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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NUCLEO- GUANARE
GUIA 2 (Derivada de una Función Real)
Interpretación Geométrica de la Derivada
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente
incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
DEFINICIÓN DE DERIVADA: La derivada de la función
NOTA:
f (x )
se define mediante el límite:
f ' ( x)
lim
h
0
f ( x h)
h
f ( x)
cambien la h por ∆X es decir h=∆X
EJERCICIOS RESUELTOS
Determinar la pendiente de una recta tangente a la curva de
Calcular derivada de
1
en x = 2.
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en x = 1.
Calcular derivada de
en x = 2.
I. Derivada de una constante
f ( x)
K
K
F´(x)
0
La derivada de una constante es cero.
EJERCICIOS RESUELTOS
1)
Sol:
3)
Sol:
2)
Sol:
4)
6)
5)
II. Derivada de una función potencial: Forma simple
f ´( x) r. x r 1
f ( x) x r
r
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la variable elevado a
una unidad menos.
EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS
1)
Sol:
4)
Sol:
7)
Sol:
2
2)
3)
5)
6)
8)
9)
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9)
10)
11)
13)
14)
Sol:
12)
Sol:
III.
Derivada de una función logarítmica: Forma compuesta simple
LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN DE x es igual a la derivada de la
función de x dividida entre dicha función
y
ln u x
y´
u´
u
EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS
2)
3)
1)
Sol:
4)
5)
Sol:
7)
Sol:
9)
8)
10)
f ( w) ln 1 w 2
11)
6)
Sol:
14)
15)
12)
13 ) f (u )
3
ln
1
1
u
u
16)
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Sol:
IV. Derivada de una función exponencial con base e: Forma compuesta
y eu x
y u´ e u x
LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual al número “e”
elevado a dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha función
EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS
1)
Sol:
2)
3)
4)
5)
Sol:
6)
7) f ( x)
ex
2
6
8) f (t )
V. Derivada de una función exponencial con base distinta del número e
f ( x)
ax
f ´( x)
a x ln a
EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS
1)
Sol:
2)
3)
4)
VI. Derivada de una función potencial:
y
u x
r
r
y´ u´ u x
r 1
EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS
f ( x)
x2 1
Solución :
4
7
f ´( x)
F(x)= (X + 3)2
7( x 2 1) 6 .2 x 14 x x 2 1
F(x)= (x3 + 2x)5
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e3
5t
f ( x)
f ( x)
x
Solución : f x
1/ 3
x2 1
4
1/ 8
x
; f ´( x)
1
x
8
Solución :
7/8
f ( x)
3
ex
f ´( x)
1 2
( x 1) 3 .2 x
3
2
x x2 1
3
1/2
F(x)=x(6
ln(
) + 4x)
f (x) = x3 + 1
f (u) =
1
( u + 1)2
VII.
DERIVADA DE SUMA
LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las derivadas de las funciones
y
f ( x) g ( x )
y´ f ´( x)
g´( x)
EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS
1)
2)
Sol
3)
4)
5)
f ( x)
x
ln( x)
VIII.
DERIVADA DE UN PRODUCTO
6)
f ( x)
ex
x 2
LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función
por la segunda función mas la primera función por la derivada de la segunda función.
y f ( x) g ( x)
y´ f ´( x).g ( x) f ( x).g´( x)
EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS
1)
2)
Solución:
3)
4)
5) f (t) = et × t 5 + 2
6)
y
ex
5
9)
f ( x)
10)
f (w)
x
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x2 e
x2
2w 2 6 w
4
3
7)
f ( x)
x 2 ln( x)
8)
f ( x)
x2 2x
11)
t2
f (t )
1 ln 2t 1
IX. DERIVADA DE UN COCIENTE
LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la función del
numerador por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la
función del denominador, dividido todo ello por el denominador al cuadrado.
g ( x). f ´( x) f ( x). g´( x)
f ( x)
y´
y
g ( x)
g 2 ( x)
EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS
1)
Solución:
3)
2)
4) f (u )
e 2u
u
5) f ( x)
x4
ex
6) f ( x )
ex
ln( x)
7) f (z) =
1
1
- 2
2z 3z
8) f ( x)
ln( x)
x
9) f (u )
ln
1 u
1 u
“El éxito de la vida no está en vencer siempre, sino en no desanimarse nunca.”
Licdo. REIMY PALENCIA
6
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