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Departamento de Matemáticas
I.E.S. “Juan García Valdemora”
2o EXAMEN. 2ª EVALUACIÓN.
Matemáticas II. 2º Bachillerato.
Apellidos: ………………………….……. Nombre: ………..……………
!"#
%& #
!"# ( %& #
1.- (1 punto) Sea
de A? Calcula dicha matriz inversa
$%& #
!"#
!"# $ %& #
Fecha: …..………..
0
0* ¿Para qué valores de x existe la matriz inversa
1
SOLUCIÓN:
| |
+,-. / |,| 1 2
!"#
%& #
!"# ( %& #
3
Como | |
Además:
=>? @
$%& #
!"#
!"# $ %& #
0
03
1
!"4 # ( %& 4 #
1 1 0 5 +,-. 67 8 9
:
<
|;|
-:
!"#
%& #
0
Solución:
=>? @A
$%& #
!"#
0
+,-. 67 8 9
,
$.
DEF7
C$GHD7
$.
B
$1
$1* 5
1
GHD7
DEF7
$.
2.- (1 punto) Halla el rango de la matriz
-:
1
3
5
$4
$2
$1
$5
3
:
!"#
%& #
0
$%& #
!"#
0
$1 B
$1*
1
!"#
$%& #
$1
0
J 1
2
$1
1
$1 3
2
5 P VWWWWX J0
0 11 -4QR SQT 0
$1 $8 QR SQU
0
1
3
3
$3
3
1
5
$4
$2
$1
$1
1
$1
$2
$5
3
Z[?,@
\
0
0*
1
2 5
$1 3 P
0 11
$1 $8
$1 3
1
2 5P VWWWX J0
2 5 -QY SQT 0
1 $5 QY SQU 0
Como en la matriz escalonada hay dos filas no nulas, el rango de la matriz es 2.
Solución:
%& #
!"#
$1
2
2I
.
SOLUCIÓN:
Cambiamos las dos primeras filas de orden
1
J 0
2
$1
:
1
1
3
0
0
$2 $1
$1 2
0
0
0
0
3
5P
0
0
Departamento de Matemáticas
I.E.S. “Juan García Valdemora”
3.- (1,5 puntos) Calcula:
a) El dominio de la función ]?#@
b) lim_`4
:
-:S√_S:
_ Y Sa_-:b
_ T -_ Y -c_S:4
c) La función derivada de la función ]?#@
# def_
ij# k l: # ( 1 n 0; $1 ( √# ( 1 1 0pj
SOLUCIÓN:
a) g&h<]?#@A
∗ # ( 1 n 0 / # n $1
∗ $1 ( √# ( 1 1 0
$1 ( √# ( 1
0 / √# ( 1
b) lim_`4 _ T -_ Y -c_S:4
_ Y Sa_-:b
1 / #(1
vwgxyxz{vw |vÓw
b
b
qj$., ∞@j $ t2u
1 / #
0
Factorizamos el numerador y denominador de la fracción algebraica y simplificamos:
∗
# 4 ( 3# $ 10
0 5 #
-a~√•S€b
-a~√€•
4
4
-a~•
4
2
-aS•
j
$5
4
‚-a-•
4
A veces nos equivocamos en resolver una ecuación de segundo grado, por eso es muy importante
comprobar que no nos hemos equivocado. Para ello utilizamos Cardano-Vieta:
7. ( 7\
7. · 7\
2$5
$3
2 · ?$5@
$10
-ƒ
„
G
„
Como podemos comprobar, se cumplen las dos relaciones y por lo tanto la solución está bien.
∗
?# $ 2@?# ( 5@
# 4 ( 3# $ 10
# a $ # 4 $ 8# ( 12
2
1
1
$1
2
1
# a $ # 4 $ 8# ( 12
# 4 ( 3# $ 10
lim
_`4 # a $ # 4 $ 8# ( 12
$8
2
$6
12
$ 12
0
?# $ 2@4 ?# ( 3@
?# $ 2@?# ( 5@
_`4 ?# $ 2@4 ?# ( 3@
lim
Tenemos que calcular los límites laterales:
limˆ ?_-4@?_Sa@
?_S‰@
‚_`4
?_S‰@
limŠ ?_-4@?_Sa@
_`4
•
bˆ
•
bŠ
#4 ( # $ 6
$∞
j
(∞
5
?# $ 2@?# ( 3@
?# ( 5@
_`4 ?# $ 2@?# ( 3@
lim
7
0
‹ Œ•Ž7`\ 7• -7\ -•7S.\ pues los límites laterales son distintos.
