4. 分子振動 二原子分子の振動 BO近似での核のシュレディンガー方程式 � �2 2 ∇k + E(R) χ(R) = Eχ(R) − 2Mk k=A,B 運動エネルギーを求める 102 Z 分子軸を新たにz軸とする(分子固定座標系) Xk 0 Rk = Yk Rk = 0 Zk zk 空間固定座標系 z 分子軸 分子固定座標系 Y X 分子固定座標系での表現 Xk = zk sin θk cos φk , Yk = zk sin θk sin φk , Zk = zk cos θk θ,φはZ軸に対する粒子の極角と方位角 103 分子回転を無視する → θ˙k = 0, φ˙k = 0 速度ベクトルの2乗 X˙ k = z˙k sin θk cos φk , Y˙ k = z˙k sin θk sin φk , Z˙ k = z˙k cos θk ˙ 2 = X˙ 2 + Y˙ 2 + Z˙ 2 = z˙ 2 R k k k k k 運動エネルギー � Mk R � Mk z˙ 2 ˙2 1 2 p2 k k T = = = µr˙ = 2 2 2 2µ k=A,B r = |zA − zB |, k µ= MA MB MA + MB 換算質量 原点を重心とした MA zA + MB zB = 0 次はポテンシャルエネルギーを考える 104 ポテンシャルエネルギーの取扱い R V (R) V (R) 断熱ポテンシャルの関数形は未知 (量子化学計算によって求められる) 断熱ポテンシャルを平衡核間距離 R = Reまわりで展開 V (R) = V (Re ) + =0 � dV (R) dR =0 � 1 (R − Re ) + 2! R=Re 105 � d2 V (R) dR2 � R=Re (R − Re )2 + · · · 調和振動子近似 ポテンシャルエネルギーを2次で打ち切る 1 V (R) = 2! � d2 V (R) dR2 � 1 2 (R − Re ) = k (R − Re ) 2 R=Re 2 1 2 V (R) = k (R − Re ) 2 106 調和振動子近似 二原子分子のハミルトニアン p2 1 2 H= + k (R − Re ) 2µ 2 量子力学へ � d p→ i dR 2 2 � d 1 2 ˆ =− H + k (R − R ) e 2µ dR2 2 q= � µω (R − Re ) � k = µω 2 2 �ω d �ω 2 ˆ H=− + q 2 2 dq 2 調和振動子近似のハミルトニアン 107 二原子分子のハミルトニアン 2 �ω d �ω 2 ˆ H=− + q 2 2 dq 2 生成演算子 � a ˆ = † 1 2 � � 消滅演算子 � d ˆ= − +q , a dq � 1 † ˆ H = �ω a ˆ a ˆ+ 2 1 2 � d +q dq � � 生成・消滅演算子を用いてあらわしたハミルトニアン 108 調和振動子の固有値・固有関数 � 1 ˆ H|n� = �ω n + 2 固有値 En = 固有関数 |n� � 1 n+ 2 � � |n� ω= �ω 7 �ω 2 5 �ω 2 3 �ω 2 1 �ω 2 109 . . . � |3� |2� |1� |0� k µ 生成・消滅演算子 交換関係 � †� a ˆ, a ˆ =1 ˆ =a N ˆ† a ˆ, � ˆ |n� = n|n� N a ˆ |n� = † √ � ˆ N ˆ =0 H, n = 0, 1, 2, · · · n + 1|n + 1�, a ˆ|n� = √ n|n − 1� 生成・消滅の由来 � � 1� † q= a ˆ +a ˆ 2 � � √ 1 �√ q|n� = n + 1|n + 1� + n|n − 1� 2 座標qを作用させると,nが±1変化する 110 調和振動子の固有関数の座標表示 � � � 1 d + q ψ0 (q) = 0 a ˆψ0 (q) = 2 dq a ˆ|0� = 0 固有関数 ψn (q) = エルミート多項式 � 1 2n n! � µω π� � Hn (q)e H0 (ξ) = 1 H1 (ξ) = 2ξ H2 (ξ) = 4ξ 2 − 2 H3 (ξ) = 8ξ 3 − 12ξ 111 − 12 q 2 q= � µω (R − Re ) � 調和振動子 N2分子 -1 Energy (cm ) 8256.5 v=3 �ω v=2 5897.5 3538.5 振動の量子数はvであらわす �ω v=1 �ω 1179.5 v=0 �ω 2 -20 -10 0 10 Distance (pm) 20 112 ゼロ点エネルギー 振動の非調和性 解離 核間距離 調和振動子では解離しない 現実の分子は調和ポテンシャルでない ポテンシャルにRの3次,4次,高次の項を含む 113 振動の非調和性 H2分子を近似したMorseポテンシャル 40000 Morseポテンシャル:現実の分子に近くなる � �2 V (x) = De e−α(r−re ) − 1 De : 解離エネルギー -1 Energy (cm ) 30000 固有エネルギー(cm-1) D0 20000 � De G(v) = ωe v + v=3 v=2 v=1 v=0 10000 0 0 1 2 3 4 Internucler distance (A) 5 1 2 � � − ωe χe v + 1 2 �2 vの増加とともにエネルギー間隔が狭くなる 有限個の振動状態(解離する) 114 多原子分子の振動 N原子分子の振動自由度 直線分子 3N - 3 - 2 = 3N -5 自由度 非直線分子 3N - 3 - 3 = 3N - 6自由度 並進 H2Oの振動(3· 3-3-3 = 3自由度) 115 回転 多原子分子の振動 N原子分子の振動:ポテンシャル曲面上で起こる ポテンシャル曲面: V (q1 , q2 , · · · , q3N −6 ) 一般には未知(実験,計算によって推測する) q1 , q2 , · · · , q3N −6 分子内座標(結合角,結合距離) Taylor展開で近似してしまう(2次の項まで=調和振動子近似) � 3N −6 3N −6 � 1 � � ∂2V V (q1 , q2 , · · · , q3N −6 ) ∼ qi qj 2 i=1 j=1 ∂qi ∂qj 0次,1次の項はゼロとなる 116 多原子分子の振動 3N 1� T = mi v 2i 2 i 運動エネルギー ポテンシャルエネルギー V (q1 , q2 , · · · , q3N −6 ) ∼ 1 2 3N −6 3N −6 � � � i=1 j=1 2 ∂ V ∂qi ∂qj � qi qj 3N個の座標であらわしてあるが, (1) 重心を分離(3個自由度が減少) (2) 分子が回転しない条件(Eckart条件,3個自由度が減少) によって3N-6自由度となる。 座標変換を上手く行うと(GF行列法),全エネルギーを次のようにあらわすことができる E= � 3N −6 � i=1 1 ˙2 1 2 2 Qi + ωi Qi 2 2 � Qi:基準座標 3N-6個の調和振動子の和 117 多原子分子の振動の取扱い要点 3N 1� T = mi v 2i 2 i 直交座標系 1 V (q1 , q2 , · · · , q3N −6 ) ∼ 2 3N −6 3N −6 � � � i=1 j=1 2 ∂ V ∂qi ∂qj � qi qj 分子内座標系 交差項の存在(i ≠ j) TとVで異なる座標系であるので一致させる Vは交差項を含むので,それを解消させる 基準座標 118 多原子分子の振動 ˆ = H 3N −6 � � i=1 � d 1 2 2 ωi Qi + 2 2 dQi 2 2 − 2 3N −6 � � � � 1 E (v1 , v2 , · · · , v3N −6 ) = �ωi vi + 固有値 2 i=1 � � 3N −6 � 1 -1 ν˜i vi + 固有値(cm 単位) G(v1 , v2 , · · · , v3N −6 ) = 2 i=1 v1 , v2 , · · · , v3N −6 :振動量子数 固有関数 Ψ(Q1 , Q2 , · · · , Q3N −6 ) = φv1 (Q1 )φv2 (Q2 ) · · · φv3N −6 (Q3N −6 ) 3N-6個の調和振動子の固有関数の積 119 多原子分子の振動エネルギー準位図 Ev2 = hν2 1 v1 + 2 � Ev3 = hν3 5 8000 � 1 v2 + 2 2 2 Ev1 = hν1 � � 4 7000 1 2 4000 3 5000 1 3000 2000 