L3 PAPP 2013-2014 Électromagnétisme II Épreuve du 30 avril 2014 Durée : 3 heures. Aucun document n’est autorisé. Les calculatrices sont interdites. Les constantes, données et formules utiles sont rassemblées à la fin de l'énoncé. Les réponses aux questions de cours et aux exercices seront rédigées sur des copies différentes. I. Questions de cours 1) Considérons un matériau plongé dans un champ magnétique. Nous pouvons écrire la relation suivante : B = μ0 (H + M). a) b) c) d) 2) On considère un gaz monoatomique. On suppose que ses atomes possèdent un spin total S=1/2 et que la contribution orbitale au moment magnétique est nulle. a) b) c) 3) Calculer la susceptibilité paramagnétique χ. On traitera le spin comme un moment angulaire quantique. Dans ce cas le moment magnétique atomique est donné par Mz= -g µB Sz, où g=2 est le facteur de Landé et µB le magnéton de Bohr. On vous rappelle que l'énergie magnétique de chaque atome, lorsqu'on applique un champ magnétique B extérieur, est en général donnée par W= - B·M. Faire un raisonnement statistique. Sauriez-vous décrire une expérience capable de démontrer que la contribution au moment magnétique dans ce gaz provient en effet d'un seul spin par atome? Sauriez-vous donner un ordre de grandeur de χ ? Énoncer les équations de Maxwell. a) b) 4) Quel sens physique donne-t-on au vecteur H ? Réécrire la relation précédente en supposant que M = χ H ( χ est la susceptibilité magnétique) et en définissant la perméabilité magnétique μr = 1 + χ. Définir les matériaux magnétiques en fonction de χ, et décrire une expérience permettant de les distinguer . En utilisant alors le théorème de Gauss calculer le champ électrique à l'intérieur et à l'extérieur d'une sphère métallique de rayon R et possédant une charge Q. En utilisant le théorème d'Ampère calculer le champ magnétique à l'intérieur et à l'extérieur d'un solénoïde de longueur infinie, parcouru par un courant I et avec densité linéaire de spires n. Décrire la théorie phénoménologique de la supraconductivité des frères London, en dérivant (de façon non rigoureuse!) les 2 équations liant la densité de courant supraconducteur Js aux champs électrique E et magnétique B. II. Exercices 1) a) Calculer le champ électrique E engendré par une charge uniformément distribuée à l'intérieur d'une sphère de rayon R avec densité ρ. Donner une représentation graphique de E(r), en supposant ρ= 8,85 10−6 C/m3 et R= 1 cm. b) On suppose maintenant que le noyau d'un atome peut être considéré comme une charge ponctuelle +Ze placée au centre d'un nuage d'électrons, ce dernier étant modélisé par une sphère de rayon R uniformément chargée, de charge totale -Ze. Calculer la polarisation p de l'atome soumis à un champ électrique extérieur Eext et déterminer la susceptibilité électrique α. Οn rappelle que p=ε0 α Eext et on interprétera p comme un dipôle dont amplitude est p= Ze d (voir figure). En sachant que pour l'hélium gazeux α≈ 3.0× 10−30 m3, calculer le rayon R de l'atome d'hélium. Commenter l'ordre de grandeur trouvé pour R. 2) Une boucle circulaire de rayon R est parcourue par un courant i. Calculer le champ magnétique B(z) produit sur l'axe de la boucle et calculer sa valeur au centre de la boucle (z=0). Montrer que ce résultat vérifie le théorème d'Ampère (considérer une boucle "infinie" ayant comme côté l'axe de la boucle) . Suggestion : exprimer B en fonction de θ et R. 3) La figure montre la méthode de Gouy pour mesurer la susceptibilité magnétique χ. Une barrette cylindrique de rayon R= 2.5 mm est pendue d'un côté d'une balance plongée entre les pôles d'un aimant produisant un champ magnétique horizontal B= 1 T. On constate que la masse apparente de la barrette augmente de 1,5 g. Calculer χ. Le matériau est-il diamagnétique ou paramagnétique? 4) Un électron orbite à vitesse constante v= ω0 r autour d'un proton, décrivant une trajectoire circulaire de rayon r. a) b) c) d) e) Calculer le rapport gyromagnétique γ, entre le moment magnétique µ et le moment cinétique L. Montrer ensuite que la fréquence de précession d'un moment cinétique L plongé dans eB un champ magnétique B est donnée par ω L= . 2m On applique maintenant, orthogonalement au plan de l'orbite, un champ magnétique uniforme qui a le même sens que L. Ce champ est initialement nul et augmente jusqu'à atteindre la valeur B au temps tf. On constate que la vitesse angulaire de l'électron augmente de ω0 à ω0 + ωL. Calculer la variation du moment magnétique ∆µ en fonction de B. On supposera que le rayon de l'orbite ne change pas pendant le processus. Déterminer la perméabilité magnétique associée à ce phénomène. De quel type de phénomène s'agit-il en effet? Pourriez-vous démontrer que le changement de rayon de l'orbite, négligé au point c), peut être en effet considéré nul, même si la vitesse de rotation de l'électron est évidement augmentée? =================================================================== Formules utiles : tanh ( x)≃x si x≪1 Périmètre d'un cercle : 2π R, surface d'un cercle : π R2 Surface d'une sphère : 4π R2, volume d'une sphère : (4/3) π R3 La formule de Biot et Savart : μ0 i dl×r dB= 4π r 3 L'expression de la densité volumique de force : f= χ ∇ B2 2μ0 Moment magnétique d'une boucle de courant i enfermant une surface S, µ= S i La variation d'un moment cinétique L dans un champ magnétique B est donnée par dL =μ ×B dt Données utiles : ε0= 8.85 10-12 SI , µ0 = 4π 10-7 SI