Chap 11. Lois continues
Terminale S
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
Mathématicien, astronome et physicien allemand. Surnommé « le prince des mathématiciens », il est considéré comme l'un des plus
grands mathématiciens de tous les temps.
Son nom reste associé aujourd'hui à la célèbre courbe en cloche représentant la densité de probabilité d'une variable aléatoire
normale réduite.
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Problème
Vous devez deviner le nombre qu’Anna a choisi au hasard dans
l’intervalle 0; 1 .
Quelle est la probabilité que vous deviniez le nombre si l’on
suppose qu’Anna a choisi un nombre dont l’écriture décimale a
après la virgule :
a) au plus 2 chiffres
b) au plus 3 chiffres
c) au plus chiffres ∈ ℕ∗ $
Conjecturer la probabilité que vous deviniez le nombre si l’on
suppose qu’Anna a choisi un nombre quelconque dans
l’intervalle 0; 1 .
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I. Loi à densité sur un intervalle
On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω
muni d’une loi de probabilité.
Définition.
Une variable aléatoire continue 0 est une fonction qui à chaque
issue de Ω associe un nombre réel d’un intervalle 3 de ℝ.
Exemples :
La durée de vie d’un composant électronique, la taille d’une allumette prise au hasard, un temps d’attente …
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Définition.
Soit 0 une variable aléatoire continue à valeurs dans 3 et ; une
fonction continue, positive sur I telle que :
@
E
= ; >$?> = 1 si 3 = C; D ou lim = ; >$?> = 1 si 3 = C; +∞
A
E→GH A
K est la loi de probabilité de densité L de M lorsque ∀O ⊂ 3, la
probabilité de l’événement
Q0 ∈ OR est l’aire du doW X ≤ M ≤ Y$
maine :
QS T, U$; T ∈ O et 0 ≤ U ≤ ; T $R
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Conséquences :
Y
• W M ∈ X, Y $ = W X ≤ M ≤ Y$ = \X L ]$Y]
• ∀^ ∈ 3, K 0 = ^$ = 0 car
_
\_ ;
>$?>
• Pour tous ^ ∈ 3 et ? ∈ 3
W X ≤ M ≤ Y$ = W X ≤ M < ?$ = W X < 0 ≤ ?$ = W X < 0 < ?$
• si 3 = C; +∞ et ^ > C :
X
W M > ^$ = b − W d < 0 < ^$ = b − = L ]$Y]
d
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II. Loi uniforme sur d, f
Définition et propriété
Soit C et D deux réels tels que C < D
Une variable aléatoire 0 suit la loi uniforme sur l’intervalle d, f
lorsque sa densité de probabilité est la fonction constante égale
g
à
sur C, D .
@hA
Démonstration :
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Propriété :
Soit 0 une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
l’intervalle C, D , on note ; sa densité
0 admet une espérance
f
d+f
j M$ = = ] × L ]$Y] =
l
d
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Exemple :
Thomas a dit qu’il passerait voir Anita à un moment quelconque
entre 18h30 et 21h00. Quelle est la probabilité qu’il arrive pendant son feuilleton préféré qui dure de 19h à 19h30 ?
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III. Loi exponentielle
Définition :
Soit s > 0 un réel
Une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre t
sur 0; +∞ lorsque sa densité de probabilité est la fonction
∀u ∈ v; +∞ , L u$ = t whtu .
Propriété de durée de vie sans vieillissement :
Soit x une variable aléatoire suivant une loi exponentielle,
pour tous réels > et ℎ positifs, Wz{] z ≥ ] + }$ = W z ≥ }$.
Démonstration ROC$ :
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Interprétation :
La probabilité que le phénomène dure au moins > + ℎ heures sachant qu'il a déjà duré > heures sera la même que la probabilité
de durer ℎ heures à partir de sa mise en fonction initiale.
En d'autres termes, le fait que le phénomène ait duré pendant ]
heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps ].
Par exemple, sachant qu’un système a atteint > = 50 années, la probabilité qu’il dépasse > + ℎ = 80 ans est égale à la probabilité
d’atteindre ℎ = 30 ans$.
