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´matiques pour BSc SI
Mathe
Cours : Dr. Christoph Leuenberger
Exercices : Matthieu Jacquemet
Vendredi 27 mars 2015
´rie 16
Se
Analyse dimensionnelle et m´
ethode de Fermi
` rendre avant le lundi 13 avril, 9h15
A
Exercice 1 (π-dule simple)
On aimerait d´eterminer la p´eriode d’oscillation T d’un pendule simple. On suppose que c’est
une fonction de la longueur L du pendule, de sa masse m, ainsi que de l’acc´el´eration g due
a la gravitation terrestre.
`
(a) En utilisant un mod`ele de la forme
f (T, L, m, g) = 0
et le th´eor`eme π de Buckingham, d´eduire le nombre n de param`etres sans dimension
dans ce mod`ele.
(b) On suppose que pour ces param`etres sans dimension, on a
pii = T αi · Lβi · mγi · g δi ,
pour i = 1, ..., n.
A l’aide d’une analyse dimensionelle, d´eduire les valeurs correspondantes de αi , βi , γi , δi ,
i = 1, ..., n, et ´etablir les lois correspondantes.
Exercice 2 (π-yau horizontal)
La perte de charge ∆H dans un tuyau horizontal parcouru par un fluide mesure la r´esistance
a l’´ecoulement dans le tuyau. Elle est li´ee `a la perte de pression ∆p, et d´epend du diam`etre
`
D du tuyau, de la viscosit´e µ, de la densit´e ρ, de la longueur l du tuyau, de la vitesse v du
fluide, ainsi que de l’´etat de surface η.
Voici les dimensions de ces param`etres :
— D : [m]
— v : [ms−1 ]
— ρ : [kg m−3 ]
— ∆p : [kg m−1 s−2 ]
— µ : [kg m−1 s−1 ]
— l : [m]
— η:[ ]
(a) D´eterminer le nombre n de param`etres sans dimension dans ce mod`ele.
(b) On suppose que tous les param`etres sans dimension π1 , ..., πn d´ependent toujours de D,
v et ρ (c’est-`
a-dire que ces param`etres dimensionnels s’utilisent dans toutes les ´equations
des param`etres non-dimensionnels).
En combinant D, v et ρ avec les param`etres dimensionnels restants, donner des expressions pour π1 , ..., πn et ´etablir les lois correspondantes.
Par r´esoudre un probl`eme `
a la Fermi, on entend r´esoudre un probl`eme de mani`ere approximative, en utilisant des ordres de grandeur successifs, dans le but d’arriver `a un ordre de
grandeur. L’exemple le plus c´el`ebre est dˆ
u `a Fermi et concerne la question suivante : Combien
y a-t-il d’accordeurs de piano `
a Chicago ?
Pour trouver un ordre de grandeur, on peut proc´eder comme suit : il y a approximativement
5 000 000 habitants `
a Chicago ; en moyenne, il y a 2 personnes par foyer ; en gros, 1 foyer sur
20 poss`ede un piano qu’il faut accorder r´eguli`erement ; les pianos accord´es r´eguli`erement sont
accord´es `
a peu pr`es une fois par an ; un accordeur de piano met `a peu pr`es 2 heures pour
accorder un piano, en comptant le temps de d´eplacement ; un accordeur de piano travaille 8
heures par jour, 5 jours par semaine, 50 semaines par an. Ainsi, il y a environ 125 accordeurs
de piano `
a Chicago.
Ce qui caract´erise une r´esolution `
a la Fermi est que le but est d’obtenir un ordre de grandeur
de la solution, et pas une r´eponse pr´ecise, et qu’il n’y a aucune limite quant `a la diversit´e
des m´ethodes d’estimation, pourvu qu’il y ait une progression coh´erente. Une grande vari´et´e
de questions a priori compliqu´ees peut ˆetre trait´ee grˆace `a cette approche simple `a mettre en
oeuvre.
Exercice 3 (Fermi sain d’esprit)
R´esoudre `
a la Fermi les probl`emes suivants, puis comparer vos valeurs avec des valeurs
exp´erimentales/moyennes que vous aurez d´eduites en vous documentant.
(a) Quelle est la masse d’un nuage ?
(b) Quelle proportion du sol suisse faut-il utiliser pour planter le bl´e n´ecessaire pour fournir
du pain `
a tous les habitants pendant 1 ann´ee ?
(c) Quelle est la superficie totale des trottoirs de la ville de Fribourg ?
(d) Si les pertes (`
a tous les niveaux : producteur, distributeur, consommateur) de denr´ees alimentaires ´etaient r´eduites de moiti´e et si les ´economies ainsi r´ealis´ees ´etaient r´epercut´ees
directement, de quelle proportion baisserait le budget ”alimentation” d’un m´enage ?
Exercice 4 (Fermi fou)
R´esoudre `
a la Fermi les probl`emes suivants, puis comparer vos valeurs avec des valeurs
exp´erimentales/moyennes que vous aurez d´eduites en vous documentant.
(a) Quelle masse d’hosties faut-il pour remplir compl`etement la cath´edrale Saint-Nicolas ?
(b) Combien de mol´ecules du dernier souffle de Socrate se trouvent dans la pi`ece dans laquelle
vous vous situez actuellement ?
(c) Si pendant la prochaine coupe du monde de football tous les (t´el´e-)spectateurs d´enoyautent
des abricots pendant les matchs, pendant combien de temps pourra-t-on alimenter les
Valaisans en abricotine ?
(d) Combien de temps peut voler un corbeau sans se poser ?
Exercice 5 (Probabilit´
es)
Une colonie de vampires a ´elu domicile dans un chˆateau des Carpates. Une nuit de pleine
lune, le comte Drakul en capture 100, leur mord les oreilles, puis les relˆache. La nuit suivante,
il en capture 100 au hasard. Douze ont une morsure aux oreilles.
On note A l’´ev´enement ”Il y a 12 vampires mordus parmi les 100 captur´es”, et Bn l’´ev´enement
”Il y a n vampires dans le chˆ
ateau”. On consid`ere la suite (un )n≥100 d´efinie pour les entiers
sup´erieurs ou ´egaux `
a 100 par
P (A | Bn )
.
un :=
P (A | Bn+1 )
(a) Comparer un et 1.
(b) Montrer que la fonction f : {100, 101, ...} → [0, 1] donn´ee par f (n) := P (A | Bn ) poss`ede
un maximum.
(c) Le maximum de vraisemblance m est la valeur de n correspondant `a ce maximum.
D´eterminer m.