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Universit´
e Paris 7 - Denis Diderot
L2 - Probabilit´
es PS4
Ann´
ee 2014-2015
Feuille d’exercices 3
Exercice 1 La fonction f (x) = e−|x| est-elle une densit´e de probabilit´e sur R ?
Si non, peut-on la normaliser (i.e. la multiplier par une constante) afin d’obtenir une densit´e
de probabilit´e ? Mˆemes questions pour
g(x) = xf (x) ,
1
h(x) = √ 1[1,+∞[ (x) ,
x
1
k(x) = √ 1]0,1] (x) .
x
Exercice 2
1. D´eterminer c pour que les fonctions suivantes soient des densit´es de probabilit´e sur R :
x2
u σ ∈ R∗+ (densit´e gaussienne),
(a) f (x) = c exp − 2 o`
2σ
c
(b) f (x) =
(densit´e de Cauchy),
1 + x2
c
(c) f (x) = √
1[0,1] (x),
1 − x2
a α+1
(d) f (x) = c
1[a,+∞[ (x), o`u a > 0 et α > 0,
x
(e) f (x) = c x exp(−x)1[0,+∞[ (x).
2. Calculer, lorsque c’est possible, la fonction de r´epartition associ´ee.
Exercice 3 Soit a > 0 fix´e.
1. D´eterminer la valeur de c telle que la fonction
fa (x) = c x1[0,a[ (x) + (2a − x)1[a,2a] (x)
soit une densit´e de probabilit´e sur R.
2. Soit alors Pa la probabilit´e de densit´e fa sur R.
Calculer Pa ([a, +∞[) et, pour tout b ∈]0, a[, Pa ([a − b, a + b]).
3. Montrer que les deux ´ev´enements [a, +∞[ et [a − b, a + b] sont ind´ependants sous Pa .
4. G´en´eraliser cette propri´et´e au cas d’une densit´e de probabilit´e sur R sym´etrique par rapport
`a un r´eel a.
Exercice 4 On suppose que la dur´ee de vie d’une ampoule ´electrique, l’unit´e de temps ´etant
le jour, est une variable al´eatoire de densit´e exponentielle de param`etre α (α > 0).
1. Calculer la probabilit´e que cette dur´ee de vie soit sup´erieure ou ´egale `a t (t > 0).
Si α = 10−2 , pour quelles valeurs de t cette probabilit´e est-elle sup´erieure `a 99% ? ´egale `
a
50% ?
2. On arrondit la dur´ee de vie de l’ampoule au nombre entier de jours de marche. Quelle est
la loi de la nouvelle variable al´eatoire ainsi obtenue ?
1
3. L’ampoule neuve est allum´ee un samedi soir `a minuit et n’est jamais ´eteinte. Quelle est la
probabilit´e qu’elle claque un dimanche ?
Que devient cette probabilit´e si α tend vers l’infini ? si α tend vers 0 ?
Exercice 5 La dur´ee de vie X d’un composant ´electronique suit une loi de densit´e
f (x) =
10
1
.
x2 {x>10}
1. Calculer la fonction de r´epartition de X.
2. Quelle est la probabilit´e que, sur 6 composants ind´ependants de ce type, 5 au moins
fonctionnent plus de 15 unit´es de temps ?
Exercice 6 On suppose que le nombre d’appels `a un standard t´el´ephonique pendant un intervalle de temps de longueur t suit, pour tout t > 0, une loi de Poisson de param`etre λt (λ > 0).
Soit X le temps ´ecoul´e entre un instant fix´e t0 et le premier appel qui suit.
Calculer P (X > t) pour tout t > 0. En d´eduire la loi de X.
Exercice 7 Soit X une variable al´eatoire r´eelle de densit´e f .
On pose Y = min(X, a) o`
u a est un r´eel fix´e.
1. D´eterminer la fonction de r´epartition de Y .
2. On suppose f donn´ee par f (x) = λe−λx 1[0,+∞[ (λ > 0, x ∈ R). Y admet-elle une densit´e ?
Calculer l’esp´erance de Y .
Exercice 8

 1 + x si
1 − x si
1. Montrer que la fonction f (x) =

0
si
sur R. Soit X une variable al´eatoire r´eelle de
−1 ≤ x ≤ 0,
0<x≤1
est une densit´e de probabilit´e
|x| > 1
densit´e f .
2. D´eterminer la fonction de r´epartition de X.
3. Calculer E(X) et Var(X).
4. Calculer P (|X| > a) pour tout a ≥ 0. Comparer avec l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev.
Exercice 9 Soit X une variable al´eatoire r´eelle de densit´e exponentielle
√ de param`etre λ (λ > 0).
D´eterminer les lois des variables al´eatoires Y = aX o`
u a > 0 et Z = X.
Exercice 10 Soit X une variable al´eatoire r´eelle de densit´e uniforme sur ]0, 1[.