Cette loi permet de modéliser la décroissance radioactive ou le temps
écoulé entre deux coups de téléphone reçus, ou le temps écoulé entre
deux accidents de voiture dans lequel un individu donné est impliqué …
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Propriété :
Soit x une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre s sur 0; +∞ , on note ; sa densité
x admet une espérance
u
b
j z$ = ƒ„… = ] × L ]$Y] =
u→GH v
t
Démonstration ROC$ :
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Exemple :
La durée de vie, en heures, d’un composant électronique est modélisée par la loi exponentielle de moyenne 20.
Quelle est la probabilité que l’un des composants pris au hasard,
soit encore en état de marche au bout de 50 h ?
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IV. Loi normale centrée réduite † v; b$
Théorème de MoivreMoivre-Laplace admis$ :
Pour tout entier naturel , 0ˆ est une variable aléatoire qui suit
une loi binomiale ℬ ; Š$.
Œ• hˆŽ
La variable centrée réduite ‹ˆ =
vérifie pour tous réels
C et D :
•ˆŽ ghŽ$
@
lim K ‹ˆ ∈ C, D $ = =
ˆ→GH
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A
1
√2‘
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E“
h
’ ” ?T.
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Définition :
Une variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite notée
• 0; 1$ lorsque pour tout réels C et D tel que C < D, on a
W d ≤ M ≤ f$ =
f b
\d √l– w
ul
h
l
Yu
1
La fonction définie sur ℝ par
L u$ =
b
est appelée densité de la loi • 0; 1$.
On dit que la courbe représentant
; est une courbe « en cloche ».
√l–
w
ul
h
l
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-3
-2
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-1
0
1
2
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3
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Propriétés :
Soit ; la fonction définie sur ℝ par ; T$ =
g
√”—
’
˜“
h
“
La fonction ; est continue et paire sur ℝ. La courbe est donc
symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Soit x une variable aléatoire
qui suit la loi normale centrée
réduite, pour tout C ∈ ℝ,
donc
K x ≤ −C$ = K x ≥ C$
= 1 − K x ≤ C$
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Propriété :
Soit x une variable aléatoire qui suit la loi normale • 0; 1$,
pour tout ™ ∈ 0; 1 , il existe un unique réel positif š› > 0 tel
que
W −œ• ≤ z ≤ œ• $ = b − •
En particulier œv,vž ≈ b, ¡ et œv,vb ≈ l, ž¢
Démonstration ROC :
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Remarque :
š£,£¤ est le réel tel que :
K¥−š£,£¤ ≤ x ≤ š£,£¤ ¦ = 1 − 0,05 = 0,95
W −b, ¡ ≤ z ≤ b, ¡$ = v, ž
Cela donne une idée de
la répartition des valeurs de x : environ
95% des réalisations
de x se trouvent entre
−1,96 et 1,96.
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š£,£g est le réel tel que :
K¥−š£,£g ≤ x ≤ š£,£g ¦ = 1 − 0,01 = 0,99
W −l, ž¢ ≤ z ≤ l, ž¢$ = v,
Environ 99% des
réalisations de x
se trouvent entre
−2,58 et 2,58.
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Propriété :
Soit x une variable aléatoire qui suit la loi normale • 0; 1$, on
note ; sa densité
x admet une espérance
v
u
j z$ = ƒ„… = ] × L ]$Y] + ƒ„… = ] × L ]$Y] = v
u→hH u
u→GH v
Démonstration :
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Propriété admise $:
Soit x une variable aléatoire qui suit la loi normale • 0; 1$, on
note ; sa densité
x admet une variance et un écart type
l
§ z$ = j ¨¥z − j z$¦ © = b
ª z$ = •§ z$ = b
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V. Loi normale † «; ªl $
Définition :
Une variable aléatoire 0 suit la loi normale † «; ªl $ lorsque
0−¬
suit la loi normale centrée réduite • 0; 1$.
Propriété :
Si 0 ↪ † «; ªl $ alors j z$ = « et § z$ = ªl .
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Remarque : Soit 0 ↪ • ¬; -
”$
alors
Œh°
±
↪ • 0;; 1$.
Mc«
W « c ª V M V « I ª$ B W ²cb V
V b³ Ÿ v, ¡¢
ª
W « c lª V M V « I lª$ Ÿ v, ž
W « c ¯ª V M V « I ¯ª$ Ÿ v, ´
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