7\ S•7-.2
Departamento de Matemáticas
c) Tenemos que calcular la derivada de la función: ]?#@
∗
Tomamos logaritmos
∗
∗
∗
‘"]?#@
‘"# def_
# def_
I.E.S. “Juan García Valdemora”
Aplicando las propiedades de logaritmos tenemos:
‘"]?#@
Derivamos:
]’?#@
]?#@
!"# · ‘"#
%& # · ‘"# ( !"# ·
1
#
Despejamos ]’?#@ y sustituyendo el valor de ]?#@ tenemos la derivada que queríamos:
DEF7
“’?7@ “?7@ ”GHD7 · •F7 (
–
7
Solución:
a)
—H˜ ”-.S√7S.–
.
qj$., ∞@j $ t2u
b) ‹ Œ•Ž7`\ 7•-7\-•7S.\
c) “’?7@
7\ S•7-.2
“?7@ ”GHD7 · •F7 (
DEF7
–
7
4.- (1,25 puntos) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función ]?#@
#
œ
š2?$#@ ( 2# $ 4
#4
›
š
™2?$#@ ( 2# $ 4
4
SOLUCIÓN:
]?#@
“?7@
#
2|#| ( 2# $ 4
4
\
œ $7
š
Ÿ
\
› 7
šŸ?7 $ .@
™
D
D
7ž0
7n2
• #ž0
• #n0
j
#4
$4
4
› #
™4# $ 4
œ
_Y
4|_|S4_-€
• #ž0
• #n0
j
Dominio.
#4
g&h C$ I l
4
j
7\
g&h C
I t# k l: # $ 1 1 0u
Ÿ?7 $ .@
£
š
¢
l $ t1uš
¡
5 —H˜<“?7@A
¤ $ t.u
j
Departamento de Matemáticas
I.E.S. “Juan García Valdemora”
Continuidad.
∗ Si 7 1 2, 7 1 ., f es continua
∗ Si #
0
limˆ ]?#@
_`b
j
limˆ ”$
_`b
lim ]?#@
_`bŠ
∗ Si #
lim ”
–
€
_Y
0
–
_`bŠ €?_-:@
0
¥ 5 f es continua en 7
1, f no es continua porque #
limˆ]?#@
_`:
j
_Y
limˆ ”€?_-:@–
_Y
_`:
limŠ ]?#@
_`:
bˆ
:
_Y
_`:
$∞
¥ 5
∞
:
limŠ ”€?_-:@–
1 ¦ g&h<]?#@A
bŠ
2
Discontinuidad asintótica en 7
.
Derivabilidad.
∗ Si 7 1 2, 7 1 ., f es derivable y su derivada es:
œ
]’?#@
$
#4
4
4
› #
™4?# $ 1@
”$ –
∗ Si #
• #ž0
0
”
_Y
€
• # § 0,
¨
_Y
–
€?_-:@
$ 2#
€
¨
lim ] ¨ ?#@
_`bˆ
] ¨ ?0S @
lim ] ¨ ?#@
_`bŠ
#11
$
:
_
4
: 4_?_-:@-_ Y
?_-:@Y
€
Como f es continua en #
] ¨ ?0- @
j
0
_ Y -4_
€?_-:@Y
0, tenemos:
0
Como las derivadas laterales son iguales, existe la derivada de f en #
∗ Si #
1
Como f no es continua en #
Solución:
1, f no es derivable en 7
Si 7 1 2, f es continua y derivable. “’?7@
Discontinuidad asintótica en 7
‚
$
7\
Ÿ
7\
Ÿ?7-.@
. y no es derivable
.
D
D
7ž0
0 y es Ҭ ?2@
7 § 0, # 1 1
j
2
Departamento de Matemáticas
5.- (2 puntos) Halla el valor de k para que la función ]?#@
I.E.S. “Juan García Valdemora”
tenga un extremo relativo en #
_ Y S©
ªf_
√!
Para ese valor hallado:
a) Estudia el dominio de la función.
b) Determina las asíntotas de la función.
c) Halla los puntos de inflexión.
SOLUCIÓN:
Si f tiene un extremo relativo en # √! 5 “¨ <√EA
Calculamos la derivada de f:
1 2# 4 ‘"# $ ?# 4 ( «@
2#‘"# $ ?# 4 ( «@ · #
#
] ¨ ?#@
?‘"#@4
?‘"#@4
] ¨ <√!A
“?7@
4
4
0 / 2√! ‘"√! $ ”√! ( «–
7
•F7
\
7\
‘"#
0 / #
∗
En #
0 por la derecha
En #
1
lim_`bŠ ªf_
_Y
limˆ ªf_
_`:
j
limŠ
_Y
_Y
_`: ªf_
0.
b
-®
bŠ
Asíntotas horizontales:
lim_`® ªf_
_Y
”® vwg–
Asíntotas oblicuas:
-
h
h# ( "
]?#@
_`® #
lim
®
No hay asíntota.
lim_`®
L’Hôpital
#4
:#
_`® ‘"#
lim
No hay asíntotas oblicuas.
0 / ¬
?2, ∞@ $ t.u
$∞
¥ 5 Asíntota vertical 7
∞
:
bˆ
:
0 / !$!$«
:
1
b) Asíntotas verticales:
∗
0 / 2! 4 $ ! $ «
tj# k l: # § 0 - ‘"# 1 0uj
a) —H˜ ”•F7 –
2
4_
R
¯
lim_`® 2# 4
#4
_`® #‘"#
lim
.
#
_`® ‘"#
lim
∞ . No hay asíntotas horizontales.