D´eterminer les lois des variables suivantes :
− ln X,
X 2,
a + (b − a)X
(o`
u a, b ∈ R, a < b).
Exercice 11 Soit X une variable al´eatoire r´eelle de densit´e uniforme sur ] − π/2, π/2[.
D´eterminer la loi de la variable al´eatoire Y = tan X. Peut-on parler de E(Y ) ?
Exercice 12 Soit X une variable al´eatoire r´eelle de densit´e f (x) = cos x 1]0,π/2[ (x).
1. Calculer E(X) et Var(X).
2. D´eterminer la loi de Y = tan X.
2
Exercice 13 Soit X une variable al´eatoire r´eelle de loi N (0, 1).
2
1 e−x /2
Montrer que, pour tout x > 0, on a P (X > x) ≤ √
.
2π x
Comparer cette majoration `
a celle r´esultant de l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev.
Exercice 14 Dupond et Dupont se sont donn´e rendez-vous entre minuit et une heure du matin,
mais chacun est d´ecid´e `
a n’attendre l’autre qu’un quart d’heure au plus. On repr´esente le couple
de leurs instants d’arriv´ee par un point de [0, 1]2 , que l’on suppose uniform´ement r´eparti sur
[0, 1]2 .
1. Quelle est la probabilit´e qu’ils se rencontrent ?
2. Quelle est la probabilit´e que le premier arriv´e n’attende pas plus de 5 minutes ?
3. Dupond est seul `
a son arriv´ee. Quelle est la probabilit´e que Dupont soit d´ej`a reparti ?
Exercice 15 On lance une fl´echette sur une cible circulaire de centre 0 et de rayon r, divis´ee
en quatre zones concentriques d´elimit´ees par les cercles de rayons r/4, r/2 et 3r/4.
On marque respectivement (du centre vers le bord) 10 points, 5 points, 2 points et 1 point
selon la zone touch´ee. Le point d’impact I est suppos´e uniform´ement r´eparti sur la cible.
1. Soit X la variable al´eatoire ´egale au nombre de points marqu´es.
D´eterminer la loi de X puis sa moyenne.
Quel est le nombre moyen de points marqu´es en deux lancers ?
2. On divise maintenant la cible en quatre quadrants selon deux diam`etres perpendiculaires.
On d´efinit les deux variables al´eatoires U et V ´egales respectivement `a la couronne et au
quadrant atteints par la fl´echette. Montrer que U et V sont ind´ependantes.
Exercice 16 Soit X une variable al´eatoire r´eelle de densit´e exponentielle de param`etre λ
(λ > 0). On pose ([ ] d´esignant la partie enti`ere)
Y = [X]
et Z = X − [X].
1. Calculer, pour tous n ∈ N et a ∈ [0, 1], P (Y = n et Z ≤ a).
2. En d´eduire les lois de Y et de Z.
3. Que peut-on dire de ces deux variables ?
Exercice 17 Soit (X, Y ) un couple de variables al´eatoires uniform´ement r´eparti sur le disque
de centre 0 et de rayon 1 dans R2 .
1. D´eterminer les lois de X et de Y . Ces deux variables sont-elles ind´ependantes ?
2. Calculer E(X), E(Y ), Var(X), Var(Y ) et Cov(X, Y ).
Exercice 18 On consid`ere un couple (X, Y ) de variables al´eatoires r´eelles admettant la densit´e
f (x, y) = 2
si 0 < x < y < 1
et
0 sinon.
D´eterminer les densit´es de X, de Y . Les deux variables sont-elles ind´ependantes ?
Exercice 19 Soit X et Y deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme densit´e
uniforme sur [0, a] (a > 0). Calculer la moyenne, la variance, la densit´e de la variable X + Y .
Exercice 20 Soit X et Y deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de densit´es exponentielles de param`etres respectifs α et β, avec α 6= β.
e−αx − e−βx
Montrer que X + Y admet la densit´e αβ
1[0,+∞[ (x).
β−α
3
Exercice 21
αn
e−αx xn−1 1[0,+∞[ (x) est une densit´e
(n − 1)!
de probabilit´e sur R. Quelle densit´e retrouve-t-on pour n = 1 ?
La loi associ´ee est appel´ee loi gamma de param`etres α, n ou loi Γ(α, n).
2. Calculer la moyenne et la variance d’une variable al´eatoire de loi Γ(α, n) (n ∈ N∗ , α > 0).
3. Soit X et Y deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de densit´es respectives
Γ(α, m) et Γ(α, n) (m, n ∈ N∗ ). D´eterminer la densit´e de la variable X + Y .
4. En d´eduire la loi de la somme de n variables al´eatoires X1 , . . . , Xn ind´ependantes et de
mˆeme densit´e exponentielle de param`etre α (α > 0). Retrouver alors les r´esultats du 2).
