2 [1  2 (1  2 )  ...]
0
m0
0
0
 Leistungseinkopplung: P(t) =
Der überkritische Bereich
 Die Amplitude geht immer gegen Null.
Zeigen Sie durch Diskussion der Resonanzfunktion, dass gilt: xˆ0 ( )   
0
 BWGL   2 x  0  0 
Fˆ0
cos t
m
 Phasenverschiebung  =  (180°)
 Leistungseinkopplung: P(t) =

x(t )  
Fˆ0
m 2
cos t
Fˆ0
m 2
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Der Resonanzbereich
1) Lage der Resonanzstelle
 Phasenverschiebung  = /2 (90°) bei  = 0 (unabhängig von der Dämpfung)
 Maximum der Amplitudenresonanz
max[ xˆ0 ( )]  min[( 02   2 ) 2  (2 ) 2 ]

d
[( 02   2 ) 2  (2 ) 2 ]  0  2( 02   2 )(2 )  2(2 )2  0
d
  res   02  2 2
Das Maximum der Resonanzamplitude liegt unterhalb von 0.
(Achtung: nicht identisch mit der Frequenz der frei abklingenden Schwingung d .)
2) Höhe der Resonanzkurve ( << 0)
Für den Fall geringer Dämpfung liegt das Maximum sehr nahe bei 0.
xˆ
xˆ ( 0 )  0
Resonanzüberhöhung max 

Q
Q = Güte
xˆstat
xˆ (0)
2
3) Breite der Resonanz ( << 0)
Es gilt  = 2 bei 1/ 2 von der Maximalamplitude.
Zum Beweis berechnen wir die Amplitude für (0 - ) und (0 + ).
Fˆ0 / m
xˆ0 ( 0   ) 
( 0 2  ( 0   ) 2 ) 2  (2 ( 0   )) 2
xˆ0 ( 0   ) 
xˆ0 ( 0   ) 
xˆstat   02
( 0 2   02  2 0   2 ) 2  (2 0  2 2 ) 2
xˆmax
2
0
  02
(2 0 ) 2  (2 0 ) 2

xˆmax
2
4) Güte:
Die Güte Q ist eine wichtige Kenngröße der Resonanz eines schwingungsfähigen Systems. Sie ist
definiert als Verhältnis von Energie W des Oszillators zu Energieverlust W pro Periode T0 mal 2.
W 1
Q  2
WT 0
Weiter kann man zeigen:
Die Güte ist das Verhältnis der Resonanzfrequenz res zur Breite der Resonanz  bei der Höhe
xˆ0 max / 2 (oder das Verhältnis von Resonanzamplitude ˆ 0,max zu stat. Schwingerantwort ˆ 0,statisch ).
Q
Q
0 0

 2
xˆ0,max
xˆ0,statisch
(Definition mit spektraler Breite)

0
2
(Definition mit Resonanzüberhöhung)
1 Diese Definition wird in der Elektrotechnik z.B. auch für den Kriechfall verwendet. Der Kehrwert von Q heißt dann Verlustfaktor d = 1/Q.
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Zusammenhang: Frequenzbereich / Zeitbereich
Hohe Güte
Geringe Güte
x(t)
Zeitbereich
x(t)
Freie Schwingung
X()
X()
Frequenzbereich
Resonanzkurve
Charakteristischer Parameter im Zeitbereich: Abklingzeit t = 
Charakteristischer Parameter im Frequenzbereich: Breite der Resonanz  = 2
Produkt:   t  2 
1

  t  const
2
Unschärferelation2
Konsequenz: Dämpfungskonstante bestimmbar aus
 Breite der Resonanz
 Abklingdauer der freien Schwingung
 Energiedissipation (später)
 Fourier-Transformation der Impulsantwort ( Praktikumsversuch)
2
Zwischen der Breite der Resonanzkurve  und der Breite der Zeitfunktion t =  = 1/ gilt die
wichtige Beziehung:  = 2.
Dies ist die Unschärfebeziehung zwischen Frequenz (Resonanzbreite) und Lebensdauer eines linearen
Schwingers. Die Unschärfebeziehung spielt in der Physik eine bedeutende Rolle. In der Quantenmechanik heißt diese Beziehung Heisenbergsche Unschärferelation und ist dort von großer Bedeutung.
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1.3.3 Beispiele für Resonanz in der Technik
Alle Körper besitzen Masse und Elastizität. Sie sind deshalb schwingungsfähig und können
bei erzwungener Anregung Resonanzverhalten zeigen.
Beispiel: Unwucht bei drehenden Maschinen, schwingungsisolierendes Fundament
Aufgrund einer Unwucht entsteht eine periodische Kraft (Zentrifugalkraft), die Schwingungen
der Maschine anregt. Das Fundament soll nun so beschaffen sein, dass die Schwingungen der
Maschine nicht auf den Boden der Halle übertragen werden.
Wir berechnen die periodische
Krafteinwirkung, die die
F = F0cost
schwingende Maschine auf den
(F = mU2rcost)
Boden ausübt (statische Kräfte
sind weit weniger gefährlich und
interessieren deshalb nicht).
Maschine (m)
Zunächst antwortet die Maschine
x = x0cos(t-)
auf die harmonische Krafteinwirkung mit der bekannten
FBoden
Resonanzschwingung.
x(t )  xˆ0 ( )e j (t  ) mit
Fˆ0 / m
xˆ0 
( 0   )  (2 )
2
2 2
FBoden
2
Feder und Dämpfer üben aber
ihrerseits wegen der Bewegung der
Masse auch eine Kraft auf den
Boden aus.
FBoden  FFeder  FDämpfer ( mg )
schlechte Isolation
gute Isolation
F0
FBoden  Dx  bx
FBoden  ( Dxˆ0  jbxˆ0 )e j (t  )
FBoden  FˆBodene j (t  )
D
b
;