L’Hôpital
”
∞
vwg–
∞
1
_`® 1
#
lim
lim #
_`®
0
Nota: Debido al dominio de la función no hay que estudiar las asíntotas horizontales y oblicuas
por la izquierda (en $∞).
2
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I.E.S. “Juan García Valdemora”
c) Puntos de inflexión.
Si f tiene un punto de inflexión en # ³ 5 “¨ ’?„@ 2
Veamos por lo tanto los valores donde la segunda derivada es cero.
#4
]?#@
‘"#
1
2#‘"# $ # 4 · # 2#‘"# $ #
¨ ?#@
]
?‘"#@4
?‘"#@4
] ¨¨ ?#@
]
¨¨ ?#@
] ¨¨ ?#@
] ¨¨ ?#@
”2‘"# ( 2# ·
1
1
$ 1– ?‘"#@4 $ ?2#‘"# $ #@ · 2‘"# ·
#
#
?‘"#@€
q?2‘"# ( 2 $ 1@‘"# $ ?4‘"# $ 2@´‘"#
?‘"#@€
?2‘"# ( 2 $ 1@‘"# $ ?4‘"# $ 2@
?‘"#@a
2?‘"#@4 $ 3‘"# ( 2
?‘"#@a
0 / 2?‘"#@4 $ 3‘"# ( 2
2?‘"#@4 ( ‘"# $ 4‘"# ( 2
?‘"#@a
0
Es una ecuación de segundo grado con incógnita ‘"#, como tiene discriminante negativo,∆ž 0, no
tiene solución.
Por lo tanto:
] ¨¨ ?#@ 1 0 6 # k g&h<]?x@A 5 f no tiene puntos de inflexión
Solución:
¬
2
a) —H˜ ”•F7 –
7\
?2, ∞@ $ t.u
b) Asíntota vertical 7
.
c) f no tiene puntos de inflexión
Departamento de Matemáticas
6.- (1 punto) Calcula el área limitada por la curva ]?#@
#
!
I.E.S. “Juan García Valdemora”
‘"# , el eje de abscisas y las rectas #
:
e
SOLUCIÓN:
Á¸!³
1( 2
Como ] ž 0 !" ”e , 1– 5
1
:
Como ] § 0 !" ?1, !@ 5
¹ •F7 »7
¼
=½
ÁZE„
:
‘"#
$ ¹:º ‘"# =#
:
2
#‘"# $ ¹ # =#
:
_
=¼
=#
¹ =½
e
$ ¾ ‘"# =# ( ¾ ‘"# =#
:º
e
:
e
e
¹: ‘"#
:
_
=#
#‘"# $ ¹ =#
=#
¹ =#
5
½
7•F7 $ 7 ( |
#
$q#‘"# $ #´::º ( q#‘"# $ #´:e
e
$ ¿?1‘"1 $ 1@ $ ”e ‘" e $ e–À ( q?!‘"! $ !@ $ ?1‘"1 $ 1@´
:
:
:
$ ¿?$1@ $ ”$ e $ e–À ( q?! $ !@ $ ?$1@´
:
Por lo tanto:
:
El área pedida es de 2 $ e ¼4
4
Solución:
ÁZE„
\$
\ \
Á
E
$ ¿$1 ( eÀ ( q(1´
4
1$e(1
4
\$E
\
y
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I.E.S. “Juan García Valdemora”
7.- (0,5 puntos) a) Si f es una función continua, obtén Â’?#@ siendo Â?#@
(0,75 puntos) b) Si ]?1@
1 y además ¹b ]?Ã@ =Ã
SOLUCIÓN:
a) Teorema: Si ]?#@ es una función continua y Â?#@
En nuestro caso:
Â?#@
¹b ?]?Ã@ ( Ã 4 ( Ã a @ =Ã
_
5 Ũ ?7@
_
1 , halla la ecuación de la recta tangente a la
:
gráfica de Â?#@ en el punto <1, Â?1@A.
¹b ?]?Ã@ ( Ã 4 ( Ã a @ =Ã
¹Ä <]?Ã@A =à 5 Â’?#@
_
“?7@ ( 7\ ( 7•
]?#@
b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de Â?#@ en el punto <1, Â?1@A es:
Â’?1@ · ?# $ 1@
- $ Â?1@
Tenemos que calcular Â?1@ y Â’?1@.
∗ Â?1@
¹b ?]?Ã@ ( Ã 4 ( Ã a @ =Ã
∗ Â ¨ ?1@
]?1@ ( 14 ( 1a
:
]?1@
1
¹b ]?Ã@ =Ã ( ¹b ?Ã 4 ( Ã a @ =Ã
:
1(1(1
3
:
¹b ]?Ã@ =Ã
:
∗ Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente tenemos:
- $ Â?1@
- $ :4
-
-
:•
Â’?1@ · ?# $ 1@
3 · ?# $ 1@
3# $ 3 ( :4
3# $ :4
:•
:•
•Æ7 $ .\Ç $ .È
Solución:
a) Ũ ?7@
2
“?7@ ( 7\ ( 7•
b) •Æ7 $ .\Ç $ .È
2
1
1 ( ¿ ( À :b
BT
a
BU
€
1( (
:
a
:
€
:•
:4