1 -1 Energy (cm ) 6000 1000 0 v1 v2 (000) v3 120 � 1 v3 + 2 � 多原子分子の振動エネルギー準位例:H2O 水分子の振動エネルギー準位 -1 !1 = 3657.0 cm -1 !2 = 1594.7 cm -1 !3 = 3755.7 cm G(v1, v2, v3) - G(0, 0, 0) 水分子の振動準位 (v1v2v3) 2 2 5 8000 3つの量子数 (v1, v2, v3)で振動状態を指定 4 7000 (101) (021) (120) 振動自由度 (011) (110) 3 5000 -1 Energy (cm ) 6000 2 1 1 4000 G(v1 , v2 , · · · , v3N −6 ) = 3000 3N −6 � i=1 � ν˜i vi + 1 2 � 1 2000 1000 0 v1 v2 v3 (000) 121 岩波書店 分子構造の決定 山内薫著より Q3 直線分子の振動エネルギー準位例:CO2 縮重した変角振動 Q1 対称伸縮振動 ν1 = 1337 cm-1 Q2,1 変角振動 ν2 = 667 cm-1 2重縮重 + � � y + Q2,2 � r 逆対称伸縮振動 Q3 ν3 = 2349 cm-1 χ x Q2,1とQ2,2を組み合わせる Z軸回りにO原子が回転 v1モード,v2モード,v3モードなどと呼ぶことがある 122 ! " ! " る.変角振動が縮重しているため,調和振動子近似での 基準座標を,Q1 : 対称伸縮振動, , i = 1, 2),Q3:逆対称伸縮振動 と名付け 1 Q2,i:変角振動(2重縮重 1 v1 , る.変角振動が縮重しているため,調和振動子近似でのエネルギー固有値は次式のとおり. v2,1 , v2,2 , v3 ) = !ω1 v直線分子の振動エネルギー準位例:CO + !ω2 (v2,1 + v2,2 + 1) + !ω2 3 v3 + (4.30) 1+ ! " 2 2 1 ! " E(v1 , v2,1 , v2,2 , v3 ) =!!ω1 v"1 + + !ω 1 1 2 (4.30) , v2,1 , v2,2 , v3 )ν= !ω v + + !ω (v + v + 1) + !ω v + ドの振動数は E(v cm1−1 単位で, = 1337, ν = 667, ν = 2349 である. v + v = v2 1 1 2 2,1 2,2 3 3 1 2 3 2,1 2 2,2 2 −1 v2 + 1 重に縮重している. それぞれのモードの振動数は cm 単位で,ν1 = 1337 2 , v3 ) の準位は等しいエネルギーを持ち, −1 それぞれのモードの振動数は cm 単位で,ν1 = 1337, ν2 = 667, ν3 = 2349 である.v2,1 + v2,2 = v2 l 変数のペアを,次式によって変数 (r, χ)vとlで準位を指定できる:v に置き換える. と置くと, (v1 , v2 , v3 ) の準位は等しいエネルギーを持ち 変角振動は と置くと,(v1 , v2 , v3 ) の準位は等しいエネルギーを持ち,v2 + 1 重に縮重している. (Q2,1 , Q の変数のペアを,次式によって変数 (r, χ) (Q2,1 , Q2,2 ) の変数のペアを,次式によって変数 (r,2,2 χ)) に置き換える. 変角振動のエネルギー準位図 Q2,1 = r cos χ, Q2,2 = r sin χ (4.31) Q2,1 = r cos χ, Q. Q2,2 = r sin χ (4.31) Q 2,1 = r cos χ, . . て r, χ で表現したシュレディンガー方程式も解く事ができ,量子数 v2 , l を用いて固有 ν2 モードについて r, χ で表現したシュレディンガー方程式も解く事ができ,量子数 v2 , l を用いて固有 ν2 モードについて r, χ で表現したシュレディンガー方 表すと Llv2 をラゲールの陪多項式として,次式であらわせる. v2 = 4 値,固有関数を表すと Llv2 をラゲールの陪多項式として,次式であらわせる. 値,固有関数を表すと Llv2 をラゲールの陪多項式とし = 30, 1, 2, · · · !