m
2m
ergibt sich für die
Amplitude der Bodenkraft
mit
 02 
Erreger
Eine isolierende Wirkung ergibt sich erst bei hohen
Frequenzen  > 2 0.
Bemerkenswert ist, dass die Isolation dann bei geringer
Dämpfung besser ist.
Schwingungsisolation und Schwingungsdämpfung
sind physikalisch also verschiedene Prozesse.
FˆBoden ( )  Re 2 ( FBoden )  Im 2 ( FBoden ) 
Fˆ0  04  (2 ) 2
( 02   2 ) 2  (2 ) 2
Aufgabe: Erklären Sie die isolierende Wirkung bei geringer Dämpfung und hohen Frequenzen.
Betrachten Sie dazu die Krafteinleitung von Feder und Dämpfer bei verschiedenen
Frequenzen getrennt.
( klein FDämpfer klein: - Kraft nur von Federwirkung - Feder wirkt wie Tiefpass)
- Dämpfer spielt keine Rolle
( groß FDämpfer groß: - Kraft nur vom verhärteten Dämpfer - Dämpfer wirkt wie Hochpass)
- Feder spielt keine Rolle
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Detailkurven: Resonanz der Bodenkraft
1) Bodenkraft aufgrund einer periodischen Krafteinwirkung mit konstanter Amplitude
F  Fˆ e jt
0
FˆBoden ( ) 
Fˆ0  04  (2 ) 2
( 02   2 ) 2  (2 ) 2
FBoden
5
1  0,1 0
1
2
 2  0,2 0
3
1
 3  0,4 0
O
1
/0
2) Bodenkraft aufgrund einer Unwucht am Umfang der drehenden Maschine
Unwuchtmasse m’; Radius r
F  m ' r  2 e j t
Skalierung: Fˆ  m' r 2
0
m' r 2 04  (2 ) 2
ˆ
FBoden ( ) 
(02   2 ) 2  (2 ) 2
FBoden
5
1
O
1
/0
0
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Beispiel: Fußpunktanregung bei Fahrzeugen
Fahrbahnunebenheiten erzeugen eine (periodische) Bewegung der Radaufhängung.
Diese Bewegung verursacht eine Krafteinkopplung über die Federung und den Stoßdämpfer
auf das Fahrzeug. (Auf ähnliche Weise wirken Motorschwingungen auf ein Fahrzeug)
Kraft auf das Fahrzeug der Masse m
(Fußpunktanregung))
x = x0cos(t-)
Fang  Dx'bx '
Fahrzeug (m)
Fang  ( D  jb ) xˆ '0 e
j t
x’ = x’0cost
Bewegungsgleichung
mx  2mx  Dx  ( D  jb ) xˆ '0 e jt
Lösungsansatz (stationär):
x(t )  xˆ0 ( )e j (t  )
periodische Fahrbahnunebenheiten
Aufgabe: Bestimmen Sie die Amplitude xˆ0 der Fahrzeugschwingung x(t).
Beispiel: Biegeschwingungen von Wellen (z.B. Turbinen beim Hochfahren)
Fällt die Frequenz der Biegeschwingung
mit der Winkelgeschwindigkeit der
Welle (Betriebsfrequenz) zusammen.
 Resonanz!
Unerwünschte Resonanz
Maßnahmen gegen Resonanzkatastrophe
- periodische Anregung vermeiden
- Einbau von Dämpfungselementen (aufwendig)
- Eigenfrequenz und Betriebsfrequenz sehr unterschiedlich
- schnelles Durchfahren von Resonanzbereichen
Erwünschte Resonanz
- Verstärken von Schwingungen in Resonatoren, z.B. Resonanzkreise in Rundfunk und TV Geräten.
- Aussieben von Frequenzen in Resonanzkreisen (LC)
- Resonatoren in der Akustik, z.B. pyramidenförmige Hohlraumresonatoren in Konzertsälen
(Die Römer hatten Tonröhren, um bestimmte Töne hervorzuheben).
- Atomphysik: Lichtabsorption an Resonanzübergängen
(klass. Modell der Resonanzabsorption)