1. No category

Chap 11. Lois continues
Terminale S
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
Mathématicien, astronome et physicien allemand. Surnommé « le prince des mathématiciens », il est considéré comme l'un des plus
grands mathématiciens de tous les temps.
Son nom reste associé aujourd'hui à la célèbre courbe en cloche représentant la densité de probabilité d'une variable aléatoire
normale réduite.
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 1 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Problème
Vous devez deviner le nombre qu’Anna a choisi au hasard dans
l’intervalle 0; 1 .
Quelle est la probabilité que vous deviniez le nombre si l’on
suppose qu’Anna a choisi un nombre dont l’écriture décimale a
après la virgule :
a) au plus 2 chiffres
b) au plus 3 chiffres
c) au plus chiffres ∈ ℕ∗ $
Conjecturer la probabilité que vous deviniez le nombre si l’on
suppose qu’Anna a choisi un nombre quelconque dans
l’intervalle 0; 1 .
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 2 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
I. Loi à densité sur un intervalle
On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω
muni d’une loi de probabilité.
Définition.
Une variable aléatoire continue 0 est une fonction qui à chaque
issue de Ω associe un nombre réel d’un intervalle 3 de ℝ.
Exemples :
La durée de vie d’un composant électronique, la taille d’une allumette prise au hasard, un temps d’attente …
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 3 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Définition.
Soit 0 une variable aléatoire continue à valeurs dans 3 et ; une
fonction continue, positive sur I telle que :
@
E
= ; >$?> = 1 si 3 = C; D ou lim = ; >$?> = 1 si 3 = C; +∞
A
E→GH A
K est la loi de probabilité de densité L de M lorsque ∀O ⊂ 3, la
probabilité de l’événement
Q0 ∈ OR est l’aire du doW X ≤ M ≤ Y$
maine :
QS T, U$; T ∈ O et 0 ≤ U ≤ ; T $R
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 4 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Conséquences :
Y
• W M ∈ X, Y $ = W X ≤ M ≤ Y$ = \X L ]$Y]
• ∀^ ∈ 3, K 0 = ^$ = 0 car
_
\_ ;
>$?>
• Pour tous ^ ∈ 3 et ? ∈ 3
W X ≤ M ≤ Y$ = W X ≤ M < ?$ = W X < 0 ≤ ?$ = W X < 0 < ?$
• si 3 = C; +∞ et ^ > C :
X
W M > ^$ = b − W d < 0 < ^$ = b − = L ]$Y]
d
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 5 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
II. Loi uniforme sur d, f
Définition et propriété
Soit C et D deux réels tels que C < D
Une variable aléatoire 0 suit la loi uniforme sur l’intervalle d, f
lorsque sa densité de probabilité est la fonction constante égale
g
à
sur C, D .
@hA
Démonstration :
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 6 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Propriété :
Soit 0 une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
l’intervalle C, D , on note ; sa densité
0 admet une espérance
f
d+f
j M$ = = ] × L ]$Y] =
l
d
Démonstration :
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 7 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Exemple :
Thomas a dit qu’il passerait voir Anita à un moment quelconque
entre 18h30 et 21h00. Quelle est la probabilité qu’il arrive pendant son feuilleton préféré qui dure de 19h à 19h30 ?
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 8 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
III. Loi exponentielle
Définition :
Soit s > 0 un réel
Une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre t
sur 0; +∞ lorsque sa densité de probabilité est la fonction
∀u ∈ v; +∞ , L u$ = t whtu .
Propriété de durée de vie sans vieillissement :
Soit x une variable aléatoire suivant une loi exponentielle,
pour tous réels > et ℎ positifs, Wz{] z ≥ ] + }$ = W z ≥ }$.
Démonstration ROC$ :
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 9 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Interprétation :
La probabilité que le phénomène dure au moins > + ℎ heures sachant qu'il a déjà duré > heures sera la même que la probabilité
de durer ℎ heures à partir de sa mise en fonction initiale.
En d'autres termes, le fait que le phénomène ait duré pendant ]
heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps ].
Par exemple, sachant qu’un système a atteint > = 50 années, la probabilité qu’il dépasse > + ℎ = 80 ans est égale à la probabilité
d’atteindre ℎ = 30 ans$.
