MP 2014-2015 Parc des loges Devoir surveillé n◦10 B : physique statistique et quantique Microscopie par effet tunnel 1 Devoir surveillé n◦ 10 On rappelle que la fonction d'onde Ψ(x, t) obéit à l'équation − ℏ2 ∂ 2 ψ(x, t) ∂ψ(x, t) + V(x)ψ(x, t) = iℏ 2 2m ∂x ∂t avec ℏ = h = 1, 05.10−34 J.s 2π 21. Donner laEdénition d'un état stationnaire. Montrer que la fonction d'onde qui le représente s'écrit ψ(x, t) = ϕ(x)e−i ℏ t et déterminer l'équation vérée par ϕ(x). 22. La partie spatiale de la fonction d'onde décrivant l'onde incidente est ϕi (x) = Ai eikx Exprimer l'énergie de la particule incidente en fonction de k. 23. Grâce à la relation de De Broglie, montrer que le résultat de la question 22 est cohérent avec une énergie potentielle nulle. 24. On note ϕr (x) la partie spatiale de l'onde rééchie. Exprimer cette onde en introduisant une constante Ar . 25. On note ϕt (x) la partie spatiale de l'onde transmise. Exprimer cette onde en introduisant une constante At . 26. Comment appelle-t-on le type d'onde trouvée pour x > 0 ? Dans quel autre domaine de la physique la rencontre-t-on ? 2 MP 2014-2015 Parc des loges 27. Quelles sont les conditions limites que doit vérier ϕ(x) et sa dérivée ? 28. Déterminer Ai et At en fonction de Ai . → − J. 29. Dénir par analogie avec un autre phénomène de physique le vecteur densité de courant de probabilité 30. Dénir le coecient de réexion de l'électron sur la marche R. 31. Calculer R. En déduire le coecient de transmission T. 32. Montrer que la densité de probabilité de présence pour x < 0 vaut ρ(x) = 2 |Ai |2 (1 + cos(2kx − θ)) où vous dénirez θ. Déterminer cette grandeur pour x > 0. Est-ce en contradiction avec le résultat de la question 31 ? Tracer cette grandeur en fonction de x. 33. Comparer les résultats de la physique classique et de la physique quantique pour cette situation (0< E < V0 ). 3 Devoir surveillé n◦ 10 4 MP 2014-2015 Parc des loges Physique statistique 1 Moment magnétique atomique Un électron de charge −e = −1, 6.10−19 C et de masse m = 9, 1.10−31 kg décrit dans une représentation classique une trajectoire circulaire d'axe Oz et de rayon r autour de Oz . On admet que son moment cinétique par rapport à O est, selon l'axe z , Lz = ℏ où ℏ = 1, 05.10−34 J.s est la constante de Planck réduite. 1. Rappeler la dénition du moment magnétique d'une boucle de courant. 2. En déduire le moment magnétique mz associé au mouvement orbital de l'électron. 3. Eectuer l'application numérique. On considère une assemblée de N spins localisés aux noeuds d'un réseau cristallin, sans interaction, − → − plongés dans un champ magnétique extérieur uniforme et stationnaire B = B→ uz de norme 10 T, en équilibre thermique à la température T. Chaque spin selon l'axe du champ magnétique ne peut prendre que les valeurs 5 Devoir surveillé n◦ 10 +µ et -µ. L'énergie d'interaction ε = -mz B d'un spin avec le champ extérieur ne peut donc prendre que les deux valeurs ε+ = −µB et ε− = +µB. On admettra que µ est égal en norme au moment magnétique calculé à la partie précédente. 2 Énergie moyenne et uctuations de l'énergie 1. Donner l'expression de la probabilité d'une particule d'être dans un état d'énergie ε dans le cadre de la théorie de Boltzmann lorsque le système est maintenu à une température T. On introduira une constante A et on déterminera cette constante. 2. Déterminer alors l'énergie moyenne d'un spin ⟨ε⟩ en fonction de T. 3. En déduire l'énergie moyenne Emoy du système de N spins. 4. Tracer le graphe de Emoy (T). 5. Qu'appelle-t-on basse et haute température ? Interpréter la valeur de E aux basses et hautes températures. 6. Dénir et calculer l'écart quadratique en énergie ∆E2 . 7. En déduire que le rapport ∆E en fonction de N, µ B et kB T. |Emoy | Commenter la valeur de ce rapport pour des systèmes physiques réalistes. 8. Dénir et calculer la capacité thermique à volume constant CV (T). 9. Montrer la relation : ∆E2 = kB T2 CV Commenter cette relation. 3 Aimantation et uctuations de l'aimantation 1. Calculer l'aimantation ⟨M⟩ du système des N spins c'est-à-dire le moment magnétique moyen des N spins. 2. Tracer et interpréter le graphe de ⟨M⟩. 3. Dénir et calculer l'écart quadratique moyen du spin d'un atome ∆m2z . 4. En déduire l'écart quadratique moyen de l'aimantation ∆M2 . On montrera alors que 5. On dénit la susceptibilité magnétique χm = Calculer χm en fonction de T. 6. Montrer et commenter la relation ∂ ⟨M⟩ ∂B ∆M2 = χm kB T 6 ∆E ∆M = |Emoy | ⟨M⟩