ω2 (v2 + 1), vv22 = (4.32) Ev2# = !ω2 (v2 + 1), v2 = 0, 1, 2, · · · (4.32) # & Ev2 = !ω2 (v2 + 1), v2 = 0, 1, 2, · · · $ v2&=v22−l ' ' $ $ ! −r$2 /2 vl2 −ll ! 2 2 ±ilχ # & 2 % l −r /2 l l 2 ±ilχ 2 Ψv2 ,l (r, χ) |v=2 ! = 2vΨ2&v=2 ,l1(r, 'χ)3 e= %2 &r Lv'23(re )e r L,v2 (rl )e = v2 ,, v2l − 2, vv22 $ − 4, · 2v·2·−−l,4,1'·or = v , − 2, v · · ,012 or 0 2 $ ! v2 +l v2 +l |v2l ! = Ψv2 ,l (r, χ) = %2 & 2 '3 e−r /2 rl Llv2 (r 2 2 v2 +l v =0 2 これより,CO2 分子の振動エネルギー準位は, |v1 , v2l , v3 ! であらわせる. 分子の振動エネルギー準位は, |v , v l , v ! であらわせる. l2 = 0 1 21 23 3 4 2 ! ∂ l 分子軸まわりの角運動量の演算子は であるので,Ψv22 ,l分子の振動エネルギー準位は, (r, χ) はその固有関数でもあり,±l! はそ ! ∂ i ∂χ これより, 1 2 v2 ,l ±iχ i ∂χQ = Q の固有値となる.演算子 ± iQ を考えると,行列要素は以下のようになる. ! ∂ ± 2,1 2,2 = re ±iχ 分子軸まわりの角運動量の演算子は i ∂χ であるので, ± 2,1 2,2 123 ( 角運動量の演算子は .演算子 Q = Q |v , v , (r, χ)CO はその固有関数でもあり,±l! はそ を考えると,行列要素は以下のようになる. の固有値となる.演算子v2Q−± l = Q2,1 ± iQ2,2 = re±iχ を であるので,Ψ ± iQ = re 直線分子の振動エネルギー準位例:CO2 |v1 , v2l , v3 �で振動準位を指定できる 固有エネルギー G(v1 , v2 , v3 ) = ω1 5000 4000 � 1 v1 + 2 � + ω2 (v2 + 1) + ω3 (07l0) (0002) (3000) (06l0) -1 Energy (cm ) (05l0) 3000 (2000) (04l0) (0001) (03l0) 2000 (1000) (02l0) 1000 0 (01l0) (0000) l = v2, v2-2,..., 1 or 0 調和振動子近似 124 � 1 v3 + 2 � ポテンシャルの非調和性と非調和共鳴 V = 調和振動子近似 3N −6 � i=1 1 2 2 ωi Qi 2 実際のポテンシャル V = 3N −6 � i=1 3N −6 3N −6 3N −6 � � � 1 2 2 1 ωi Qi + kijk Qi Qj Qk + · · · 2 3! i=1 j=1 k=1 非調和性 3次の非調和性を考える 125 3次の非調和性:CO2 V (3) � 2 � � 1 � 3 2 2 = k111 Q1 + k122 Q1 Q2,1 + Q2,2 + k133 Q1 Q3 3! ポテンシャルは全対称の項よりなる Q21 Q3 , Q33 , · · · などの全対称でない項は存在しない 全対称:分子の構造を変えない全ての対称操作によって,形が変わらないもの y 180°回転 C2 Q1 C2Q1 =Q1 全対称 Q2,1 C2Q2,1 =Q2,1 x軸回りの任意の角度の 回転に対して元に戻ら ない → 全対称でない 126 Q3 C2Q3 = -Q3 全対称でない (2乗すると全対称) 3次の非調和性:CO2 V (3) � 2 � � 1 � 3 2 2 = k111 Q1 + k122 Q1 Q2,1 + Q2,2 + k133 Q1 Q3 3! Q1座標自身の非調和性 Q1とQ2の相互作用 127 Q1とQ3の相互作用 相互作用によって何が起こるか 二準位系を考える 相互作用 V (0) E1 |2� (0) E2 相互作用のため真の固有エネルギーは �� � E± = |1� (0) E1 + 2 (0) E2 (0) E2 ± − (0) E1 2 + 4V 2 2 となる ゼロ次(調和振動子近似)の固有状態 真の固有エネルギーの間隔 E+ − E− = �� (0) E2 − (0) E1 128 �2 (0) (0) + 4V 2 ≥ |E2 − E1 | 準位反発 E2 (0) E2 V (0) E1 3 1.0 0 !E = 1 2 Energy (arb. unit) Energy (arb. unit) E1 E2 1 0 -1 E1 -2 V=1 0.5 0 E2 - E2 0.0 0 E1 - E1 -0.5 -1.0 0.0 1.0 2.0 V (arb. unit) 3.0 0.0 1.0 2.0 !E (arb. unit) 3.0 相互作用Vが大きいと準位反 ゼロ次のエネルギーが近接し 発が大きい(当たり前) ていると準位反発が大きい 129 3次の非調和性:CO2 V (3) � 2 � � 1 � 3 2 2 = k111 Q1 + k122 Q1 Q2,1 + Q2,2 + k133 Q1 Q3 3! Q1座標自身の非調和性 Q1とQ2の相互作用 Q1 Q23 の項を考える 130 Q1とQ3の相互作用 基準座標を生成・消滅演算子で表現 � � � 1 † a ˆi + a ˆi Qi = 2 Q1 Q23 = � 生成・消滅演算子が可換でない事に注意 � 1 � 2 † † †2 † 2 † † † † † †2 a ˆ a ˆ + a ˆ a ˆ a ˆ + a ˆ a ˆ a ˆ + a ˆ a ˆ + a ˆ a ˆ + a ˆ a ˆ a ˆ + a ˆ a ˆ a ˆ + a ˆ ˆ3 1 1 3 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 1 1 3 1 3 1a 3 2 a ˆ1 a ˆ23 |v1 v2l v3 � ∝ |v1 − 1, v2l , v3 − 2� |v1 v2l v3 � と が相互作用する |v1 − 1, v2l , v3 − 2� �v1 − 1, v2l , v3 − 2|ˆ a1 a ˆ23 |v1 v2l v3 � = � 0 Q1 Q23 非調和項(相互作用項)は,v1が±1,v3が±2の状態との相互作用を生む 131 と が相互作用す と Q1 Q23 非調和項(相互作用項) (2002) a ˆ1 a ˆ23 , a ˆ†1 a ˆ†2 3 5000 4000 (07l0) (0002) (3000) (06l0) -1 Energy (cm ) (05l0) 3000 (2000) (04l0) † 2 a ˆ1 a ˆ†2 , a ˆ ˆ3 3 1a (0001) (03l0) 2000 (1000) (02l0) 1000 0 (01l0) (0000) a ˆ1 a ˆ3 a ˆ†3 , a ˆ1 a ˆ†3 a ˆ3 , a ˆ†1 a ˆ3 a ˆ†3 , a ˆ†1 a ˆ†3 a ˆ3 しかしエネルギーが離れている:エネルギーシフトは小さい 132 Q1 (Q22,1 + Q22,2 ) 非調和項 ∆v1 = ±1, ∆v2 = 0, ±2, ∆l = 0 の状態間で相互作用する 5000 4000 (07l0) (0002) (3000) (06l0) -1 Energy (cm ) (05l0) 3000 (2000) (04l0) (1000) (0001) ω1 ∼ 2ω2 (03l0) 2000 (1000) (02l0) 1000 0 (0200) (01l0) (0000) 近接したエネルギー準位:強い相互作用 → Fermi共鳴 133 を Darling-Dennison 共鳴と呼び,例えば水分子の |2, 0, 0! ↔ |0, 0, 2! が CO2のFermi共鳴 -1 Energy (cm ) 1400 1350 0 0 0 0 a(1,0 ,0) + b (0,2 ,0) 0 (1,0 ,0) 0 (0,2 ,0) 1300 -b(1,0 ,0) + a (0,2 ,0) 1250 真の固有状態はゼロ次の線形結合で あらわされる 19 134
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