Cette loi permet de modéliser la décroissance radioactive ou le temps
écoulé entre deux coups de téléphone reçus, ou le temps écoulé entre
deux accidents de voiture dans lequel un individu donné est impliqué …
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 10 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Propriété :
Soit x une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre s sur 0; +∞ , on note ; sa densité
x admet une espérance
u
b
j z$ = ƒ„… = ] × L ]$Y] =
u→GH v
t
Démonstration ROC$ :
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 11 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Exemple :
La durée de vie, en heures, d’un composant électronique est modélisée par la loi exponentielle de moyenne 20.
Quelle est la probabilité que l’un des composants pris au hasard,
soit encore en état de marche au bout de 50 h ?
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 12 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
IV. Loi normale centrée réduite † v; b$
Théorème de MoivreMoivre-Laplace admis$ :
Pour tout entier naturel , 0ˆ est une variable aléatoire qui suit
une loi binomiale ℬ ; Š$.
Œ• hˆŽ
La variable centrée réduite ‹ˆ =
vérifie pour tous réels
C et D :
•ˆŽ ghŽ$
@
lim K ‹ˆ ∈ C, D $ = =
ˆ→GH
[email protected]
A
1
√2‘
http://gaellebuffet.free.fr/
E“
h
’ ” ?T.
Page 13 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Définition :
Une variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite notée
• 0; 1$ lorsque pour tout réels C et D tel que C < D, on a
W d ≤ M ≤ f$ =
f b
\d √l– w
ul
h
l
Yu
1
La fonction définie sur ℝ par
L u$ =
b
est appelée densité de la loi • 0; 1$.
On dit que la courbe représentant
; est une courbe « en cloche ».
√l–
w
ul
h
l
[email protected]
-3
-2
http://gaellebuffet.free.fr/
-1
0
1
2
Page 14 sur 22
3
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Propriétés :
Soit ; la fonction définie sur ℝ par ; T$ =
g
√”—
’
˜“
h
“
La fonction ; est continue et paire sur ℝ. La courbe est donc
symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Soit x une variable aléatoire
qui suit la loi normale centrée
réduite, pour tout C ∈ ℝ,
donc
K x ≤ −C$ = K x ≥ C$
= 1 − K x ≤ C$
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 15 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Propriété :
Soit x une variable aléatoire qui suit la loi normale • 0; 1$,
pour tout ™ ∈ 0; 1 , il existe un unique réel positif š› > 0 tel
que
W −œ• ≤ z ≤ œ• $ = b − •
En particulier œv,vž ≈ b, ¡ et œv,vb ≈ l, ž¢
Démonstration ROC :
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 16 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Remarque :
š£,£¤ est le réel tel que :
K¥−š£,£¤ ≤ x ≤ š£,£¤ ¦ = 1 − 0,05 = 0,95
W −b, ¡ ≤ z ≤ b, ¡$ = v, ž
Cela donne une idée de
la répartition des valeurs de x : environ
95% des réalisations
de x se trouvent entre
−1,96 et 1,96.
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 17 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
š£,£g est le réel tel que :
K¥−š£,£g ≤ x ≤ š£,£g ¦ = 1 − 0,01 = 0,99
W −l, ž¢ ≤ z ≤ l, ž¢$ = v,
Environ 99% des
réalisations de x
se trouvent entre
−2,58 et 2,58.
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 18 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Propriété :
Soit x une variable aléatoire qui suit la loi normale • 0; 1$, on
note ; sa densité
x admet une espérance
v
u
j z$ = ƒ„… = ] × L ]$Y] + ƒ„… = ] × L ]$Y] = v
u→hH u
u→GH v
Démonstration :
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 19 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Propriété admise $:
Soit x une variable aléatoire qui suit la loi normale • 0; 1$, on
note ; sa densité
x admet une variance et un écart type
l
§ z$ = j ¨¥z − j z$¦ © = b
ª z$ = •§ z$ = b
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 20 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
V. Loi normale † «; ªl $
Définition :
Une variable aléatoire 0 suit la loi normale † «; ªl $ lorsque
0−¬
suit la loi normale centrée réduite • 0; 1$.
Propriété :
Si 0 ↪ † «; ªl $ alors j z$ = « et § z$ = ªl .
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 21 sur 22
Chap 11. Lois continues
Terminale S
Remarque : Soit 0 ↪ • ¬; -
”$
alors
Œh°
±
↪ • 0;; 1$.
Mc«
W « c ª V M V « I ª$ B W ²cb V
V b³ Ÿ v, ¡¢
ª
W « c lª V M V « I lª$ Ÿ v, ž
W « c ¯ª V M V « I ¯ª$ Ÿ v, ´
[email protected]
http://gaellebuffet.free.fr/
Page 22 sur 22