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Prof., Enrique Mateus Nieves
PhD in Advanced Mathematics.
Antiderivadas
En el proceso de derivación, dada una función y  F  x  , el operador
dy
me indica que se va a
dx
calcular una función f  x  que es la derivada de la función F  x  . Siendo así F conocida, la
función f  x  es equivalente a
dF

dx
dy
 F  x   f  x  .
dx
Ahora supongamos que conocemos f  x  que es la derivada de alguna función y  F  x  que no
conocemos. Determinar esa función F  x  es conocido como buscar una primitiva de la función
f x .
En términos generales: Antiderivar es buscar una función F  x  tal que F   x   f  x  ,
para ello usamos el símbolo que va a juagar el papel de operador y que reemplaza la frase “vamos
a buscar una antiderivada de….” De la siguiente manera:  f  x  dx que leeremos. “la integral
indefinida de la función efe de equis de equis”
Si F   x   f  x , al ser C una constante, como ( F  x   C )   f  x    f  x  dx  F  x   C va a
ser la antiderivada más general.
De la misma forma  f  x  dx ,  f  t  dt,  f  u  du
darán funciones F  x ,
F  t ,
F u 
respectivamente, de ahí que  f se pueda escribir conociendo respecto de qué variable se va a
antiderivar. Existen unas antiderivadas que son de carácter inmediato, son ellas:
a
dx 
x
a1
 C , con C  -1
1.

3.
 sen
x dx   cos x  C
5.
 sec
2
7.
 sec
x tan x dx  sec x  C
9.
11 .
x
x dx  tan x  C
1

dx  sen
1- x

x
2
-1
dx  sec
1
1

1
dx 
x
x
1
dx  ln x
4.
 cos
x dx  sen x  C
6.
 csc
2
8.
 csc
x cotan
x C
10 .
 1 x 2
x  C
12 .
a
2
1
x
a 1
2.
1
x
 C
x dx   Co tan x  C
x dx   csc
dx  tan
dx 
x
a
ln a
1
C
x C
x  C
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Tabla 1. Antiderivadas inmediatas
Propiedades:

f  x   k f  x  

k

 f  x   g  x 

 k f  x  dx
 f  x   g  x  
 f  x  dx y
 k
  f  x   g  x   dx

 f  x  dx

 g  x  dx
Ejemplos
1.  2x
2. 
1

2
2
 x  1 dx 
x
3

3

3x
1
e
x
1
2
x
 x  C
2
 2 cos x dx 
4
1
ln x 
3
1
e
x
 2 sen x  C
4
Usando como ejemplo la Tabla 1 (antiderivadas inmediatas), hay algunas funciones compuestas
cuya integral se vuelve inmediata observando que la derivada interna es constante. Un ejemplo
es:
1.  cos  2x  dx

1
 2x  
sen
C veamos ¿por qué? La derivada interna de sen
 2x  es
2 y este
2
número estaría afectando la función cuando, por la definición de antiderivada, me devuelvo
derivando sen  2x  para comprobar que esta derivada sea el
 1
 sen
 2
2. 
3. 
1
x 1
6. 

1


2 cos
 2x  
cos
 2x 
2
dx  ln x  1  C
1
3x  1
4.  e 4x dx
5. 

 2x  
integrando. De ahí que,
1
dx 
ln 3x  1  C
3
1

4x
 C
4
1
1  3x
e
dx 
2
4x  7 dx 
1

1-
2
3

1
4 x

3x
 7

dx 
2
2
3
1
sen
-1


3 x  C
3
 C
4
Luego aprenderemos un método de integración que permite hacer estas integrales, vale la pena
identificar que son formas inmediatas dividendo por la derivada interna.
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Teorema fundamental del cálculo. (TFC)
Parte I.
Sea f  x  una función real, continua en un intervalo cerrado  a , b  definiendo
x
G x  
 f t  G  x  
f x  .
Se ilustra a continuación cuando f es una función continua en
a
 a , b  el significado de
Ax 
y de A  x  h  con h  0
xh
Ax  h   Ax  

Ax  h   Ax 
f  t  dt 
1

h
x
xh
 f  t  dt
h

1

x
h
f  c   Teorema del valor medio
h
Ax  h   Ax 
c   x, x  h 
 f  c ,
h
f  x   f  c   f  x  h   lim
h 0
De donde el lim
h 0
Ax  h   Ax 


f c   f  x 
 A   x   f  x  , como se acaba de establecer que A  x  es una
h
antiderivada de f  x 
x
La demostración seria la misma utilizando G  x  
 f  t  dt
sin asociar la función G  x  con el área
a
entre a y x que fue lo que denominamos como A  x  . También sería igual si se toma h  0 , caso en el
que el cociente seria
Ax  - Ax  h 
 
Ax  h   Ax 
h
y la desigualdad queda
h
f  x  h   f  c   f  x  y se toma lim
h 0

f c   f  x 
Ejemplos:
1.
d
dx
x

1
1 t
3
dt 
1 x
3
2.
d
dx
t

2
e
-x
2
dx  e
t
 1 


2 t 
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Como consecuencia del teorema fundamental y de la derivación de funciones compuestas (en cadena),
ahora para la segunda parte del TFC tenemos que, si F  x  es también una antiderivada de f  x 
G  x   F  x   K (Dos antiderivadas que difieren en una constante)
G b   F b   K y G  a   F  a   K 
G  b   F  b   G  a   F  a   0 (Restando las dos ecuaciones)
G  b   G  a   F  b   F  a  De ahí que:
b

a
f  x  dx 
a

a
f  x  dx  F  b   F  a  (Como
a
 f  x  dx
 0 ) entonces,
a
b
 f x 
dx  F  b   F  a 
a
Teorema Fundamental del cálculo (parte II)
Sea f continua en el intervalo cerrado  a , b  y F una antiderivada de f en  a , b  , la
b
 f x 
dx  F  b   F  a 
a
Ejemplos resueltos
¿Qué se derivó para que la derivada sea f   x   4 ?
Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la función que se derivó puede ser:
F 1  x   4 x . Pero también las funciones
F2 x   4 x  3
o también
F3 x   4 x  2 ,
o F4 x   4 x  8
hay tantas opciones como
números reales existen. Podemos generalizar esto escribiendo F  x   4 x  C
Es decir que la función cuya derivada es 4 es una familia de funciones en este caso lineales cuyos
miembros todos tienen pendiente m   4 pero diferentes intersecciones con el eje y como
vemos en la gráfica 1 para los diferentes valores de la constante C. C =0 C=5 C=-2 C=12 C=15
C=8
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Calcular las siguientes antiderivadas
1.
6.
5
x
1

x
9
dx 
x
2.
dx 
7.
-7
1

2
x
dx 
3.
dx 
8.
3
x
 - 7x
2
5
dx 
dx 
x
4.
9.
17
5
8
7
3
dx 
5.
x dx 

6
x
- 12
dx 
10 .
5
 2x
dx 
Respuestas:
1.
1
x
6
 C
6
2.
-
1
x
6
 C
3.
6
2
5
x
2
 C
4.
-
3
4
x
3
 C
4
5
7.
-
17
 15
x
17
 C
10
10 .
15
11
x
5
 C
11
Bibliografía.

Hazewinkel,
Michiel,
ed.
(2001),
«Indefinite
integral» (en
inglés), Encyclopaedia
of
Mathematics,
Springer, ISBN 978-1556080104

Weisstein, Eric W. «Indefinite Integral». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.