1. Montrer que pour n ∈ N∗ et α > 0, la fonction
Exercice 22 Soit X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes, de lois respectives exponentielle de param`etre α (α > 0) et Bernoulli de param`etre p : P (Y = 1) = p, P (Y = 0) = 1 − p
(0 < p < 1). D´eterminer la fonction de r´epartition de Z = X + Y , et sa densit´e ´eventuelle.
Repr´esenter le(s) graphe(s) de cette (ces) fonction(s). Comparer aux graphes des fonctions
analogues associ´ees `
a la variable X.
Exercice 23
1. V´erifier que la fonction p d´efinie sur R2 par
p(x, y) =
4y
1
2
x3 {0<x<1, 0<y<x }
est une densit´e de probabilit´e.
Soit (X, Y ) un couple al´eatoire de densit´e p.
2. Donner les lois de X et Y ; ces variables sont-elles ind´ependantes ?
3. Calculer E0 X), E(Y ), Var(X), Var(Y ), Cov(X, Y ).
Exercice 24
1. V´erifier que la fonction p d´efinie sur R2 par
p(x, y) =
2.
3.
4.
5.
1 −x
e 1{0<y<x}
x
est une densit´e de probabilit´e.
Soit (X, Y ) un couple al´eatoire de densit´e p.
Quelle est la loi de X ? Les variables X et Y sont-elles ind´ependantes ?
Calculer E(Y ) et Var(Y ).
Calculer E(XY ) et Cov(X, Y ).
Y
? En d´eduire la loi de Z.
Quelle est la fonction de r´epartition de la variable Z = X
Exercice 25 Soit X1 , . . . , Xn (n ≥ 1) des variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi
de densit´e uniforme sur [0, 1]. On note M = max(X1 , . . . , Xn ).
1. D´eterminer la fonction de r´epartition de M . M a-t-elle une densit´e ? Calculer E(M ).
2. Mˆemes questions avec N = min(X1 , . . . , Xn ).
Exercice 26 On consid`ere une suite (Xn )n≥1 de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et
de mˆeme loi uniforme sur l’intervalle [0, θ], avec θ > 0.
On pose Mn = Max (X1 , . . . , Xn ), pour tout n ≥ 1. Montrer que pour tout ε > 0
lim P (|Mn − θ| > ε) = 0.
n→+∞
Exercice 27 Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi de
Bernoulli de param`etre p. On pose Yn = Xn Xn+1 pour n ∈ N∗ .
4
1. Quelle est la loi de Yn ? Les Yn sont-elles ind´ependantes ?
n
X
2. On pose Sn =
Yk pour n ≥ 1. Calculer E(Sn ) et Var(Sn ).
k=1
Sn
2
3. Montrer que, pour tout ε > 0, on a lim P − p > ε = 0.
n→+∞
n
Exercice 28 On dispose de deux d´es ´equilibr´es : le premier a deux faces noires et quatre faces
rouges, le second a deux faces rouges et quatre noires.
On choisit un d´e au hasard, avec mˆeme probabilit´e 1/2 de choisir l’un ou l’autre, puis on
effectue une suite infinie de lancers ind´ependants avec ce d´e. Pour n ≥ 1, on d´efinit
1 si le n-i`eme lancer donne une face noire
Xn =
0 sinon.
1. Montrer que les variables al´eatoires (Xn ) ont mˆeme loi, de moyenne 1/2.
Sont-elles ind´ependantes ?
X1 + · · · + Xn 1 2. Montrer que l’on n’a pas : ∀ε > 0,
lim P − > ε = 0.
n→+∞
n
2
Exercice 29
1. Calculer la moyenne et la variance d’une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etre
λ (λ > 0).
On rappelle que la somme de n variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi de
Poisson de param`etre λ est une variable de loi de Poisson de param`etre nλ.
2. Soit f : [0, +∞[→ R une application continue et born´ee. Montrer que, pour tout λ > 0,
−λn
lim e
n→+∞
+∞
X
k
(λn)k
f
= f (λ).
k!
n
k=0
Indication : on introduira une suite (Xi )i≥1 de variables al´eatoires
et de
ind´
ependantes
S
n
mˆeme loi de Poisson de param`etre λ, et on majorera la diff´erence E f
− f (λ),
n
o`
u Sn = X1 +· · ·+Xn , en utilisant la continuit´e de f en λ ainsi que l’in´egalit´e de Bienaym´eTchebychev.
Exercice 30 (Th´
eor`
eme de Stone-Weierstrass.) Soit f : [0, 1] → R une application continue. En s’inspirant de l’exercice pr´ec´edent, montrer que f est limite uniforme sur [0, 1] de la
suite de fonctions polynomiales
x ∈ [0, 1] →
n
X
k
n k
.
x (1 − x)n−k .
f
n
k
k=0
5